Geostatistik in der Geoinformation I

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Geostatistik in der Geoinformation I

• Einführung Deterministische Verfahren

Vortrag GIS-Seminar WS 01/02 Von Andreas
Benoit Betreuer Prof. Schuh
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Übersicht

• Einführung
• Warum interpolieren / approximieren ?
• Was ist interpolieren / approximieren?
• Deterministische Verfahren
• Approximation und Interpolation mit
  Basisfunktionen
• Polynome
• Trigonometrische
• Harmonische Analyse
• Kubische Splines
• Deterministische Prädiktion
• Statistische Verfahren
• Stochastische Prädiktion Kollokation (siehe
  Jens)
• Kriging (siehe Jeff)

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Warum interpolieren / approximieren?

• Gegeben (gemessen) sind diskrete Daten
• Gesucht sind kontinuierliche Darstellungen
• Übergang durch Inter- / Extrapolation oder
  Approximation

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Was ist das überhaupt ?

• Interpolation
• Reproduktion der Stützstellen
• Wenn gleich viele Beobachtung wie Parameter
  existieren.

• Approximation
• Abweichung Minimieren
• Wenn mehr Beobachtungen als Parameter existieren

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Erscheinungsbild der Daten

• Die Messdaten präsentieren sich in folgender
  Form
• l v Ax
• l Ax z n
• Ax deterministischer Anteil
• Z Signal
• N Noise (Rauschen)

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Beispieldatensätze

• Ausreißerest
• 7 Messungen
• 4. Messung ist 1
• Alle anderen sind Null
• Klotoide
• 6 Messungen

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Berechnungsweise

• Das Prinzip der Berechnung ist immer gleich. Man
  versucht den Trend zu eliminieren.
• a (ATA)-1ATz
• f B (ATA)-1AT z

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Polynomisch Satz 1

• Grün Polynom Grad 2
• Rot Polynom Grad 4
• Blau Polynom Grad 6

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Polynomisch - Satz 2

• Rot Polynom Grad 3
• Blau Polynom Grad 5

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Trigonometrisch - Satz 1

• Rot Sinus Funktion
• Blau Cosinus Funktion
• Grün cos und sin

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Harmonische Analyse - Satz 1

• Rot Grad 2x
• Blau Grad 3x

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Trigonometrisch Harmonische Analyse - Satz 2

• Rot Sinus Funktion
• Blau Cosinus Funktion
• Grün Cosinus Sinus
• Schwarz Grad 2x/3x

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Kubische Splines

• Funktion nur zwischen 2 Stützpunkten definiert,
  um bessere Annäherung an die lokale Umgebung
• Problem Ecken an den Übergängen.
• Lösung ersten beiden Ableitungen müssen gleich
  sein, dann gleiche Krümmung
• Deshalb in der Regel Funktion der Grades 3

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Kubische Splines

• pi(x) ai bi(x-xi) ci(x-xi)2 di(x-xi)3

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Kubische Splines - Satz 1
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Kubische Splines - Satz 2

• Schwarze Striche sind Stützstellen

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Fazit

• Eine richtige Interpolation oder Approximation
  gibt es nicht, zumindest mit unseren Mitteln.
• Verschiedene Verfahren sind für verschiedene
  Probleme unterschiedlich gut geeignet.
• Der Rechenaufwand ist z.T. erheblich
  unterschiedlich.

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Und jetzt ?

• Eisbrecher Jamal Murmansker Seerederei