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Évaluation, Analyse et Gestion des Risques
Financiers

• Lotfi BELKACEM
• Professeur IHEC Sousse

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Plan du cours

• Motivation et description de la problématique
• Quelques outils statistiques
• La notion de risque
• Les mesures Standards des risques
• La Value-at-Risk
• Au-delà de la VaR Risques Extrêmes
• Le Backtesting
• Le stresstesting

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Quelques Références Bibliographiques

• JORION P. Value at risk the new Benchmark for
  controlling Market risks, McGraw-Hill, 2001.
• Roncalli, T. La Gestion des Risques Financiers
  , Economica
• Belkacem L. et Aubry H. Au-delà de la VaR, vers
  une nouvelle mesure du risque en gestion de
  portefeuille, Analyse Financière, Juin 1998.
• Belkacem L. et Aubry Hugues "Hedging Model of
  Extreme Values and Mutualisation of Risk in
  Emerging Financial Markets" Euro-Mediterranean
  Economic and Finance Review,2006.
• Danielson J. et de Vries C. G. " Value-at-Risk
  and Extreme Returns " , Annales déconomie et de
  statistique N60, 2000.
• EMBRECHTS, KLÜPPELBERG and MIKOSH (1997)
  Modeling Extremal Events for insurance and
  Finance, Springer-verlag.
• COLES (2001) An introduction to statistical
  modeling of extreme value, Springer-verlag.
• BIERLANT, TEUGELS and VYNCKIER (1996) Practical
  analysis of extreme values, Leuven. University
  Press,
• JP Morgan RiskMetrics , (1996). Technical
  Document, Fourth Edition,.
• JP Morgan CreditMetrics , (1997). Technical
  Document,.

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Motivation et description de la problématique

• Jusquà la fin des années 80, le risque bancaire
  prenait essentiellement deux formes
• Le risque de crédit (risque de contrepartie)
  risque de défaillance dun emprunteur.
• Le risque de liquidité difficulté potentielle
  de réaliser rapidement et sans perte
  significative de valeur, une transaction.
• Les années 90 développement rapide des
  instruments dérivés et libéralisation des
  mouvements internationaux des capitaux.
• augmentation des activités de
  trading dans les banques, les assurances et les
  réassurances.
• évolution particulièrement
  importante du risque de marché auquel sont
  exposés les établissements financiers.

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Motivation et description de la problématique

• Quelques points de repère sur les désastres
  financières

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Motivation et description de la problématique

• Réglementation en matière de contrôle des risques
  règles et recommandation de surveillance
  prudentielles imposées par les autorités
  réglementaires le comité de Bâle
• Cette réglementation impose une exigence
  minimale de fonds propres sur toutes les
  opérations financières qui représentent un
  risque.
• CAD Capital adequacy directive tjs
  avoir un montant de FP qui va couvrir le risque
  ajuster les FP à la grandeur des risques
• Ratio Mc Donough
• Les FP doivent couvrir au mois 8 du
  risque global

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Motivation et description de la problématique

• Les actifs financiers sont régis par des
  comportements aléatoires qui traduisent la
  complexité du monde économique et politique. La
  mesure et la gestion des risques sont ainsi
  devenus des enjeux majeurs pour les opérateurs
  des marchés financiers, et intéressent les
  chercheurs du Laboratoire de probabilités et
  modèles aléatoires. Les outils mathématiques que
  ces derniers développent offrent une modélisation
  et des méthodes quantitatives adaptées à la
  description et au contrôle des risques
  financiers.

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Objectifs

• Apporter des réponses aux questions liées à
  lévaluation, à lanalyse et à la gestion des
  risques financiers au sein de lactivité
  bancaire.
• Expliquer les méthodologies existantes
  utilisables à la définition dun cadre exhaustif
  pour lévaluation des risques, les processus
  dévaluation et des accords de Bâle II afin de
  relever le défi global des risques. /

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Objectifs

• Ce cours a pour but de fournir les mesures et
  les techniques d'évaluation du risque sur le
  marché des actions, le marché des changes et le
  marché de crédit.

