MATEM

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MATEMÁTICAS II2º BACHILLERATO

• ÁLGEBRA

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• SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S. E. L.)
• DEFINICIONES BÁSICAS
• RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE GAUSS
• MATRICES.
• DEFINICIONES
• OPERACIONES CON MATRICES
• RANGO DE UNA MATRIZ
• DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
• MATRIZ INVERSA
• CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ
• RESOLUCIÓN DE SITEMAS CON DETERMINANTES
• SISTEMAS DE CRAMER
• TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS
• RESOLUCIÓN DE SISTEMAS CON DETERMINANTES
• RESOLUCIÓN DE SISTEMAS CON PARÁMETROS

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S. E. L.)
Definiciones básicas
Una ecuación es una igualdad en la que aparecen
una o varias incógnitas.
Ejemplos
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Una ecuación es lineal si es de la forma
Es decir, es una suma de términos. Cada término
consiste en un número (a1, a2,.. coeficientes)
multiplicado por una incógnita (x1, x2 , ). Las
incógnitas no pueden estar elevadas al cuadrado o
multiplicadas entre sí ni pueden estar dentro de
raíces u otras funciones.
En los ejemplos anteriores, son ecuaciones
lineales
1,3,4,6
no son ecuaciones lineales
2 y 5
4
Un sistema de ecuaciones lineales (SEL) es un
conjunto de ecuaciones lineales. Llamaremos
solución del sistema a una serie de números que
al sustituirlos por las incógnitas en las
ecuaciones dan lugar a igualdades numéricas
ciertas. Resolver un sistema es hallar TODAS las
soluciones del sistema
EJEMPLOS
Despejamos en la segunda ecuación y3 y
sustituimos en la primera ecuación 2x335,
2x5-9 Solución x-2, y3
Por el método de reducción, multiplicamos por -2
la primera ecuación y sumamos 5y-4 y-4/5.
Sustituyendo en la primera x21/5
Por el método de reducción, multiplicamos por 2
la primera ecuación y sumamos. Obtenemos una
igualdad falsa 013. Qué significa esto?
El sistema no tiene solución
Por el método de reducción, multiplicamos por 2
la primera ecuación y sumamos. Obtenemos una
igualdad cierta 00. Qué significa esto?
Se puede eliminar la segunda ecuación. El sistema
tiene infinitas soluciones x92y
5
(No Transcript)
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MÉTODO DE GAUSS
SISTEMAS EQUIVALENTES Diremos que dos sistemas
son equivalentes si tienen exactamente las mismas
soluciones

• Transformaciones de un sistema que dan lugar a
  otro equivalente
• multiplicar una ecuación por un número distinto
  de 0
• sustituir una ecuación por ella misma más otra
  multiplicada por un número
• cambiar el orden de las ecuaciones o de las
  incógnitas

El método de Gauss consiste en aplicar estas
transformaciones hasta obtener un sistema
triangular (todos los coeficientes por debajo
de la diagonal son cero) como este
Que resolvemos, despejando la z en la última
ecuación, y sustituyendo en la anterior y así
sucesivamente hacia arriba. z4, y12, x-7
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Pivote. Preferiblemente, coeficiente 1
E2-3E1
E3-5E1
E3-2E2
Pivote, se puede multiplicar por -1
SCD. Solución (-4,6,1)
E2-E1
E3-2E1
SCD. Solución (1,2,3)
E2-2E1
E3E1
E3E2
Igualdad numérica falsa Sistema Incompatible SI
E2-2E1
E3E1
E3E2
Igualdad numérica cierta ?
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Una igualdad numérica cierta se puede eliminar y
continuamos resolviendo el sistema. En el caso
del último ejemplo hemos acabado en un sistema
triangular pero tenemos un exceso de
incógnitas. Lo que haremos será pasar la z al
otro miembro y resolver el sistema en función de z
Para cada valor de z obtenemos unos valores de x
e y. Por tanto el sistema tiene infinitas
soluciones. (SCI). Para que quede más elegante,
hacemos
Resuelve
x y -z 1
3x 2y z 1
5x 3y 4z 2
-2x -y 5z 6
x -y z 4t 6
2x 3y -z -11t -7
y z t 1
2x -y -z 2
3x -2y 4z 1
Soluciones
Sistema incompatible SI
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Disposición práctica del método de Gauss
Puesto que los cálculos los hacemos con los
coeficientes, las incógnitas se pueden no poner,
obteniendo así una tabla numérica que tenemos que
triangularizar operando con las filas exactamente
igual que operábamos con las ecuaciones. Cuando
hayamos llegado a la tabla triangular,
recomponemos el sistema y resolvemos.
Resuelve el siguiente sistema (p.46 5a)
2x 5y 16
x 3y -2z -2
x z 4
2 5 0 16
1 3 -2 -2
1 0 1 4
1 0 1 4
1 3 -2 -2
2 5 0 16
1 0 1 4
0 3 -3 -6
0 5 -2 8
E2-E1
E23
E3-2E1
1 0 1 4
0 1 -1 -2
0 5 -2 8
1 0 1 4
0 1 -1 -2
0 0 3 18
x-2
y4
E3-5E2
z6
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Resuelve el siguiente sistema (p.40 2c)
x -2y z 11
2x -y t 9
5x -y z t 24
5x -2y -z 2t 0
1 -2 1 0 11
2 -1 0 1 9
5 -1 1 1 24
5 -2 -1 2 0
1 -2 1 0 11
0 3 -2 1 -13
0 9 -4 1 -31
0 8 -6 2 -55
1 -2 1 0 11
0 3 -2 1 -13
0 0 2 -2 8
0 0 -2 -2 -61
E2-2E1
E3-5E1
E3-3E2
E4-5E1
3E4-8E2
1 -2 1 0 11
0 3 -2 1 -13
0 0 2 -2 8
0 0 0 -4 -53
SCD. Solución(-3/4,11/4,69/4,53/4)
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SISTEMAS HOMOGÉNEOS Un sistema es homogéneo si
todos los términos independientes son cero
2x -3y z 0
3x -y 0
4x y -z 0
2 -3 1 0
3 -1 0 0
4 1 -1 0
2 -3 1 0
0 7 -3 0
0 7 -3 0
2x -3y z 0
7y -3z 0

2E2-3E1
E3-2E1
SCI (t/7, 3t/7, t)
x -2y z 0
x -y -2z 0
4x y -z 0
SCD (0,0,0)
Un sistema homogéneo puede ser incompatible?Por
qué?
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Resolución de un sistema según los valores de un
parámetro
Discute y resuelve el siguiente sistema según los
valores del parámetro a
x y 2z 2
2x -y 3z 2
5x -y az 6
No de trata de un único sistema. Son infinitos
sistemas (uno para cada valor de a) y tenemos que
decir cómo es cada uno de estos sistemas (SI SCD
ó SCI) y resolverlo en los casos de compatibilidad
Empezamos a resolver el sistema por el método de
Gauss
1 1 2 2
2 -1 3 2
5 -1 a 6
1 1 2 2
0 -3 -1 -2
0 -6 a-10 -4
1 1 2 2
0 3 1 2
0 0 a-8 0
x y 2z 2
3y z 2
(a-8)z 0
Normalmente, para acabar de resolver el sistema
hay que dividir. Y aquí es donde aparecen las
alternativas porque, recuerda
NO SE PUEDE DIVIDIR ENTRE 0
SCD
x y 2z 2
3y z 2
SCI. Solución