Matem

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Matemáticas, papiroflexia y balones de fútbol

• José Ignacio Royo Prieto

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Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa)

• Se empieza con un único trozo de papel cuadrado
• Sólo se puede plegar el papel
• No se pueden realizar cortes
• No se puede usar pegamento.

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Modelos tradicionales
Ilustración de A través del Espejo, de Lewis
Carrol
Barco de papel
4
León, leona y cría (David Brill)
5
Mantis religiosa (Ronald Koh)
6
Bruja (José Aníbal Voyer Iniesta)
7
Dos Cisnes (David Derudas)
8
Peces (John Montroll)
9
Demonio (Jun Maekawa)
10
Dragón (Shatoshi Kamiya)
11
Insectos (Robert Lang)
12
Rosa (Toshikazu Kawasaki)
13
(No Transcript)
14
Eric Joisel
15
Jedi Master Yoda (Fumiaki Kawahata)
16
(No Transcript)
17
Demonio de Tasmania (J.I.R.)
18
Origami Ori Doblar Kami Papel
19
Un mago convierte hojas de papel en
pájaros Grabado en madera japonés de 1818.
20
Senbazuru Orikata Japón, 1789
21
Miguel de Unamuno (Zuloaga)
22
Monumento a la Pajarita (Ramón Acín), Parque de
Huesca
23
Akira Yoshizawa
24
Akira Yoshizawa
25
(No Transcript)
26
Elefantes (Akira Yoshizawa)
27
Avispa (Kamiya)
28
Avispa (Kamiya)
29
Avispa (Kamiya)
30
Avispa (Kamiya)
31
Tomoko Fuse
32
Instrucciones de plegado de un insecto de Robert
Lang
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Relación Matemáticas-Papiroflexia

• Papiroflexia modular
• Constructibilidad de puntos con Origami
• Diseño de figuras con métodos matemáticos

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Poliedros

• Definición conjunto conexo de R3 formado por
  polígonos (caras) que cumplen
• cada lado de cada cara es compartido con otra
  cara
• en cada vértice hay un circuito cerrado de
  polígonos.

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Poliedros convexos
Su interior es convexo, y su interior se puede
definir mediante fórmulas
Siendo C el número de caras.
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Sólidos Platónicos
- Definición Un poliedro convexo es regular
si -sus caras son polígonos regulares -en
cada vértice concurre el mismo número de
aristas. -(Teeteto, 425-379 a.C.) Tan sólo
existen cinco, y son
Cubo
Octaedro
Tetraedro
Dodecaedro
Icosaedro
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(No Transcript)
38
Pirámide de Micerinos (Gizeh, Egipto)
39
Icosaedro truncado, cuestión de estado.
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Papiroflexia modular

• Hacer figuras geométricas ensamblando piezas de
  papel sencillas e idénticas (módulos)
• El interés para con las matemáticas es doble
• representación de poliedros y otras figuras
• la construcción nos acerca a las propiedades de
  esas figuras.

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Clases de módulos

• Por vértices
• por aristas
• por caras.

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Problema de la coloración

• Construir el poliedro en cuestión de modo que sus
  caras, vértices o aristas sigan un patrón.
  Ejemplo que no concurran dos colores iguales
• Utilizaremos el grafo plano de un poliedro

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Grafos planos de los sólidos platónicos
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Coloración icosaedro ? Coloración icosidodecaedro
45
Icosidodecaedro
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6 ciclos de aristas en un icosidodecaedro
47
Coloración icosaedro estrellado ? Coloración
triacontaedro rómbico
48
Triacontaedro rómbico
49
Coloración icosaedro estrellado usando módulos
Sonobè
50
Dualidad de poliedros
51
Dualidad icosaedro-dodecaedro
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Cinco Tetraedros Intersecados
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Satoshi Kamiya
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Balón de fútbol

• 12 pentágonos
• 20 hexágonos
• En cada vértice, se juntan 2 hexágonos y un
  pentágono.

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Fullerenos

• Están formados por hexágonos y pentágonos
• Concurren 3 aristas en cada vértice

Cúpula geodésica de Montreal (Richard Buckminster
Fuller)
56
Característica de Euler
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Pentágonos de un fullereno
58
Construcción de nuevos fullerenos
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Fullereno gigante (810 piezas)
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Teorema de Steinitz
Un grafo se puede realizar como un poliedro
convexo de ?3 si y sólo si es plano y 3-conexo.
Problema de Steinitz
Decidir cuándo un grafo se puede realizar en ?3
como un poliedro convexo circunscrito en la
esfera usual.
61
Fórmula de Euler para ?2
62
Dominios fundamentales
Sergei Lupashin (120 piezas)
Roberto Gretter (555 piezas)
Sarah Belcastro (105 piezas)
63
Curvatura de ?2 con origami

• Pentágonos curvatura positiva
• Hexágonos curvatura cero
• Heptágonos curvatura negativa

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Trisección del ángulo con Origami
Método de Hisashi Abe
65
Axiomática de Humiaki Huzita
O3
O1
O4
O2
O5
O6
66
New York Journal of Mathematics, 2000
67
Métodos matemáticos de diseño
68
Propiedades del mapa de cicatrices de un modelo
plano
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Proyección sobre la base de un modelo plano
Mapa de cicatrices y base correspondiente
70
Método de Kawahata-Meguro
71
Pliegue oreja de conejo
Hipérbola lugar geométrico de los incentros
72
Figuras de Fumiaki Kawahata
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Treemaker de Robert Lang
74
Tree theorem de Lang
75
Figura diseñada con Treemaker
76
Origag
(Roberto Morassi, 1984)
77
(No Transcript)
78
Bibliografía