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Quelques outils statistiques Les Statistiques
dordre

• Soient n variables aléatoires iid X1, X2, Xn.
• Rangeons ces variables aléatoires par ordre
  croissant de grandeur . Pour cela, nous
  introduisons la notation Xin avec
• Xin est donc la i-ème statistique dordre dans
  léchantillon de taille n.
• Exemples
• X1nmin(X1, , Xn)
• Xnnmax(X1, , Xn)

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Quelques outils statistiques Les Statistiques
dordre
12
Quelques outils statistiques Fonction de
répartition empirique

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Quelques outils statistiques Fonction quantile

• Théorique
• Empirique

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Quelques outils statistiques Q-Q Plot

• Le graphique Quantile-Quantile permet de tester
  graphiquement ladéquation dune famille de lois
  à des données. Goodness-of-fit ?
• Dans la pratique étant donné un ensemble des
  données de valeurs x1, x2, .xn, on remplace la
  fonction de quantile théorique Q(p) par son
  approximation et on trace les quantiles
  empiriques contre les
  quantiles calculés à partir de la distribution
  spécifique dans un repère orthogonal.

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Quelques outils statistiques Conditionnement

• La distribution conditionnelle de X sachant que
• est exprimé par

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Quelques outils statistiques Loi Limite de la
somme des n variables aléatoires

17
Quelques outils statistiques Loi Limite de la
somme des n variables aléatoires

• Lévy (1925) a montré que de telles lois
  existent, en introduisant pour cela la notion de
  loi stable.

18
Quelques outils statistiques Loi Limite de la
somme des n variables aléatoires

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Quelques outils statistiques De la somme au
maximum

• De la même façon que pour la somme, on peut se
  demander sil existe une loi des grands nombres
  et un théorème central limite pour le
  maximum?
• En normalisant convenablement, peut-on trouver
  une loi non dégénérée pour le maximum?
• Celle loi dépend-elle de la normalisation
  choisie?

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Quelques outils statistiques Loi Limite des
maxima
21
Quelques outils statistiques Loi Limite des
maxima
22
Quelques outils statistiques Loi Limite des
maxima
23
Quelques outils statistiques Loi Limite des
maxima

• Théorème limite de Fisher-Tippet

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Quelques outils statistiques Loi Limite des
maxima
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Quelques outils statistiques Loi Limite des
maxima
26
Quelques outils statistiques Loi Limite des
maxima

• En général, on applique le théorème comme suit
  on considère n suffisamment grand et fixé on
  fait alors lapproximation suivante

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Quelques outils statistiques Caractérisation
des domaines dattraction

• On dit quune distribution F appartient au
  max-domaine dattraction de G et on note F ?
  MDA(G)
• si la distribution du maximum normalisée
  converge vers G.

Domaine dattraction Distributions appartenant au domaine dattraction
MDA(?) Exponentielle, Normale, Gamma, Lognormale, etc.
MDA(Fa) Cauchy, Pareto, a-stable (alt2), etc.
MDA(?a) Uniforme, Beta, etc.
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Quelques outils statistiques Caractérisation
des domaines dattraction

• Remarque les 3 distributions des VE sont très
  différentes en terme de MDA
• Dans MDA(?) on trouve des distributions qui nont
  pas de queues épaisses
• Dans MDA(Fa) on trouve des distributions à queues
  épaisses
• Dans MDA(?a) on trouve des distributions à
  supports finis.

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Quelques outils statistiques Generalized
Extreme Value distribution (GEV)

• Loi de probabilité de von Mises-Jenkinson
• Nous pouvons caractériser les trois types de
  distribution précédentes par une distribution
  unique

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Quelques outils statistiques Generalized
Extreme Value distribution (GEV)

• Fonction densité de GEV
• Quantile dordre p de la distribution GEV

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Quelques outils statistiques Visualisation des
extrêmes

• Strict exponential quantile plot

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Quelques outils statistiques Visualisation des
extrêmes

• Shifted exponential quantile plot

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Quelques outils statistiques Visualisation des
extrêmes

• Weibull quantile plot

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Quelques outils statistiques Visualisation des
extrêmes

• Lognormal quantile plot

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Quelques outils statistiques Visualisation des
extrêmes

• Pareto quantile plot
• Strict Pareto case
• Bounded Pareto case

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Quelques outils statistiques Etude de la loi
des excès Modèles à seuils

• Létude du maximum sest historiquement imposée
  comme la première méthode pour estimer les
  phénomènes extrêmes.
• Néanmoins, en réassurance, une variable
  dintérêt peut également être la loi des excès
  (la loi de X sachant Xgtu) pour un seuil u
  suffisamment grand.

