Prevedere il futuro

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Prevedere il futuro

• Domanda E possibile prevedere il futuro?

Oroscopi? Cartomanzia? Tarocchi? Divinazione?
Metodo Deterministico
Effetto (futuro)
Causa (passato)
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Il Futuro!
COSA vogliamo prevedere?
Esempi

1. La posizione di qualcosa nello spazio una
   pallina, noi, un aereo, un treno, un soldato, un
   atomo, etc..

1. La grandezza di una certa quantità denaro,
   numero di gol segnati da una squadra,
   popolazione totale, calore, pioggia, cibo,
   petrolio, amore, guerra, etc

3. Combinazioni dei precedenti.
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Come fare?
Analizziamo il problema
- Quantità da determinare che chiameremo
(ovviamente) X(t).
- Luogo in cui formulare il problema ovvero
numero di variabili (e loro eventuali relazioni)
che occorrono per descrivere X(t).
- Cosa considerare una risposta accettabile.
- Quali sono i dati noti che abbiamo a
disposizione.
- Modellizzare descrivere la variazione di X(t)
in base ad osservazioni fisiche e congetture
mediante i dati a disposizione.
- Risoluzione del modello calcolo.
- Verifica della predizione con la realtà.
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Esempio 1 Popolazione umana

• Domanda la popolazione umana aumenterà
  allinfinito?

Semplificazione 1 le scorte di cibo sono infinite. Non ci sono fattori esterni ad influenzare la crescita.
Lincremento della popolazione nel tempo dipende
solo dalla popolazione stessa
(più siamo..più ci riproduciamo!)
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Esempio 1 Popolazione umana

• in formule se X(t) indica la popolazione al
  tempo t, allora la variazione dal tempo t al
  tempo th è data da
• X(th)-X(t)KhX(t)

Facendo tendere lincremento h a zero
X(t)KX(t)
Equazione differenziale in cui lincognita è una
funzione, non un numero! E in più deve essere una
funzione derivabile.
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Esempio 1 Popolazione umana

• La soluzione è

X(t)X(0)exp(K t)
NO Modello Errato!
Dunque, se Kgt0, la popolazione cresce in modo
esponenziale!
Abbiamo davvero risposto alla nostra domanda?
Domanda la popolazione umana aumenterà
allinfinito?
No! Confrontando i dati reali si ottengono
risultati diversi da quelli predetti.
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Esempio 1 Popolazione umana
Quale errore abbiamo fatto?
1- le scorte di cibo NON sono infinite!
2- ci sono fattori esterni, proporzionali alla
grandezza della popolazione che contribuiscono
alla diminuzione della popolazione stessa. Ad
esempio, smog, guerre, malattie
Per considerare 12, si può assumere che la
variazione della popolazione, X(t), sia
proporzionale alla popolazione, ma il fattore di
proporzionalità, K, dipende dal tempo. Ovvero,
X(t)K(t) X(t).
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Esempio 1 Popolazione umana

• La soluzione dellequazione X(t)K(t)X(t)
  dipende ovviamente da K(t).

Ad esempio, in prima approssimazione, possiamo
supporre che la popolazione decresca (a causa di
smog, fame, guerra, etc..) quando raggiunge un
certo valore A. Ovvero, in formule K(t)C (A-X(t))
La soluzione diventa complicata!
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Esempio 2 Il metodo di Newton per i polinomi

• Domanda Possiamo trovare le radici di un
  polinomio a coefficienti reali?
• p(x) ad xd a1 x a0.
• (xc è una radice se p(xc) 0)

Cioè dare delle formule generali (da scrivere
nei bigliettini per i compiti..) che esprimono le
radici tramite i coefficienti del
polinomio. Esistono solo per polinomi di secondo,
terzo e quarto grado formule analoghe per
polinomi di grado 5 o più non esistono.
(non è che non me le ricordo, proprio non ci
sono!)
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Esempio 2 Il metodo di Newton per i polinomi

• Idea di Newton (diciassettesimo secolo) trovare
  un procedimento che applicato a un numero
  qualsiasi x0 fornisca un nuovo numero x1 più
  vicino a essere una radice di quanto non fosse
  x0.. Ripetendo il procedimento partendo da x1 (e
  poi da x2, e poi da x3, e così via) si spera di
  riuscire ad approssimare una radice del polinomio
  con la precisione che si desidera.

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Esempio 2 Il metodo di Newton per i polinomi

• Algoritmo di Newton
• dato il polinomio p(x) e il tentativo iniziale
  x0, tracciamo la tangente al grafico di p nel
  punto
• (x0, p(x0)), e prendiamo come x1 l intersezione
  della tangente con lasse delle ascisse.
• In formula
• x1 x0 p(x0)/p0(x0),
• dove p0(x0) è la derivata di p calcolata in x0.

(annuisci che la tua prof di matematica ti guarda)
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Esempio 2 Il metodo di Newton per i polinomi
xc
x0
x1
x2
p(x) - x5 1.6 x3 - 0.5
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Esempio 2 Il metodo di Newton per i polinomi

• Domanda ma il metodo di Newton funziona?

• Risposta di Newton Sì, basta scegliere un
  valore x0 abbastanza vicino a una radice.

• Osservazione (sagace) di Cayley (due secoli
  dopo) ma se non sappiamo dove sono le radici
  come facciamo a essere sicuri di partire
  abbastanza vicini a una di esse?
• E poi, cosa significa abbastanza vicini?

