Reti di Petri Musicali

1
Reti di Petri Musicali
Adriano Baratè adriano.barate_at_unimi.ithttp//www.
lim.dico.unimi.it/didatt/materiali/pns.ppt
2
Scopi

• Definire uno strumento di rappresentazione delle
  strutture musicali, ad un livello più astratto
  della notazione
• Utilizzare la definizione di generico Oggetto
  Musicale (Music Object - MO)

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Scopi

• Utilizzare un formalismo che presenti le seguenti
  caratteristiche
• Affinità con il modo di ragionare del compositore
• Supporto di diversi livelli di rappresentazione
  dellinformazione musicale
• Meccanismi di morfismo tra i vari livelli di
  rappresentazione
• Strutture di elaborazione concorrente
• Operatori per elaborare e trasformare le entità
  musicali
• Alta flessibilità

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Reti di Petri Introduzione

• Una Rete di Petri (Petri Net PN)è un modello
  astratto e formaleatto a rappresentare la
  dinamica di un sistema che esibisce attività
  asincrone e concorrenti
• Utilizzando questo modello è possibile
• rappresentare la struttura musicale di un brano
  esistente (strumento per lanalisi)
• creare brani lavorando ad un livello di
  astrazione più alto della notazione o del segnale
  (strumento per la sintesi)

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Caratteristiche

• Le Reti di Petri Musicali introdotte di seguito
  presentano le seguenti caratteristiche
• Uso di pochi simboli
• Rappresentazione grafica
• Descrizione di gerarchie
• Descrizione di algoritmi applicabili a MOs
• Gestione della temporizzazione
• Possibilità di strutture deterministiche /
  non-deterministiche
• Gestione di macro per strutture comuni
• Sintesi della musica descritta

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Oggetti Musicali (Music Objects MOs)

• Un oggetto musicale è una qualsiasi entità con
  una valenza musicale ad esempio
• Un frammento di partitura
• Un frammento audio
• Un comando di controllo di unapparecchiatura di
  sintesi
• Una specifica di parametri musicali (tempo,
  volume)

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Oggetti Musicali (Music Objects MOs)

• Nei primi anni 80 i MOs erano descritti
  attraverso lo standard MIDI
• Dal 2004 si è esteso il modello attraverso
  lutilizzo dellMX

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Reti di Petri (Petri Nets PNs) Definizione
formale

• Una PN è una tripla
• PN (P, T, A)
• dove P è detto insieme dei posti, T è detto
  insieme delle transizioni ed A è detto insieme
  degli archi. Inoltre devono valere le proprietà
• 1. P ? T ?
• 2. P ? T ? ?
• 3. A ? (P ? T) ? (T ? P)
• 4. dom(A) ? ran(A) P ? T, dove
• dom(A) x? P ? T (x,y) ? A per qualche y?
  P ? T
• ran(A) y? P ? T (x,y) ? A per qualche x?
  P ? T

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Reti di Petri concetti fondamentali
Transizioni
Posti
Archi
Marche (Tokens)
Pesi degli archi
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Regole formali

• 1. P ? T ?
• Un nodo non può essere contemporaneamente di tipo
  posto e di tipo transizione
• 2. P ? T ? ?
• In una PN ci deve essere almeno un posto o una
  transizione

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Regole formali

• 3. A ? (P ? T) ? (T ? P)
• Possono essere collegati fra loro solo nodi di
  tipo diverso

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Regole formali

• 4. dom(A) ? ran(A) P ? T, dove
• dom(A) x? P ? T (x,y) ? A per qualche y?
  P ? T
• ran(A) y? P ? T (x,y) ? A per qualche x?
  P ? T
• dom(A) dominio degli archi
• ran(A) codominio (range) degli archi
• In una PN non possono esistere nodi isolati

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Esecuzione di una PN

• Una PN non è statica, ma può mutare le sue
  caratteristiche quando viene eseguita
• Partenza dellesecuzione stato iniziale
• Esecuzione sequenza di scatti che mutano lo
  stato della rete
• Termine dellesecuzione assenza di possibilità
  di scatto

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Regole di scatto

• Se tutti i posti di ingresso di una transizione
  hanno un numero di marche maggiore o uguale al
  peso dei rispettivi archi in ingresso, la
  transizione si dice abilitata allo scatto.
• Se una transizione è abilitata allo scatto,
  lesecuzione dello scatto toglierà dai posti in
  ingresso un numero di marche pari al peso
  dellarco in ingresso ed aggiungerà ad ogni posto
  in uscita tante marche quanto è il peso dellarco
  in uscita.