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Quelques outils statistiques Etude de la loi
des excès Modèles à seuils

• Nous allons nous intéresser au comportement de
  X/Xgtu, pour des seuils u suffisamment élevés.
• Cette étude fera naturellement apparaître la loi
  de Pareto Généralisée ou GPD

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Quelques outils statistiques Etude de la loi
des excès Modèles à seuils

• Loi de Pareto généralisé GPD
• Nous nous intéressons à la probabilité
  conditionnelle suivante

39
Quelques outils statistiques Etude de la loi
des excès Modèles à seuils

• Loi de Pareto généralisé GPD

40
Quelques outils statistiques Etude de la loi
des excès Modèles à seuils
Remarque Cette loi est intéressante
puisquelle correspond à la loi limite
des excès
41
Quelques outils statistiques Etude de la loi
des excès Modèles à seuils

• Excess Function
• Étant donnée un niveau u pour tout sinistre dans
  le secteur dassurance, le réassureur doit
  considérer une variable aléatoire conditionnelle
  (X-u / Xgtu).
• Dans le but de calculer le niveau de prime
  lactuaire est amené à calculer le Mean Excess
  Function (MEF)
• Dans la pratique le MEF est estimé par
  en utilisant un échantillon représenté par (X1,
  Xn)

42
Quelques outils statistiques Etude de la loi
des excès Modèles à seuils

• Excess Function

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Quelques outils statistiques Etude de la loi
des excès Modèles à seuils

• Shape of some MEF

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Quelques outils statistiques Etude de la loi
des excès Modèles à seuils

• Empirical Mean Excess Function plots
• La représentation graphique des valeurs des
  excès moyens empirique peut prendre deux formes

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Quelques outils statistiques Etude de la loi
des excès Modèles à seuils

• Empirical Mean Excess Function plots
• La représentation de en fonction de u
  permet didentifier le niveau optimal de u
• Mean residual life plot du rendement du CAC40

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Théorie des Valeurs Extrêmes et Applications
Estimation de quantiles extrêmes

• Pour évaluer les risques extrêmes, nous serons
  intéressés par lestimation de probabilité
  dévénements rares (coûts de sinistres dépassant
  un seuil élevé), ou de façon duale, les quantiles
  associés à des niveaux élevés (99, 99,9,
  99,99, )
• estimation de lindice de queue ?
  indiquant limportance des risques extrêmes pour
  une distribution

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Quelques outils statistiques Estimation de
lindice de queue

• Utilisation de la loi GEV
• Considérons un échantillon des données Xt de
  taille T K n avec K?IN . Nous divisons cet
  échantillon en K blocs et nous définissons le
  maximum de la façon suivante
• Nous disposons alors dun échantillon de maxima
  (Y1, YK).
• lexpression de la vraisemblance de
  lobservation k est donc

48
Quelques outils statistiques Estimation de
lindice de queue
49
Quelques outils statistiques Estimation de
lindice de queue
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Quelques outils statistiques Estimation de
lindice de queue

• Utilisation de la loi GPD
• Considérons un échantillon des données Xt de
  taille T K n
• Nous divisons cet échantillon en K blocs et nous
  définissons
• le maximum de la façon suivante
• Nous disposons alors dun échantillon de
  max-excès (Y1, ,YK)
• i.i.d. selon la loi GPD de fonction densité

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Quelques outils statistiques Estimation de
lindice de queue

• lexpression de log-vraisemblance de
  lobservation k
• est donc

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Quelques outils statistiques Estimation de
lindice de queue

• Quelques variantes destimateurs
• La plupart des estimateurs du paramètre de queue
  reposent sur lutilisation de la statistique
  dordre.
• A partir dun échantillon de taille n, on
  sintéresse aux k valeurs les plus grandes.
• Les estimateurs les plus utilisés en pratique
  sont
• Estimateur de Pickands (1975)

