Presentaci

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Presentación elaborada por la profesora Ana Mª
Zapatero a partir de los materiales utilizados en
el centro (Editorial SM)

• Espacio afín
• 2º Bachillerato

2
(No Transcript)
3
Coordenadas en el espacio
(x, y, z) son las coordenadas de P respecto del
sistema de referencia S.
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Ejes coordenados. Planos coordenados

• Los tres vectores de la base B determinan con el
  origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ.

• Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos
  coordenados del sistema de referencia.

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Coordenadas de un vector libre cualquiera
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Coordenadas del punto medio de un segmento
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Elementos geométricos
Los objetos o elementos geométricos elementales
del espacio tridimensional son los puntos, las
rectas, los planos, las curvas y las
superficies. Estos elementos geométricos pueden
determinarse mediante ecuaciones paramétricas. La
dimensión del elemento coincide con el número de
parámetros.
Rectas y curvas (dimensión 1)
Dimensión
Planos y superficies (dimensión 2)
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Rectas en el espacio ecuación vectorial
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Rectas en el espacio ecuaciones paramétricas
Al igualar las coordenadas queda (x, y, z) (
x0tv1, y0tv2, z0tv3) por lo que
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Rectas en el espacio ecuación en forma continua
Despejando t en cada una de ellas e igualando,
obtenemos las ecuaciones de la recta que no
dependen de ningún parámetro
Las ecuaciones en forma continua de la recta r
que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene por vector
director (v1, v2, v3) son
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Rectas en el espacio ecuación implícita
Como la tercera ecuación es combinación lineal
de la otras dos, suprimiendo una ellas, la
segunda por ejemplo, y operando obtenemos
Este par de ecuaciones es la ecuación de la recta
en forma implícita. En general
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Ecuaciones de los ejes coordenados
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Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
(b1, b2, b3)
Por tanto la ecuación de la recta será (x, y, z)
(a1, a2, a3) t (b1a1, b2a2, b3a3 )
(a1, a2, a3)
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Planos ecuación vectorial
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Planos ecuaciones paramétricas y general
y operando queda Ax By Cz D 0
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Vector normal a un plano
Como A (x1,y1,z1)? p y B (x2,y2,z2)? p tenemos
que ax1 by1 cz1 d 0 ax2 by2 cz2
d 0
Restando término a término obtenemos a(x2 x1)
b(y2 y1) c(z2 z1) 0 (a, b, c) . (x2
x1, y2 y1, z2 z1) 0
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Planos ecuación normal
Sea M un punto cualquiera del plano a, y sea (A,
B, C) un vector normal al plano.
Desarrollando la expresión anterior
obtenemos (A, B, C) (x x1 , y y1 , z z1
) 0 A( x x1 ) B(y y1 ) C(z z1 ) 0 o
bien A x B y C z D 0 donde A, B, y C son
las componentes del vector normal al plano.
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Planos ecuaciones de los planos coordenados
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Ecuación del plano que pasa por tres puntos
La determinación lineal de dicho plano será
Como los tres vectores están en el mismo plano,
son dependientes y por lo tanto su ecuación se
obtendrá desarrollando el siguiente determinante
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Posiciones relativas recta y plano
Sean el plano p ax by cz d 0 y la
recta r Estudiar las posiciones relativas de
recta y plano equivale a estudiar el número de
soluciones del sistema que forman las tres
ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices
asociadas a dicho sistema.
1
2
3
Recta y plano secantes
Recta y plano paralelos
Recta contenida en el plano
Sistema compatible determinado
Sistema compatible indeterminado con 1 g.l.
Sistema incompatible
rango(A) rango (B) 3
rango(A) 2 rango (B) 2
rango(A) 2 rango (B) 3
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Posiciones relativas dos planos
Sean dos planos p ax by cz d 0 y
p a'x b'y c'z d' 0. Estudiar las
posiciones relativas de ambos planos equivale a
estudiar el número de soluciones del sistema que
forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices
asociadas a dicho sistema.
3
2
1
Sistema compatible indeterminado con 2 g.l.
Sistema compatible indeterminado con 1 g.l.
Sistema incompatible
rango(A) rango(B) 2