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Situazione non deterministica 1 alternativa
Sia T1 che T2 sono abilitate allo scatto perché
possono ricevere la marca in ingresso,
disponibile in P1 lo scatto di una transizione
toglierà però da P1 la marca, inibendo lo scatto
dellaltra.
In questo caso si verifica una situazione non
deterministica non è possibile predire quale
transizione scatterà e ad ogni esecuzione questa
scelta potrà essere diversa. Le transizioni si
dicono in alternativa.
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Esempi
a) e) b) c) f) d)
2
1
0
2
0
2
1
2
2
1
2
0
2
2
1
0
3
17
Esempi
g) i) h)
0
1
0
2
0
1
0
2
2
1
18
Estensione capacità
Il numero in basso allinterno di un posto indica
il numero massimo di marche che possono essere
ospitate ed è detto capacità del posto Questa
caratteristica modifica anche la regola di scatto
delle transizioni, che sono abilitate solo quando
il loro scatto non trasferirebbe nei posti di
uscita un numero di marche maggiore delle
rispettive capacità
1 5
Esempio di transizione non abilitata a causa
della capacità del posto in uscita
1 2
2 4
3
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Situazione non deterministica 2 conflitto
Laggiunta della capacità nei posti crea un nuovo
tipo di situazione non deterministica più
transizioni si dicono in conflitto quando lo
scatto di tutte porterebbe in un posto un numero
di marche maggiore della sua capacità
20
Esempi
a) c) b)
2 2
2 2
1 1
0 2
2 2
0 3
1 1
0 2
2 2
2 2
2 2
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Estensione raffinamenti

• Il raffinamento è un tipo elementare di morfismo
  usato per scomporre reti complesse in più reti
  semplificate
• Una sottorete descrive un nodo padre

Nella sottorete devono sempre essere presenti i
nodi di input e di output
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Estensione peso probabilistico

• In situazioni di alternativa e/o conflitto, la
  scelta tra le transizioni può essere condizionata
  dal peso probabilistico associato agli archi, un
  numero 0 (di default 1) indicato fra
  parentesi quadre

• Probabilità caso 1 T1, T2, T3 abilitate
• T1 5 / 315 1.6
• T2 10 / 315 3.2
• T3 300 / 315 95.2
• Probabilità caso 2 T1, T2 abilitate
• T1 5 / 15 33.3
• T2 10 / 15 66.7

T1
5
2 5
10
T2
300
T3
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Peso probabilistico caso particolare

• Una transizione connessa ad un arco con peso
  probabilistico 0 è abilitata solo quando non
  esistono altre transizioni abilitabili connesse
  ad archi con pesi probabilistici gt 0

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Esempio Selettore
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Reti di Petri Musicali

• Nel caso musicale
• Ai posti possono venire associati oggetti
  musicali, eseguiti quando arrivano delle marche
  in ingresso
• Alle transizioni possono venire associati
  algoritmi di modifica, eseguiti allo scatto
• Il materiale musicale trattato è codificato in MX

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Temporizzazione

• Nel nostro formalismo lesecuzione delle
  transizioni è istantanea
• La temporizzazione deriva dallesecuzione degli
  oggetti musicali associati ai posti le marche
  presenti sono disponibili in uscita solo quando
  leventuale esecuzione del materiale si è conclusa

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Algoritmi associati alle transizioni

• In una PN musicale possono essere associati alle
  transizioni degli algoritmi che modificano il
  materiale musicale in ingresso, ponendo in uscita
  il frammento modificato
• Vengono definiti degli operatori usabili negli
  algoritmi gli operatori qui trattati sono stati
  introdotti negli anni 80, quando ai posti
  venivano associati frammenti MIDI

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Algoritmi metacaratteri

• Vengono usati allinterno degli algoritmi con un
  significato speciale
• Sia X loggetto musicale da trasformare
• contiene il numero totale di note di X
• contiene il numero di note della sottosequenza
  di X su cui abbiamo definito lapplicazione
  dellalgoritmo
• ? contiene il valore del parametro, riferito
  alla nota corrente, che vogliamo cambiare
• ! Contiene la posizione della nota su cui viene
  applicato loperatore

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Algoritmi operatori (estratto)

• Oltre alle operazioni aritmetiche vengono
  definiti i seguenti operatori (fra altri) per la
  modifica dei parametri musicali
• D (Duration) modifica durata
• L (Loudness) modifica volume
• M (Multiply) moltiplica note
• R (Rotate) ruota note
• P (Pitch) modifica altezza
• I (Inversion) inverte note
• K (Kill) cancella note
• S (Save) preserva note

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Algoritmi esempi
alg
MO
Oggetto musicale associato a MO
0 1
1 1

• P 1, , ?1 (trasposizione)
• P -2, , 2G3-? (inversione speculare)
• D 1, , ? 2 (raddoppio delle durate)

31
Algoritmi esempi
alg
MO
Oggetto musicale associato a MO
0 1
1 1

• L 1, , ! (127 / ) (crescendo)
• L 1,, (-!1) (127/) (diminuendo)
• I 2, 5 (retrogradazione)

32
Algoritmi esempi
alg
MO
Oggetto musicale associato a MO
0 1
1 1

• M 2, 5, 2
• K 2,6
• S 5,7

33
Strutture elementari
Alimentazione alternativa
MO1
MO2
Sequenza
Congiunzione
Alimentazione congiunta
Fusione
34
Loop
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Reti di Petri e MX

• Esecuzione di una PN musicale
• Mixaggio dei frammenti MX associati ai posti
• Produzione di un file MX in output
• Struttura del file MX in output
• Copia dei frammenti MX della PN
• Mixaggio degli spine