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Quelques outils statistiques Estimation de
quantiles extrêmes

• Estimateur de Hill (1975)
• Estimateur de Dekkers, Einmalh et de Haan (1990)

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Quelques outils statistiques Estimation de
quantiles extrêmes

• Remarque
• La principale difficulté de ces estimateurs est
  le choix de k
• Si k est petit, le biais est faible, la variance
  est grande
• Si k est grand, le biais est grand, la variance
  est petite.
• Comportement asymptotique
• sous des hypothèses de régularité et de vitesse
  de convergence de m par rapport à n, on a la
  normalité asymptotique des estimateurs

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Quelques outils statistiques Estimation de
quantiles extrêmes

• Remarque
• Lestimateur de Hill présente une variance
  asymptotique plus
• faible que les trois autres (dans le cas où ?gt0).
• Il est généralement le plus utilisé.

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La notion de risque

• Le risque est lié à la survenance dun événement
  non prévisible qui peut avoir des conséquences
  importantes sur le bilan ou le compte de résultat
  de la banque ou de la société dassurance
• Généralement on distingue trois types de risque
• Risque de marché
• Risque de crédit
• Risque opérationnel

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La notion de risque Types de risque

• Risque de crédit défini par la défaillance
  dune contre partie et/ou la dégradation de la
  qualité de lemprunteur (baisse de la valeur de
  lemprunt obligataire ou dégradation du rating).
• Risque de marché risque lié aux pertes sur les
  positions du bilan (baisse de la valeur des FP)
  et/ou du hors bilan (activités de trading).
• Risque opérationnels Défaillance des procédures
  de gestion et du système interne de contrôle de
  risque, événements externes (exp panne
  délectricité).

58
La notion de risque Types de risque

• Quelques exemples de risque
• Risque de crédit (credit risk)
• Risque de défaillance (default risk)
• Risque de dégradation de la valeur de la créance
  (downgrading risk)
• Risque de marché (market risk)
• Risque de taux dintérêt (interest rate risk)
• Risque de change (currency risk)
• Risque de volatilité (volatility risk)
• Risque opérationnel (operational risk)
• Risque de désastre (disaster risk)
• Risque de fraude (fraud risk)
• Risque technologique (technologic risk)
• Risque juridique (litigation risk)

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La notion de risque Types de risque

• Répartition optimale des 3 risques suivant les
  instructions du comité de Bâle (Janvier 2001)

Types de risque Exigence en FP Répartition
Crédit Marché opérationnel 6 0,4 1,6 75 5 20
Total 8 100
60
La mesure cohérente de risque
61
La mesure cohérente de risque
62
Lapproche classique de risque en finance

• La modélisation classique des variations de prix
  repose sur lhypothèse de normalité.
• Modèle de la marche aléatoire (mouvement
  brownien à temps discret)

63
Lapproche classique de risque en finance

• Hypothèse defficience du marché Le cours
  reflète pleinement et instantanément toute
  linformation disponible
• La normalité des rentabilités résume le
  comportement dun portefeuille autour des deux
  premiers moments (Espérance et variance)
• La mesure classique de risque en finance est la
  volatilité suffisante dans un univers gaussien

64
Les modèles destimation de la volatilité
GARCH
Historique
EWMA (RMetrics)
RM ? 0.94
65
Lapproche classique de risque en finance

• Limites
• Insuffisante dans un univers non gaussien
  matrice var-cov ne donne quune information
  limitée sur la structure de dépendance
• X et Y deux v.a telle que Cov(X,Y) 0
  nimplique pas que
• X et Y sont indépendantes (la réciproque est
  vraie)
• Nest pas une mesure cohérente du risque ne
  vérifie pas la condition de monotonie, ni celle
  dinvariance déchelle.
• Accorde autant de poids aux gains et au pertes
• développer des mesures de risque de perte
  Étudier le comportements des queues de
  distribution des pertes.

