Matem

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Matemática Financeira

• Descontos

Prof. Ms. Cristiane Attili Castela
Aula 05
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Descontos

• O cálculo do desconto refere-se ao valor de um
  título numa data antes de seu vencimento
• O desconto é a diferença entre o valor de resgate
  e o valor presente do título na data da operação.

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Aplicações

• Cheques pré-datados
• Duplicatas

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Situação Exemplo

• Você é um fornecedor de matéria-prima para a
  indústria automotiva. Ao fornecer um lote de
  mercadorias recebe um cheque pré-datado com
  vencimento em 60 dias. Estando na época de pagar
  os seus funcionários, você precisa de capital
  para fazer os respectivos depósitos. Como fazer
  para ter dinheiro hoje?

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Resposta

• Você pode ir até o banco e antecipar o
  recebimento do cheque, porém o banco irá cobrar
  por esta antecipação. Esta cobrança efetuada pelo
  banco é o que chamamos de desconto.

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Tipos de Descontos

• Desconto Simples (Bancário ou comercial)
• A taxa de desconto incide sobre o valor futuro do
  título
• (D VF.id.n)
• Valor descontado
• (DVF - VP)

• Desconto Composto
• A taxa de desconto incide sobre o valor futuro
  deduzido dos descontos acumulados até o período
  imediatamente anterior.
• VP VF(1-id)n
• Valor do desconto (D)
• D VF - VP

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Algumas considerações

• O desconto praticado pelo mercado é o desconto
  simples, por que?
• O desconto composto existe na teoria, porém na
  prática não é usado.

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Exemplo 1
Uma duplicata de 70.000,00, com vencimento para
90 dias, foi descontada por um banco à taxa de
2,7 ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou
creditado ao cliente.

• D VF.id.n
• D 70.000 x 3 x 0,027 5.670,00
• VP VF D
• VP 70.000,00 5.670,00 64.330,00

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Exemplo 2
Calcular o valor do desconto de um título de
100.000,00, com 115 dias a vencer, sabendo-se que
a taxa de desconto é 3 ao mês.
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Exercício 1

• Uma duplicata de 95.000,00, com vencimento
  para 80 dias, foi descontada por um banco à taxa
  de 2,35 ao mês. Calcular o valor líquido
  entregue ou creditado ao cliente.

89.046,67
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Exercício 2

• Uma duplicata de 5.000,00, com vencimento
  para 125 dias, foi descontada por um banco à taxa
  de 3,6 ao mês. Calcular o valor líquido entregue
  ou creditado ao cliente.

4.250,00
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Exercício 3

• Calcular o valor do desconto de um título de
  68.000,00, com 225 dias a vencer, sabendo-se que
  a taxa de desconto é 3,5 ao mês.

17.850,00
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Exercício 4

• Calcular o valor do desconto de um título de
  34.000,00, com 200 dias a vencer, sabendo-se que
  a taxa de desconto é 20 ao ano.

3.777,78
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Exercício 5

• Determinar quantos dias faltam para o
  vencimento de uma duplicata, no valor de
  9.800,00, que sofreu um desconto de 548,50 , à
  taxa de 32 ao ano.

63 dias
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Descontos Compostos

• A taxa de desconto incide sobre o valor futuro
  deduzido dos descontos acumulados até o período
  imediatamente anterior. É obtido através de
  cálculos exponenciais e praticamente não é usado
  em nenhum país do mundo. (Vieira Sobrinho)

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Exemplo
Calcular o desconto composto efetuado sobre um
título, cujo valor de face é de 1000,00, com
vencimento em 90 dias à taxa de 2 ao mês.

• D1 VF.id 1000x0,02 20,00
• VP1 1000-20 980,00
• D2 980x0,02 19,60
• VP2 980 19,60 960,40
• D3 960,40x0,02 19,21
• VP3 960,40 19,21 941,19
• D D1D2D3 58,81

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Fazendo as contas pela fórmula
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Exercício 1
Uma duplicata no valor de R 8.000,00 foi
descontada para quatro meses antes do vencimento,
a uma taxa de desconto comercial composto igual a
3a.m. Calcule o valor líquido da operação e o
desconto sofrido pelo título.
R 7.082,34 e R 917,66
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Exercício 2

• Construa uma tabela apresentando o valor do
  desconto e o valor de resgate de um título de
  2.000,00 descontado à taxa de 2 ao mês, para os
  prazos 30, 60, 90, 120 e 150 dias, considerando
  descontos simples e descontos compostos.