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Esempio 2 Il metodo di Newton per i polinomi

• Riformulazione di Cayley consideriamo la
  funzione razionale
• f (x) x p(x)/p0(x).
• Preso un numero complesso x0, poniamo x1 f (x0)
  e, più in generale,
• xn f (xn1).
• Se la successione xn converge a un numero xc,
  necessariamente (no?) devessere f (xc ) xc e
  questo può succedere se e solo se p(xc) 0, cioè
  se e solo se xc è una radice di p. Quindi la
  domanda è
• per quali valori di x0 la successione xn
  converge?

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Esempio 2 Il metodo di Newton per i polinomi

• Risposta di Cayley se p è un polinomio di
  secondo grado, la risposta è facile. Lunico x0
  da escludere è quello in cui la derivata di p si
  annulla (per cui f (x0) definita), e che è il
  punto medio del segmento individuato dalle due
  radici. Partendo a sinistra del punto medio il
  procedimento converge alla radice più piccola
  partendo a destra converge alla radice più
  grande.
• Nel piano complesso bisogna escludere lasse del
  segmento congiungente le due radici e partendo
  in ciascun semipiano il procedimento converge
  alla radice contenuta in quel semipiano.

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Esempio 2 Il metodo di Newton per i polinomi

• Ma Cayley non riuscì a capire cosa succedeva con
  polinomi di terzo grado (o di grado maggiore). I
  punti medi e gli altri concetti di geometria
  euclidea non sembravano essere di alcuna utilità.
  Non riuscì neppure a capire quali domande doveva
  porsi sullinsieme dei valori per cui il metodo
  di Newton funzionava!

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Esempio 2 Il metodo di Newton per i polinomi
p(x) x3 1
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Sistemi dinamici deterministici

• In entrambi gli esempi abbiamo un sistema
  dinamico, ovvero un processo che prende un punto
  (in uno spazio) e variando il tempo restituisce
  un altro punto. Nel primo caso il sistema
  dinamico è continuo, ovvero si ha la posizione ad
  ogni istante, mentre nel secondo il sistema
  dinamico è discreto, ovvero sono ammessi solo
  certi valori per il tempo (nel nostro caso 1,
  2, )

La teoria deterministica (Newton, Laplace)
afferma che il futuro è un sistema dinamico e,
supponendo di avere una fotografia istantanea di
tutto luniverso in un dato momento, è possibile
prevedere completamente il futuro (e il passato).

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Sistemi dinamici deterministici
Per prevedere il futuro occorre

1. Ideare un sistema dinamico in cui la variazione
   della quantità di cui vogliamo predire il futuro
   sia espressa in termini di altre quantità.

2. Misurare le quantità iniziali che
intervengono nel modello.

• Risolvere il modello (calcolo delle soluzioni
  
• dellequazione differenziale).

Difficoltà
- Semplificare il modello per poterlo calcolare.
- Non semplificarlo troppo per restare attinente
alla realtà.
- Misurare i dati iniziali.
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Sistemi dinamici deterministici
Dunque è possibile prevedere il futuro! Magari
un po complicato a causa delle informazioni che
dobbiamo procurarci e delle difficoltà di fare i
calcoli.
Ma..

1. (domanda filosofica) ma allora il libero
   arbitrio non esiste?

2. Ma perché non azzeccano mai le previsioni
del tempo?

1. Ma perché la mia squadra del cuore pur essendo
   chiaramente più forte ha perso?

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Signore e Signori.
Il Caos
1. Principio di indeterminazione di Heisenberg
(meccanica quantistica) e impossibile misurare
allo stesso tempo posizione e velocità di una
particella.
2. La farfalla di Lorenz piccole variazioni dei
dati iniziali comportano enormi variazioni delle
soluzioni del problema.
3. Le soluzioni di un sistema dinamico tendono a
configurazioni stabili dette attrattori. Alcuni
sono strani, detti attrattori caotici.
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La Farfalla di Lorenz
Il battito dali di una farfalla in Giappone può
creare una tromba daria in California.
In alcuni sistemi dinamici, una minima variazione
nella misurazione dei dati iniziali provoca una
cambiamento enorme sui risultati finali. Poiché
non è possibile tener conto di ogni dato e non è
possibile misurare ogni dato in modo esatto, è
allora impossibile prevedere il futuro?
Eppure gli aerei volano, i treni sono (qualche
volta) in orario, lInter vince lo scudetto (ma
non sono interista!) e le previsioni
meteorologiche non sono poi cosi sbagliate!
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Attrattori
Invece di considerare un sistema dinamico a
partire da dati iniziali specifici, si considera
a partire da ogni possibile dato iniziale e si
cercano le sue orbite. Le orbite si accumulano ad
alcune orbite, detti attrattori.
Orbita che si accumula sullorbita chiusa
Orbita chiusa
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Attrattori caotici
In alcuni casi questi attrattori sono strani. Li
chiamiamo talvolta frattali.
Strano attrattore
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Ordine nel Caos
Gli strani attrattori hanno una buona proprietà
sono autosimilari il tutto è uguale ad ogni sua
parte, dunque cè ordine nel caos.
Attrattori caotici esistono in natura
Dinamica dei fluidi (torrenti, vortici, meteo,
etc..)
Dinamica di comportamenti sociali
Idea del caos in romanzi, film, vita comune.