66
Lapproche classique de risque en finance

• Illustration
• Sous la loi normale
• Temps de retour de ces deux phénomènes
• T 1/P 740 jours 3 ans ( 250 jours 1 an)
• T 1/P 31250 jours 125 ans
• Interprétation
• Sous la loi normale ce type de phénomène
  arrive en moyenne tous les 125 ans.

67
(No Transcript)
68
Rentabilités journalières du Nasdaq
69
La Value at Risk

• La VaR est une mesure du risque de perte et
  correspond à la notion de quantile
• Définition
• La Valeur en Risque ou la Value at Risk (noté
  VaR) est une mesure de la perte potentielle que
  peut subir un titre ou un portefeuille suite à
  des mouvements défavorables des prix de marché.
  Elle permet de répondre à la question suivante
• Combien létablissement financier peut-il perdre
  avec une probabilité ? pour un horizon de
  temps h fixé ?

70
La Value at Risk

• Deux éléments sont donc indispensables pour
  interpréter la VaR
• La période de détention (holding period) qui
  correspond à la période sur laquelle la variation
  de valeur du titre ou du portefeuille est
  mesurée
• Le seuil de confiance ? qui correspond à la
  probabilité dobserver une perte inférieure à la
  valeur en risque.
• Un risque à 10 jours avec une probabilité de 99
  est beaucoup plus important quun risque à 1
  jours avec une probabilité 90. Dans le 1er cas,
  nous avons une chance sur 100 que la perte
  réalisée pour les 10 prochains jours ouvrés soit
  supérieure à celle estimée par la VaR. Dans le
  second cas, nous avons une chance sur 10 que la
  perte réalisé demain soit plus grande que la VaR.

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La Value at Risk

• Soit P(t) la valeur dun portefeuille à la date
  t.
• La variation du portefeuille entre les dates t et
  th
• (h est la période de détention) est appelée PL
  (Profit Loss)
• PL P(th) P(t)
• Nous pouvons aussi définir la perte L - PL.
• La valeur en risque au seuil de confiance ? est
  définie par
• PrL lt VaR(?) ?

72
La Value at Risk
73
La Value at Risk

• Remarques
• La mesure VaR marché donne une image du risque de
  marché dans le cadre de conditions normales du
  marché. Cest pourquoi le seuil de confiance est
  fixé à 99 alors que celui-ci est fixé à 99,9
  pour les risques de crédit et opérationnel
• Pour le calcul du capital réglementaire, la
  période de détention est fixée à 10 jours de
  trading. Cest le temps que les autorités jugent
  nécessaire pour que la banque puisse retourner sa
  position

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La Value at Risk Méthode destimation

• Trois grandes familles de méthodes
• La VaR analytique ou paramétrique
• La VaR historique ou non paramétrique
• La VaR Monte-Carlo

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La VaR paramétrique

• Considérons un portefeuille linéaire composé de
  m actifs et dont la composition est
• ? (?1, , ?m). Nous notons Pi(t) et ri(t) le
  prix et le rendement journalier de l actif i à
  la date t.
• La valeur du portefeuille à la date t est donc

76
La VaR paramétrique

• Le PL entre les dates t et t1 est donc

77
La VaR paramétrique

• Exemple

Titres A B C
Rendements moyens 0,50 0,30 0,20
volatilités 2 3 1
Prix actuels 244 135 315
Composition du Portefeuille 2 -1 1
78
La VaR historique

• Contrairement à la VaR paramétrique, la VaR
  historique ne fait pas dhypothèse sur la
  distribution jointe des facteurs de risque. Elle
  utilise directement la distribution empirique des
  rendements des actifs.
• Supposons que nous disposons dun historique de
  données de longueur n.
• A linstant t, nous pouvons valoriser le
  portefeuille en appliquant les rendements
  historiques. Nous pouvons donc calculer n
  réalisations possibles du PL que nous notons
  PL1, PLn
• et donc en déduire le quantile empirique de la
  perte au seuil de confiance a.
• Pour cela, nous calculons les statistiques
  dordre
• La VaR est égale à la valeur absolue de
  plus petite valeur

79
La VaR historique

• Exemple pour un seuil de confiance de 99, la
  VaR correspond à la plus petite perte
  si la taille de lhistorique est 100, à la
  10-ième plus petite perte si la
  taille de lhistorique est 1000.
• Lorsque nest pas un entier, la
  VaR est calculé par interpolation