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Cálculo de Desconto para uma série de Títulos do
mesmo valor

• Título 1 VF ? D1 VF.id.1
• Titulo 2 VF ? D2 VF.id.2
• Título 3 VF ? D3 VF.id.3
• Título 4 VF ? D4 VF.id.4
• ...
• Titulo n VF ? Dn VF.id.n
• Desconto total D1D2D3...Dn

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Cálculo do desconto total (Dt)

• Dt D1D2D3...Dn
• Dt VF.id.1VF.id.2VF.id.3...VF.id.n
• Dt VF.id(123...n)
• Mas, (123...n) é uma P.A.
• Então (123...n)
• Conclusão...

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Fórmula para o desconto de uma série de n títulos
com vencimentos periódicos
Obs O primeiro título vence no final do primeiro
período.
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Exemplo 1

• Calcular o valor líquido correspondente ao
  desconto bancário de 12 títulos, no valor de
  2.000,00 cada um, vencíveis de 30 a 360 dias,
  respectivamente, sendo a taxa de desconto cobrada
  pelo banco de 2 ao mês.

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Solução
Valor Líquido recebido
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Exemplo 2

• Cinco duplicatas, no valor de 40.000,00 cada
  uma, com vencimento para 90, 120, 150, 180 e 210
  dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se
  que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3
  ao mês, calcular o valor do desconto.

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Solução

• Observe que o vencimento da primeira duplicata
  ocorre em 90 dias (3 meses).
• A fórmula deve ser adaptada para esta situação

27
Solução
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Exercício 1

• Uma empresa apresenta a um banco, para
  desconto, 4 duplicatas no valor de 32.600,00
  cada uma, com vencimentos para 60, 120, 180 e 240
  dias. Calcular o valor líquido creditado pelo
  banco na conta da empresa, sabendo-se que a taxa
  de desconto cobrada é de 2,4 ao mês.

114.752,00
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Exercício 2

• Determinar o número de títulos com
  vencimentos sucessivos de 30 em 30 dias,
  descontados à taxa de 3,3 ao mês, sabendo-se que
  todos são do mesmo valor, igual a 13.000,00 cada
  um, e cujo desconto total é de 12.012,00.

7 títulos
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Comparação entre juros compostos e descontos
simples

• Vamos supor que exista um título no valor de
  1.000,00 (valor de face) que pode ser descontado
  à taxa de desconto de 2,5 ao mês.
• Construir uma tabela com o valor de resgate para
  vários períodos de antecipação.

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Tabela 1
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Calculando a taxa de juros que corresponde ao
desconto efetuado
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Exercício

• Que taxa de desconto ao mês deve ser cobrada
  numa operação com prazo de 90 dias que resulte
  numa taxa efetiva de juros de 7,1 ao mês,
  calculada com base no regime de capitalização
  composta?

6,2 a.m.
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Matemática Financeira
Exercícios sobre Descontos com IOF

• Prof. Ms. Cristiane Attili Castela

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Exercício 1
Uma empresa comercial possui em seu grupo de
contas a receber um cheque pré-datado no valor de
R 5.000,00 e cuja data de depósito está
programada para daqui a cinco meses. Sabendo que
a empresa pensa em descontar esse título em um
banco que cobra uma taxa de desconto de 3a.m.
mais uma taxa operacional (IOF) igual a 0,7 do
valor nominal, calcule o desconto sofrido pelo
título, no regime de capitalização simples.
R 785,00
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Exercício 2
A fábrica das Medalhas Milagrosas recebeu,
líquidos, R 16.613,00, resultantes do desconto
de uma nota promissória no valor de R 18.500,00.
Se a taxa de desconto por fora da operação foi
igual a 5a.m. e a taxa (IOF) aplicada sobre o
valor nominal foi igual a 0,20, calcule a
duração da operação, no regime de capitalização
simples.
2 meses
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Exercício 3
Um banco realiza operações de desconto de notas
promissórias mediante a aplicação de uma taxa
simples de desconto por fora igual a 4 a.m.
Além disso, cobra a título de IOF uma taxa igual
a 0,3 sobre o valor nominal. Qual será o valor
líquido recebido após desconto de um título com
valor nominal igual a R 12.500,00 e vencimento
em 50 dias?
R 11.629,17
Matemática I
Prof. Cristiane A. Castela
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Exercício 4
O desconto bancário de um título com valor
nominal igual a R 15.000,00 rendeu, líquidos, R
12.885,00. Se a taxa de desconto por fora foi
igual a 3 a.m. e o prazo da operação foi igual a
quatro meses e meio, estime a taxa percentual
incidente sobre o valor nominal da operação, no
regime de capitalização simples.
0,6
Matemática I
Prof. Cristiane A. Castela
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Lista de Exercícios

• Resolver os exercícios do livro
• Matemática Financeira - J. D. Vieira Sobrinho
  pág. 61 - 63