rango(A) 1 rango(B) 2
rango(A) rango(B) 1
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Posiciones relativas tres planos (I)
Sean p ax by cz d 0 y p' a'x b'y
c'z d' 0 y p" a"x b"y c"z d"
0. Estudiar las posiciones relativas de estos
planos equivale a estudiar el número de
soluciones del sistema que forman sus ecuaciones.
Sean A y B las matrices asociadas a dicho
sistema.
1
2a
2b
Dos planos paralelos y un tercero secante a ellos
Prisma
Triedro
Los tres planos tienen un punto en común
Los tres planos no tienen puntos en común
Los tres planos no tienen puntos en común
Sistema incompatible Todos los menores de orden 2
son no nulos
Sistema incompatible
Sistema compatible determinado
rango(A) rango(B) 3
rango(A) 2 rango(B) 3
rango(A) 2 rango(B) 3
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Posiciones relativas tres planos (II)
Sean p ax by cz d 0 y p' a'x b'y
c'z d' 0 y p" a"x b"y c"z d" 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambos
planos equivale a estudiar el número de
soluciones del sistema que forman sus ecuaciones.
Sean A y B las matrices asociadas a dicho
sistema.
3a
4
3b
Dos planos coincidentes y un tercero secante a
ellos
Tres planos coincidentes
Tres planos distintos
Los tres planos tienen infinitos puntos en común
Los tres planos tienen una recta en común
Los tres planos tienen una recta en común
Sistema comp. Ind. Todos los menores de orden dos
son nulos
Sistema comp. ind.
Sistema compatible indeterminado con 1 g.l.
rango(A) rango(B) 2
rango(A) rango(B) 2
rango(A) rango(B) 1
24
Posiciones relativas tres planos (III)
Sean p ax by cz d 0 y p' a'x b'y
c'z d' 0 y p" a"x b"y c"z d"
0. Estudiar las posiciones relativas de ambos
planos equivale a estudiar el número de
soluciones del sistema que forman sus ecuaciones.
Sean A y B las matrices asociadas a dicho
sistema.
5b
5a
Dos planos coincidentes y un tercero paralelo a
ellos
Tres planos paralelos
Los tres planos no tienen puntos en común
Los tres planos no tienen puntos en común
Sistema incompatible Todos los menores de orden 2
de A son nulos
Sistema incompatible Hay dos planos con
ecuaciones de coeficientes proporcionales
rango(A) 1 rango(B) 2
rango(A) 1 rango(B) 2
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Posiciones relativas dos rectas (I)
Sea la recta r
Sea la recta s Estudiar las
posiciones relativas de ambas rectas equivale a
estudiar el número de soluciones del sistema que
forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A
y B las matrices asociadas a dicho sistema.
1
2
Rectas coincidentes
Rectas paralelas
Las rectas no tienen puntos en común
Las rectas tienen todos sus puntos comunes
Sistema compatible indeterminado con 1 g.l.
Sistema incompatible
rango(A) rango(B) 2
rango(A) 2 rango(B) 3
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Posiciones relativas dos rectas (II)
Sea la recta r
Sea la recta s Estudiar las posiciones
relativas de ambas rectas equivale a estudiar el
número de soluciones del sistema que forman las
cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las
matrices asociadas a dicho sistema.
3
4
Rectas secantes
Rectas que se cruzan
Las rectas no tienen puntos en común
Las dos rectas tienen un punto en común
Sistema incompatible Todos los menores de orden 3
son no nulos
Sistema compatible determinado
rango(A) 3 rango(B) 4
rango(A) rango(B) 3
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Haces de planos
1
2
Haz de planos paralelos
Haz de planos secantes
Dados ?AxByCzD0 ? ? A?xB?yC?zD ? 0
cualquier combinación lineal de ellos Pertenece
al haz
Dado AxByCzD0 todos los planos paralelos
tienen el mismo vector normal por eso los
coeficientes de x, y, z, son todos proporcionales
Los haces de planos se pueden expresar como
AxByCzD ?(A?xB?yC?zD ?)0 Para que el haz
quede completo hay que añadir el 2ºplano
AxByCzD 0
Los haces de planos se pueden expresar como
AxByCz?0 con ? ? R.
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Posiciones de dos planos dados por sus
determinaciones normales
 




Los vectores normales no son paralelos
Planos secantes
Rango 2
Los vectores normales son paralelos y A no está
en p A?p ó
Rango 1
Planos paralelos
Los vectores normales son paralelos y A está en
p A?p ó
Planos coincidentes
Rango 1
29
Posiciones de recta y plano dados por sus
determinaciones lineal y normal
 




Los vectores no son ortogonales
La recta y el plano son secantes
Los vectores son ortogonales y A no está en p
A?p es decir
La recta y el plano son paralelos
y A?p
Los vectores normales son paralelos y A está en
p A?p es decir
La recta está conte- nida en el plano
y A?p
30
Posiciones de dos rectas dados por sus
determinaciones lineales
 





Rango 2
Rango 3
Se cruzan
Rango 2
Rango 2
Rectas secantes
Rectas paralelas
Rango 1
Rango 2
Rango 1
Rango 1
Rectas coincidentes