80
La VaR historique

• Exemple Reprenons le portefeuille précédent.
• Nous calculons
• les rendements journaliers des trois actifs sur
  les 251 derniers jours ouvrés.
• Les prix choqués des trois actifs prix
  choqué(t)prix actuel X (1r(t))

81
La VaR historique

• Quelques détails
• Le rendement logarithmique pour la date t-250 de
  lactif A est égale à
• Log(100,98) - Log(100) 0,009898. Si nous
  appliquons ce choc au
• prix actuel de lactif A (244 ), nous obtenons
  un prix choqué égale à
• 244 X (198)246,3
• Si les chocs historiques observés il y a 250
  jours se reproduisent,
• PL (2 X 246,38-136,83313,61) - (2 X
  244-135315) 1,54
• Une fois que nous avons calculé les 250 valeurs
  de PL, nous les trions par ordre croissant.
• Les pertes les plus importants sont de
  -28,42-22,59-20,98 -20,94
• -19,59 -17,35 etc.

82
La VaR historique
83
La VaR Monte Carlo

• La VaR Monte Carlo est basé sur la simulation des
  rendements de portefeuille (r1(t1), r2(t1)) à
  partir dune distribution a priori (nous pouvons
  faire lhypothèse que les rendements sont
  gaussiens).
• Si nous considérons n simulations de ces
  rendements, nous pouvons calculer n variations
  simulés de la valeur du portefeuille.
• Il suffit ensuite de calculer le quantile
  correspondant comme pour la méthode de la VaR
  historique

84
La VaR Monte Carlo
85
Application

• 4 actions Alcatel, Total, Airliquid, Carrefour
• Période 01/01/2001 jusquà 30/12/2005
• Composition du portefeuille (0.318 0.098
  0.470 0.112)

86
Application
87
Application
88
Application
89
Application
90
Les aspects réglementaires du calcul de la VaR

• Le seuil de confiance
• Théoriquement, ce seuil sinterprète comme une
  fréquence.
• Il est fixé par les autorités réglementaires à
  99. Cela veut dire que la probabilité dobserver
  une perte supérieur à la VaR est de 1. Cela doit
  donc se produire théoriquement une période toutes
  les cents périodes. Comme la période de détention
  est de 10 jours, nous aurons un retour tous les
  1000 jours (quatre années calendaires). Une VaR
  10 jours au seuil de confiance de 99 est donc
  équivalente à une couverture à quatre ans.
• Pour une banque, ce seuil de confiance indique le
  degré de couverture de ses risques.

91
Les aspects réglementaires du calcul de la VaR

• Ce seuil tient une grande importance pour le
  calcul des fonds propres
• Sous lhypothèse de normalité, nous pouvons
  calculer la variation du niveau de fonds propres
  requis selon le niveau de confiance souhaité par
  rapport à lexigence réglementaire.

a () 90 95 98,04 98,5 99 99,5 99,96
? () -44,9 -29,3 -11,4 -9,69 0 10,7 44,1
92
Les aspects réglementaires du calcul de la VaR

• Le facteur complémentaire
• La VaR peut être différente de la perte
  potentielle réelle pour plusieurs raisons les
  hypothèses qui sont faites ne sont pas réalistes,
  lestimation des paramètres nest pas assez
  précise.
• les autorités réglementaires ont
  jugé nécessaire de corriger lestimation de
  quantile par un facteur de prudence.
• celui-ci correspond implicitement au facteur
  multiplicatif (3?).
• Ce facteur, souvent présenté comme arbitraire, a
  des fondements théorique rigoureux.

93
Les aspects réglementaires du calcul de la VaR

• Si la distribution F de la perte est
  effectivement gaussienne, le coefficient ? est
  égale à un.
• Si elle présente des queues épaisses, on peut
  sattendre à ce que ce coefficient soit plus
  grand
• Si la distribution est asymétrique, nous en
  déduisons daprès linégalité de BT que

94
Les aspects réglementaires du calcul de la VaR

• Par conséquent
• Et comme
  ,nous avons
• Le ratio est le
  coefficient de multiplication qui permet dêtre
  sûr que la VaR correspond bien à un quantile au
  moins égale à a. lorsque nous utilisons à raison
  une approximation gaussienne.

