Matrices y Determinantes

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Matrices y Determinantes

• Conceptos básicos.

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Matrices

• Una matriz es una ordenación rectangular de
  elementos dispuestos en filas y columnas
  encerrados entre paréntesis

Las matrices se nombran con letras mayúsculas
A, B, C, .... y sus elementos con minúsculas con
dos subíndices aij, que indican respectivamente
la fila y la columna en la que se sitúa el
elemento
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Tipos de matrices

• Matriz fila
• Una matriz fila está constituida por una sola
  fila.

n1
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• Matriz columna
• La matriz columna tiene una sola columna

m1
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Tipos de matrices

• Matriz cuadrada
• La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas
  que de columnas.
• Los elementos de la forma aii constituyen la
  diagonal principal.
• La diagonal secundaria la forman los elementos
  con ij n1.

nm
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• Matriz rectangular
• Matriz en la cual m no es igual a n

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• Matriz nula
• En una matriz nula todos los elementos son ceros.

• n m
• b) aij0 si  i  ? j  y aij 1 si i j

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• Matriz triangular superior
• En una matriz triangular superior los elementos
  situados por debajo de la diagonal principal son
  ceros.

• n m
• b) aij 0 si  i  gt j

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• Matriz triangular inferior
• En una matriz triangular inferior los elementos
  situados por encima de la diagonal principal son
  ceros.

• n m
• b) aij 0 si i lt j

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• Matriz diagonal
• En una matriz diagonal todos los elementos
  situados por encima y por debajo de la diagonal
  principal son nulos.

a)  n m b)  aij0 si  i  ? j  
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• Matriz escalar
• Una matriz escalar es una matriz diagonal en la
  que los elementos de la diagonal principal son
  iguales.

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• Matriz identidad o unidad
• Una matriz identidad es una matriz diagonal en la
  que los elementos de la diagonal principal son
  iguales a 1.

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• Matriz traspuesta
• Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de
  A a la matriz que se obtiene cambiando
  ordenadamente las filas por las columnas

(At)t A (A B)t At Bt (a A)t a At (A
 B)t Bt At
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• Matriz regular
• Una matriz regular es una matriz cuadrada que
  tiene inversa.

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• Matriz singular
• Una matriz singular no tiene matriz inversa.

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• Matriz idempotente
• Una matriz, A, es idempotente si

A2 A.
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• Matriz involutiva
• Una matriz, A, es involutiva si

A2 I.
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• Matriz simétrica
• Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que
  verifica

• n m
• b) aij aji

A At
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• Matriz antisimétrica o hemisimétrica
• Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una
  matriz cuadrada que verifica

A -At.
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• Matriz ortogonal
• Una matriz es ortogonal si verifica que

AAt I
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Aplicaciones de matrices en otras áreas del
conocimiento
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• Matrices en la computación
• Las matrices son utilizadas ampliamente en la
  computación, por su facilidad y liviandad para
  manipular información. En este contexto, son la
  mejor forma para representar grafos, y son muy
  utilizadas en el cálculo numérico.

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• Ya en el año 450 a.C. los espartanos de Grecia
  enviaban mensajes codificados. Para
• ello enrollaban una banda de cuero o cinturón
  sobre un cilindro, se escribía el mensaje
• y al desenrollar la banda de cuero ésta parecía
  que sólo estaba adornada con marcas
• inocentes. Sin embargo, si el destinatario del
  mensaje arrollaba nuevamente la banda
• alrededor de un cilindro similar al utilizado
  cuando se escribió dicho mensaje, éste
• podía ser leído sin dificultad. Este método es un
  sistema de codificación por
• transposición.

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• La máquina Enigma era un dispositivo para
  codificar mensajes
• empleado por los alemanes en la II Guerra Mundial.

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Determinantes
El determinante de una matriz cuadrada es un
número que se obtiene a partir de los elementos
de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto
que simplifica la resolución de sistemas lineales
y el cálculo de la matriz inversa, entre otras
aplicaciones.
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Propiedades de las determinantes

• 1. El determinante no varía si se traspone la
  matriz. Es decir det A det At .
• (Esta propiedad permite enunciar las demás sólo
  para filas o columnas).
• 2. Si permutamos entre sí dos filas (o columnas)
  el determinante cambia de signo.
• 3. Si multiplicamos (o dividimos) una fila o
  columna por un número el determinante queda
  multiplicado por dicho número.
• (Esta propiedad sirve para poder sacar factor
  común en un determinante)

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• 4. Si todos los elementos de una fila (o columna)
  son nulos, el determinante también lo es.
• 5. Si dos filas (o columnas) son iguales (o
  proporcionales)el determinante es 0.
• 6. Si todos los elementos de una línea se
  descomponen en suma de dos sumandos, el
  determinante puede descomponerse también como
  suma de dos determinantes.

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• 7. Si una fila o columna es c.l. de las otras su
  determinante es cero.
• 8. Si a una fila (columna) de una matriz se le
  suma otra fila (columna) multiplicada por un nºel
  determinante no varía.
• 9. Si una matriz cuadrada es triangular (superior
  o inferior) su determinante es igual al producto
  de los elementos de su diagonal principal.
• Consecuencia Si I es la matriz identidad su
  determinante vale 1.

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• 10. El determinante de un producto de matrices
  (de órdenes iguales) es igual al producto de sus
  determinantes.
• Es decir det AB det A. det B.
• 11. Si  A-1 entonces ½A½-1 1/A
• En efecto,  A.A-1 I  , luego AA-1 I  1