DETERMINANTES

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DETERMINANTES
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• Determinante de una matriz cuadrada
• Propiedades
• Cálculo del rango de una matriz
• Resolución de S.E.L con determinantes
• Teorema de Rouché
• Regla de Cramer
• Cálculo de la matriz inversa

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Determinante de una matriz cuadrada

Sea A una matriz cuadrada . Llamaremos
determinante de A y lo designaremos por det(A) o
A a un número que definiremos de la siguiente
forma
1) Determinante de una matriz de orden 2
Ejemplos
23-(-1)410
4
2) Determinante de una matriz de orden 3 o
superior
Para definir el determinante de una matriz de
orden 3 o superior hay que definir previamente
los siguientes conceptos

Menor complementario del elemento aij (se designa
por Mij) es el determinante que resulta al
suprimir en la matriz A la fila i y la columna j
M12
M23
M22
M33
-3
0
8
Adjunto del elemento aij (se designa por Aij)
Aij(-1)ij .Mij
En el ejemplo anterior A11(-1)233
A12(-1)314-14 A23-8
5
El adjunto coincide con el menor complementario,
tan solo cambia el signo tendrá igual signo o
signo contrario según el siguiente esquema
Determinante de una matriz cuadrada es el número
que se obtiene al multiplicar los elementos de la
primera fila por sus respectivos adjuntos
Aa11A11a12A12a13A13.a1nA1n
Más adelante veremos que se puede obtener el
mismo resultado si utilizamos cualquier otra fila
o columna
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Ejemplos
a11A11a12A12a13A13
3-214-329-112
(-2)(-2)-2(-2)8
-750
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Regla de Sarrus (para determinantes de matrices
de orden 3)






Productos positivos
Productos negativos
Ejemplo
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PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1. Un determinante se puede desarrollar por
   cualquier fila o columna

Por ejemplo, el determinante de una matriz de
orden 4 desarrollado por la 3ª fila,
quedaría Aa31A31a32A32a33A13a34A34
Ejemplo para calcular el determinante siguiente
lo haremos por la 2ª columna (que es la que
tiene más ceros)
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• El determinante de una matriz coincide con el
  determinante de su transpuesta
• AAt
• En consecuencia, todas las propiedades que se
  enuncien para
• filas serán también válidas para columnas

1. Si una matriz tiene una fila (columna) de ceros,
   el determinante vale 0

4. Si permutamos dos filas, el determinante
cambia de signo

1. Si en un determinante una fila es proporcional a
   otra fila entonces dicho determinante vale 0.

1. Un determinante con dos filas (o dos columnas)
   iguales vale 0

1. Si multiplicamos todos los elementos de una fila
   por un número, el determinante queda multiplicado
   por dicho número

884672
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1. Si descomponemos una fila (o columna) en suma de
   dos vectores, el determinante se puede obtener
   como suma de dos determinantes, de la siguiente
   forma

• Si a una fila le sumamos una combinación lineal
  del resto de las filas, el determinante no varía.
  La misma operación se puede hacer con las
  columnas.
• Esta propiedad nos servirá para hacer ceros en
  una fila o columna de un determinante antes de
  desarrollarlo

11
10. Si en un determinante, una fila (columna) es
combinación lineal de las otras filas (de las
otras columnas), el determinante vale 0
Ya que la tercera columna es la suma de las dos
primeras

1. Recíprocamente si un determinante vale 0, hay
   una fila que es combinación lineal de las demás
   filas. Y también hay una columna que es
   combinación lineal de las demás columnas.