95
Les aspects réglementaires du calcul de la VaR

• Nous remarquons que lorsque le seuil de confiance
  est égal à 99, ce ratio est proche de 3. Cest
  la justification théorique du facteur
  multiplicatif.
• En pratique, ce ratio est plus difficile à
  justifier (VaR gaussienne très peu utilisée, pb
  de cohérence entre le calcul des FP et la
  procédure de backtesting). La justification la
  plus plausible de ce facteur est peut être le
  grand décalage entre la mesure basée sur les
  modèles internes et celle basé sur lapproche
  standard.

96
Les aspects réglementaires du calcul de la VaR

• Le scaling
• La comité de Bâle impose une période détention de
  10 jours pour calculer les fonds propres et une
  période de détention de 1 jour pour lexercice de
  backtesting.
• Les banques sont autorisées à convertir la VaR
  1jour en une VaR 10 jours par scaling

97
La VaR - GEV

• Considérons un portefeuille linéaire composé de
  m actifs et dont la composition est ? (?1, ,
  ?m). Nous notons Pi(t) et ri(t) le prix et le
  rendement journalier de l actif i à la date t.
• La valeur du portefeuille à la date t est donc
• Nous pouvons construire une valeur en risque GEV
  pour le portefeuille linéaire en procédant de la
  façon suivante
• 1. Soit n la taille des blocs maxima. Nous
  définissons le seuil de couverture
  équivalent en égalisant les temps de retour

98
La VaR - GEV

• 2. Nous modélisons alors la loi du maximum de
• - r(t) Log(P(t-1))- Log(P(t)) par la
  distribution GEV.
• Notons la distribution estimé
• 3. Rappelons que la VaR journalière est définie
  par
• Nous en déduisons que
• Remarque pour des raisons de robustesse, nous
  préférons modéliser - r(t) et non r(t), car nous
  cherchons à calculer directement le quantile a de
  la perte, et non le quantile 1- a du gain.

99
La VaR - GEV

• Exemple
• Roncalli (2000).
• Nous considérons
• 4 portefeuilles

CAC40 DJ
P1 P2 P3 P4 1 0 0 1 1 1 1 -1
100
La VaR - GEV

• Interprétations
• La VaR analytique gaussienne, comparée à la VaR
  historique, sous-estime les risques pour des
  quantiles supérieurs à 99 alors quelle le
  surestime pour les quantiles à 90. Ceci est dû
  au faite que lapproximation gaussienne conduit à
  accorder moins de poids aux événements extrêmes.
• A 99 et 99,6, la VaR historique est toujours
  supérieur à la VaR GEV ceci provient du fait que
  lorsquon prend pour référence des quantiles
  supérieurs à 99, les événements extrêmes sont de
  moins en moins nombreux.
• A 99,9, les VaR historique et GEV sont
  sensiblement les mêmes. Cependant on peut dire
  que la mesure VaR GEV est plus pertinente car
  elle fait intervenir un plus grand nombre des
  points dans les calculs.

101
Au-delà de la VaRUtilisation de lapproximation
GPD

• Nous nous intéressons ici à la modélisation de
  la queu de la distribution , au-delà dun seuil
  u.
• Notons le nombre de
  dépassement de u dans léchantillon X1, Xn.
• Nous rappelons la fonction de distribution des
  excès par rapport à u.

102
Au-delà de la VaRUtilisation de lapproximation
GPD

• On peut alors donner une estimation de la queue
  de distribution
• remarquons que cet estimateur est valable pour
  xgtu.
• Cet estimateur peut être vu comme un estimateur
  historique amélioré par la théorie des extrêmes
• Un estimateur de la VaR est obtenu alors en
  inversant lestimateur de la queue de distribution

103
Au-delà de la VaRUtilisation de lapproximation
GPD

• Expected shortfall ou VaR conditionnelle
• Cest lespérance de la perte au-delà de la VaR
  définie par
• Lexpected shortfall peut être écrite aussi sous
  la suivante
• Un estimateur semi-paramétrique de ES(a) est
  donc