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Mixaggio dellMX

• Quando viene processato un file MX in un posto
• La parte esterna allo spine viene copiata nellMX
  globale
• Ad ogni id viene aggiunto un prefisso che lo
  renda univoco (mx_)
• Se non ci sono sovrapposizioni lo spine viene
  accodato
• Se esistono sovrapposizioni gli spine vengono
  mixati

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Mixaggio degli spine giustapposizione

• Esempio istante di tempo relativo 25

Spine di output finale Spine di output finale
ID evento timing
mx0_ev1 0
mx0_ev2 10
mx0_ev3 3
mx0_ev4 10
mx1_ev1 2
mx1_ev2 5
mx1_ev3 6
mx1_ev4 2
Spine di output iniziale Spine di output iniziale
ID evento timing
mx0_ev1 0
mx0_ev2 10
mx0_ev3 3
mx0_ev4 10
Frammento MX Frammento MX
ID evento timing
mx1_ev1 0
mx1_ev2 5
mx1_ev3 6
mx1_ev4 2
38
Mixaggio degli spine sovrapposizione

• Esempio istante di tempo relativo 12

Spine di output finale Spine di output finale
ID evento timing
mx0_ev1 0
mx0_ev2 10
mx1_ev1 2
mx0_ev3 1
mx1_ev2 4
mx1_ev3 6
mx0_ev4 0
mx1_ev4 2
Spine di output iniziale Spine di output iniziale
ID evento timing
mx0_ev1 0
mx0_ev2 10
mx0_ev3 3
mx0_ev4 10
Frammento MX Frammento MX
ID evento timing
mx1_ev1 0
mx1_ev2 5
mx1_ev3 6
mx1_ev4 2
39
Problemi di mixaggio

• Nel mixaggio di file MX si deve far attenzione i
  vtu sono misure di tempo relativo
• Es. si mixano due frammenti identici compilati
  da soggetti distinti
• Nel frammento 1 ogni battuta dura 4 vtu
• Nel frammento 2 ogni battuta dura 256 vtu

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Problemi di mixaggio

• Soluzione nel file MX esiste un elemento XML
  chiamato vtu_amount che indica in quanti vtu è
  divisa una battuta
• Anche con la soluzione proposta rimane il
  problema del mixaggio di frammenti con
  indicazioni metriche diverse

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Terminologia

• Multimetria andamento orizzontale della musica
  sottoposto a cambiamenti successivi nellambito
  dellorganizzazione metrica

42
Terminologia

• Polimetria sovrapposizione simultanea di diversi
  flussi metrici

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Polimetria soluzione

• Per consentire mixaggi polimetrici è possibile
  assegnare un parametro di scala
• In realtà sono possibili 3 modalità
• Automatica1 allineamento per battute
• Automatica2 allineamento per valori
• Manuale specifica manuale dei parametri

44
ScoreSynth
45
Esempio Canone
46
Canone struttura
n. misure
n. misure
Tema
Pause
Voce1
16
16
12
Voce2
16
16
4
8
Voce3
16
16
8
4
Voce4
16
16
12
47
Canone (soluzione 1)
Supponiamo di aver codificato in 2 file MX il
tema e la pausa di 4 misure
48
Canone soluzione 2
Supponiamo di aver codificato in 4 file MX le 4
parti che costituiscono il tema complessivo,
chiamando le singole parti Tema1...Tema4
Questo è il tema eseguito dalla prima voce per
eseguire le altre voci occorre che il tragitto
Tema1-gtTema4 sia riproposto sfasandolo ogni volta
del tempo corrispondente a Tema1
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Canone soluzione 2
50
Canone soluzione 2
51
Canone soluzione 2
52
Canone modifica non-deterministica
Vogliamo ottenere una versione non-deterministica,
in cui in ogni voce ci sia una sequenza casuale
delle 4 parti del tema ad ogni sua proposizione
53
Canone modifica non-deterministica
54
Canone modifica non-deterministica
55
Canone modifica non-deterministica
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Es. Sonata KV332 di Mozart (1 movim.)
93 misure
93 misure
39 misure
Esposizione
Sviluppo
Ripresa
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Sonata struttura generale

• Esposizione e ripresa presentano parti in comune
  e parti simili ma non identiche

FG First Group 1 frammento SG Second Group
2 frammento T Transition Transizione CG
Close Group Frammento finale
Esposizione
FG
T
SG
CG
Ripresa
FG
T
SGT
CGT

• T e T sono abbastanza diversi
• SG e CG nella ripresa sono trasposti

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Sonata struttura generale
93 misure
39 misure
59
Sonata struttura esposizione/ripresa
Struttura FG
1FG (12 mis)
2FG (10 mis)
60
Sonata struttura SG/CG
SG
CG
15 misure
15 misure
11 misure
5 misure
7 misure
61
Sonata struttura T
1T
2T
3T
4T
5T
6T
7T
62
Sonata struttura T
63
Sonata Struttura T
Sottoreti
64
Sonata struttura T
4Trh 5Trh 6Trh
4Tlh 5Tlh 6Tlh