Introduzione alla Analisi non standard

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Introduzione allaAnalisi non standard
La solita Mate oppure

• Un progetto per pecore nere (o almeno grigio
  scure) che vogliono ugualmente volare
• by
• Flavia Piergiorgio

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Definizione del problema

• La funzione y f(x). Un percorso inverso
  rispetto allanalisi classica validi motivi per
  pensare a partire dal grafico
• LAnalisi Non Standard e i numeri iperreali un
  approccio interessante e pluridisciplinare

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Prerequisiti

• Uso di un ambiente foglio elettronico
• Uso di un ambiente di presentazione
• Nozione di funzione, di numero reale e della
  rispettiva rappresentazione cartesiana
• Capacità di lavorare in gruppo, condividendo
  regole operative e modalità di cooperazione
• Soprattutto molta curiosità e voglia di
  insolito

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Gli obiettivi

• Aumentare la motivazione allo studio della
  matematica
• Inquadrare storicamente alcuni importanti
  concetti disciplinari
• Utilizzare consapevolmente strumenti informatici
• Acquisire i contenuti essenziali per lo studio
  dei numeri iperreali

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I destinatari possibili

• Studenti del triennio (tipicamente una classe
  quarta o una quinta nella prima parte dellanno
  scolastico) nellambito della didattica ordinaria
• Gruppo di apprendimento trasversale nellambito
  di un corso di approfondimento/eccellenza (ma
  anche di rimotivazione culturale)

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Gli strumenti

• Laboratorio informatico e/o multimediale
• Ambiente spreadsheet ambiente di presentazione
• Internet, biblioteca
• Materiali prodotti dal docente

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Il percorso

• I limiti della rappresentazione di funzioni qual
  è il passo minimo? (attività con un foglio
  elettronico)
• La risposta dellanalisi non-standard il
  concetto di infinitesimo (ricerca su internet e
  biblioteca)
• La generalizzazione i numeri iperreali
  (contributo esperto del docente tramite
  supporti didattici multimediali)
• Una nuova mappa dei saperi matematici (riordino
  dei concetti acquisiti mediante ambiente di
  presentazione)

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Time-table
Dove Come Cosa Chi Quando
Laboratorio informatica Ambiente foglio elettronico Tabulare funzioni Studenti a coppie 1-2 ore
Aula Lezione dialogata Analisi critica del lavoro fatto Docente versus gruppo classe 1 ora
Laboratorio informatica Browserword processor Approfondire la nozione di infinitesimo Studenti a coppie 1-2 ore
Laboratorio informatica Ambiente di presentazione Sintesi risultati ottenuti Studenti in piccolo gruppo 2-4 ore
Aula multimediale Ambiente di presentazione Contributo esperto Docente versus gruppo classe 1-2 ore
Laboratorio informatica Ambiente di presentazione Produzione mappe/ipertestuali Studenti in piccolo gruppo 2-4 ore
Aula multimediale Ambiente di presentazione Presentazione risultati ottenuti Piccolo gruppo versus gruppo classe 2 ore
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Verifica criteri

• Partecipare al lavoro di gruppo esercitando e
  accettando il coordinamento di questo
• Utilizzare consapevolmente e in modo produttivo i
  diversi ambienti informatici
• Contribuire attivamente in modo critico alle
  attività nel gruppo classe
• Acquisire i concetti principali dellanalisi non
  standard e dei numeri iperreali

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Verifica griglia
Livello 1 Ottimo Livello 2 Buono Livello 3 Sufficiente Livello 4 Insufficiente Livello 5 Scarso
Lavoro in classe Partecipazione costruttiva Partecipazione attiva Partecipazione sollecitata Atteggiamento passivo Atteggiamento di disturbo
Lavoro di gruppo Esercita e accetta il coordinamento Sa coordinare ma non si fa coordinare Si fa coordinare ma non sa coordinare Atteggiamento passivo Atteggiamento di disturbo
Uso delle tecnologie Sceglie le tecnologie più opportune Usa in modo autonomo le tecnologie proposte Sa usare le tecnologie proposte se guidato costantemente Usa in modo parziale e assistito le tecnologie proposte Rifiuta di usare anche le più semplici tecnologie proposte
Organizzazione e produzione dei materiali Originale e personale Corretta e completa Adeguata ed essenziale Lacunosa e poco efficace Pressoché assente
Acquisizione dei nuovi contenuti Completa e approfondita Completa ed essenziale Corretta ed essenziale Parziale ed essenziale Pressoché assente
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Piste di approfondimento

• Le slide seguenti suggeriscono percorsi di
  approfondimento/integrazione, da utilizzare per
  predisporre le piste di ricerca degli studenti in
  piccoli gruppi (su internet e/o biblioteca)
  allinterno o oltre il percorso fin qui proposto

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Non solo matematica

• Lanalisi non standard (ANS per abbreviare) ha
  una storia molto intrigante
• Viene intuita da Leibniz quando con/contro Newton
  sta costruendo lanalisi proponendo un approccio
  differente
• Viene seppellita perché poco matematica dagli
  analisti dellOttocento
• Viene riscoperta da un logico post-Godeliano (che
  si chiama quasi come un film o una canzone mr.
  Robinson!) allinizio degli Anni Sessanta
• è quindi culturalmente contemporanea del
  movimento pacifista, dei jeans e dei Beatles (o
  dei Rolling Stones naturalmente) e del Laureato

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ma anche filosofia e storia

• Alle radici dellANS cè quindi Leibniz
  personaggio geniale e poliedrico, anche lui
  pacifista e antimperialista (cercherà inutilmente
  di contrastare limperialismo di Luigi XIV)
• e la sua riscoperta dellatomismo la monade
  di Leibniz in matematica diventa appunto
  linfinitesimo (concetto fondamentale per lANS)

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o chimica e fisica

• Il numero nellANS assomiglia terribilmente al
  modello moderno di atomo
• Ha un nucleo (che è costituito dalla sua parte
  reale o parte standard)
• Ed è avvolto da una sorta di nube di infinitesimi
  (come gli elettroni negli orbitali atomici)

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o inglese

• I testi fondamentali dellANS sono nati negli
  USA curiosamente il primo esempio completo è
  stato un testo prodotto per linsegnamento della
  matematica in una scuola superiore (non in una
  università!) può essere divertente tradurre
  qualche pagina dagli originali

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o informatica

• La rappresentazione al calcolatore dei numeri
  reali corrisponde molto più agli iperreali che ai
  reali
• negli iperreali infatti non vale il principio di
  Archimede (dati due numeri è sempre possibile
  costruirne uno maggiore del maggiore e minore del
  minore) esattamente come nella rappresentazione
  in macchina dei numeri al calcolatore

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o psicologia

• Ragionare sui numeri iperreali ha simpatiche
  implicazioni psicologico-relazionali
• su cosa davvero significhi essere vicini o
  lontani
• su cosa significhi essere uguali (o allineati o
  standard) o diversi (o non allineati o
  non-standard)
• sul perché del successo o dellinsuccesso delle
  persone e delle teorie (o delle mode, anche
  culturali e/o didattiche)

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Appendice materiali allegati

• Scheda excel da usare come provocazione
  iniziale
• Materiale powerpoint da usare un po come
  analisi critica, un po come contributo
  esperto

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Scheda excel
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20
Scheda powerpoint
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21
Scheda powerpoint
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