104
Notion de temps de retour

• Les financiers et les réassureurs utilisent une
  notion pertinente pour caractériser la rareté
  dun événement le temps de retour ou return
  period/time. Cette notion est née en hydrologie
  et peut se caractériser comme suit.
• Soient X1, X2, Xn les montants des maxima
  annuels observés sur les n dernières années,
  supposés iid. Considérons un seuil u au delà
  duquel une observation est jugé extrême.
• Le temps de retour est la variable aléatoire
  associée au premier dépassement du seuil u,
• Notons que la variable suit une loi
  géométrique

105
Notion de temps de retour

• En effet,
• Grace à lhypothèse dindépendances des maxima
  annuels,
• On appellera période de retour dun sinistre ou
  dun événement dépassant u la moyenne du temps de
  premier excès
• cest le temps dattente moyen entre deux
  dépassements

106
Notion de temps de retour

• Exemple
• Soit F la distribution des pertes.
• La valeur en risque pour un niveau de couverture
  a est
• Nous avons donc
• Exemple le seuil associé à un crue de période
  de retour T est la VaR de niveau de probabilité
  1/T

107
Backtesting

• le but est de confronter la VaR calculée avec
  les pertes et profits effectivement réalisés
• adéquation de la méthode utilisée pour le
  calcul de la VaR.
• Considérons alors les valeurs de la VaR à un
  niveau de confiance a. Pour chaque jour dun
  historique de T jours, nous comparons la VaR
  prévue à la perte réalisée. Nous calculons alors
  le nombre de dépassements noté N.

108
Backtesting

• Table de comité de Bâle
• Il est à remarquer que le rapport N/T doit être
  de lordre de (1-a)

Niveau de confiance Région dacceptation T255
90 16ltNlt36
92.5 11ltNlt28
95 6ltNlt21
97.5 2ltNlt12
99 Nlt7
109
Backtesting (Application)
110
Backtesting
111
Stress testing

• Un programme de simulation de crise doit être en
  mesure de répondre à ces trois questions
• Quelles seront les pertes si le scénario X se
  produit?
• Quels sont les pires scénarios pour
  linstitution?
• Que pouvons-nous faire pour limiter les pertes
  dans ce cas?
• la méthode fondée sur la TVE propose de
  créer des scénarios de crise en caractérisant la
  loi de extrema dune ou plusieurs séries
  financières. Les scénarios de crise sont ensuite
  définis comme des variations sur ces séries dont
  la probabilité doccurrence est très faible.

112
Stress testing

• Afin de rendre plus intuitive cette démarche,
  nous utilisons la notion de temps de retour.
• Construire un scénario de crise consiste à
  fournir pour un temps de retour préalablement
  choisi (correspondant au degré de gravité de
  scénario) la ou les variations journalières
  extrêmes associées pour chacun des principaux
  facteurs de risque du portefeuille

113
Stress testingApproche paramétrique

• A partir de la série initiale, nous créons la
  série des extrema pour des tailles de blocs
  fixées à n jours (ce qui sinterprète comme le
  pire à n jours).
• Ensuite, il ne reste plus quà calibrer les
  paramètres de la GEV ( qui est dans notre cas une
  Fréchet) à laide destimateur standard de type
  MV.
• Nous choisissons alors des temps de retour de 3,
  5, 10, 25, 50, 75 et 100 ans. Ensuite, nous
  calculons
• puis les variations maximales de chaque titre
  relatives à ces niveau de confiance

114
Stress testingApproche paramétrique (Application)
115
Stress testingApproche semi-paramétrique

• Cette approche nutilise que la caractérisation
  du domaine dattraction de la distribution de
  Fréchet. On nutilise donc pas une série des
  extrema mais on se focalise sur les propriétés de
  la série initiale en queue de distribution. En
  effet, on sait quau-delà dun certain seuil les
  excès suivent une GPD.
• Nous construisons des scénarios de crise pour
  chaque titre après avoir déterminé son seuil par
  la méthode de Hill. Pour chaque temps de retour,
  nous calculons les variations maximales.

116
Stress testingApproche semi-paramétrique
(Application)