Esta propiedad es la que utilizaremos para el
cálculo del rango. Calcula los siguientes
determinantes. Qué puedes decir del rango de las
respectivas matrices?
A0 . Por tanto hay una fila C.L. de las otras
rang(A)lt3
B28 . Por tanto las tres filas son L.I.
rang(B)3
12. ABAB
12
Cálculo del rango de una matriz con determinantes.
NOTA hablamos ahora de una matriz de cualquier
dimensión, no necesariamente cuadrada
El rango de una matriz es el mayor nº de filas
(columnas) Linealmente independientes
RECUERDA
La propiedad 11 nos dice que si un determinante
vale 0 hay una C.L. entre sus filas. De aquí se
deduce la siguiente propiedad
El rango de una matriz es el orden del mayor
menor no nulo
Llamamos menor a un determinante formado por
algunas filas y algunas columnas de la matriz A
En la práctica, buscaremos un menor no nulo (de
orden 2, por ejemplo). Le añadiremos una fila y
una columna (orlamos el menor). Si todos los
menores orlados que podemos hacer con una fila
fija y todas las columnas son cero, entonces esa
fila es C.L. de las otras (a efectos de rango, se
podría suprimir). Si, por el contrario, hay
alguno no nulo, pasamos a orlar éste y así
sucesivamente.
0 1 2
-1 4 1
1 -2 -3
0 1 3
-1 4 7
1 -2 3
0 1 2 3
-1 4 1 7
1 -2 -3 3
0 1
-1 4
4?0
1
0
rang(A)3
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Ejemplo. Vamos a calcular el rango de la matriz A
Por tanto, rang(A)2. De hecho, podemos afirmar
que las dos primeras filas son L.I.
Añadimos al menor la fila 3 y las columnas 3, 4 y
5
Podemos afirmar que las fila 3 es CL de las filas
1 y 2
Añadimos al menor la fila 4 y las columnas 3, 4 y
5
Rang(A)2
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Otro ejemplo. Vamos a calcular el rango de la
matriz A
Por tanto, rang(A)2. De hecho, podemos afirmar
que las dos primeras filas son L.I.
Añadimos al menor la fila 3 y las columnas 3, 4 y
5
Podemos afirmar que las tres primeras filas son
L.I. rang(A)3
Añadimos al nuevo menor no nulo la fila 4 y las
columnas 3 y 4
rang(A)4
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Resolución de sistemas con determinantes
A X B
Expresión matricial de un Sistema de Ecuaciones
Lineales
RECUERDA
A Matriz de coeficientes o matriz del sistema
B Vector de términos independientes
A matriz ampliada AB matriz de los
coeficientes a la que se le añade una columna a
la derecha, la columna de los términos
independientes
Teorema de Rouche Un S.E.L. es compatible ?
rang(A)rang(A)
En el ejemplo rang(A)rang(A)3. El sistema es
compatible
El rango de una matriz es el mayor número de
columnas L.I. Como la matriz A es tiene las
mismas columnas de A más una (la de los términos
independientes), el rango de A será igual al
rango de A (S.C.) ó será mayor (en concreto, una
unidad más, ya que sólo añadimos un vector) en
este caso el sistema será S.I.
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Además del teorema de Rouche, si el rango de la
matriz coincide con el rango de la ampliada,
podemos asegurar que - Si coincide con el
número de incógnitas el sistema será determinado.
- En caso contrario, será indeterminado
RESUMEN

• Si rang(A)rang(A) nº de incógnitas SCD
  (compatible determinado)
• Si rang(A)rang(A) lt nº de incógnitas SCI
  (compatible indeterminado)
• Si rang(A)?rang(A) SI (incompatible)

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Regla de Cramer
Definición Un sistema es de Cramer si

• El nº de ecuaciones es igual al nº de incógnitas
• A?0

Regla de Cramer
Un sistema de Cramer es compatible determinado
(S.C.D.) y su solución viene dada por las
siguientes fórmulas
Donde Ax, Ay, Az, son las matrices que resultan
al sustituir la columna de la incógnita
correspondiente (1ª, 2ª, 3ª,) por la columna de
los términos independientes
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Ejemplo 1
Por tanto es un sistema de Cramer SCD
Solución
Ejemplo 2
SCD
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INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA
Una matriz cuadrada tiene inversa
A?0
En este caso diremos que la matriz A es regular .
En cambio, si A0 entonces diremos que A es
singular
Cálculo de la matriz inversa
Donde Adj(A) es la matriz que resulta de
sustituir cada elemento de A por su adjunto
20
3 9
1 4
Ejemplo1 Calcula la inversa de la matriz A
A3 Por tanto, A tiene inversa. Para
calcularla, calculamos primero los adjuntos de
todos los elementos
4 -1
-9 3
4/3 -3
-1/3 1
4 -9
-1 3
Adj(A)
Adj(A)t


Ejemplo2
-1 6 -2
-2 12 -5
-1 5 -2
A-46-11
Adj(A)
-1 -2 -1
6 12 5
-2 -5 2
-1 -2 -1
6 12 5
-2 -5 2
A-1
Adj(A)t


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Aplicaciones ecuaciones matriciales

1) Resuelve la ecuación AXB, siendo
-3 6
2 0
-4 1
B
2) Resuelve la ecuación XBC, siendo
3 9
1 4
-1 2
4 6
B
C
3) Resuelve la ecuación AXBC, siendo
A