4 Teoria dell

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4 Teoria dellimpeto e teorema della media

• Fabio Bevilacqua

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La teoria dellimpeto Buridano

• A partire dal VI secolo dopo Cristo la fisica del
  moto di Aristotele viene sottoposta a severe
  critiche. Si comincia ad analizzare la
  possibilità del moto nel vuoto la resistenza del
  mezzo viene sostituita dalla resistenza
  intrinseca del corpo, mentre il peso o la
  leggerezza assumono il ruolo di forza motrice nel
  caso dei moti naturali.
• Per i moti forzati viene modificato il ruolo
  svolto dal mezzo nel trasmettere per contatto la
  forza motrice.

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• Si inizia dunque a pensare che in un moto
  violento una qualche forza non permanente sia
  impressa nel corpo e che inoltre il corpo stesso
  e non il mezzo fornisca una resistenza al moto.
  Nella versione medievale di Buridano tale forza
  impressa viene chiamata "impetus" ed assume il
  ruolo di causa motrice interna al corpo nel moto
  violento.
• L"'impetus" non viene solo utilizzato per
  spiegare i moti violenti ma anche i moti
  naturali, ovvero l'accelerazione dei corpi che
  cadono verso i loro luoghi naturali.

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La teoria dellimpeto Buridano

• L'argomentazione di Buridano è molto
  interessante egli separa il problema della causa
  della caduta dei corpi da quello
  dell'accelerazione di caduta i corpi cadrebbero
  con velocità uniforme a causa della loro gravità
  (il loro peso rimane costante durante la caduta).
  L'accelerazione richiede dunque una spiegazione
  rinunciando ad ipotesi quali la vicinanza al
  luogo naturale, la rarefazione dell'aria a causa
  del calore prodotto dal corpo in caduta, ecc.,
  Buridano sostiene che l'accelerazione è causata
  dall'accumulo di incrementi di impeto.

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• Tre elementi vanno individuati nel processo di
  caduta la pesantezza del corpo, l'impeto, la
  velocità. La pesantezza del corpo è la causa di
  una velocità costante, inoltre in ogni intervallo
  di tempo essa produce un impeto che a sua volta
  nell'intervallo successivo produrrà un incremento
  di velocità.
• La tradizione aristotelica viene comunque
  rispettata perchè la forza è sempre collegata
  alla velocita e non all'accelerazione, in quanto
  è l'incremento di impetus che produce un
  incremento di velocità nell'intervallo
  successivo.

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Il teorema della media

• Tra i più importanti risultati nello studio della
  cinematica nella prima metà del quattordicesimo
  secolo vi sono quelli raggiunti all'Università di
  Oxford, al Merton College e in particolare il
  cosiddetto "teorema della media".
• Tale teorema lega lo spazio percorso da un corpo
  in moto uniformemente accelerato a quello
  percorso dallo stesso corpo in moto uniforme con
  velocità pari alla velocità media, cioè alla
  velocità nell'istante di mezzo dell'intervallo di
  tempo considerato.

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Oresme (c. 1323 - 1382) 

• Di questo risultato vi furono dimostrazioni sia
  di carattere aritmetico sia geometrico e tra
  queste ultime è notevole quella dello scolastico
  parigino Nicola d'Oresme.

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• I suoi più importanti contributi alla matematica
  sono contenuti nel Tractatus de configurationibus
  qualitatum et motuum.
• In una qualità, o forma accidentale, come il
  calore, distinse l intensio (il grado di calore
  in ogni punto) e l extensio (come la lunghezza
  della barra riscaldata). Questi due termini sono
  stati spesso sostituiti da Latitudine e
  Longitudine.
• Per motivi di chiarezza, Oresme concepì l'idea di
  visualizzare questi concetti con figure piane, e
  si avvicinò a ciò che noi ora chiamiamo
  coordinate rettangolari.

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• L'intensità della qualità era rappresentata da
  una lunghezza o latitudo proporzionale
  all'intensità, eretta perpendicolarmente alla
  base in un dato punto sulla linea di base, che
  rappresenta la longitudo. Oresme propose che la
  forma geometrica di una tale figura poteva essere
  considerata come corrispondente ad una delle
  caratteristiche della qualità stessa. Oresme
  definì una qualità uniforme (moto con velocità
  costante) come quella che è rappresentata da una
  linea parallela alla longitudine, e di ogni altra
  qualità è difforme. Qualità uniformemente
  difformi (moto uniformemente accelerato) sono
  rappresentate

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• da una linea retta inclinata rispetto all'asse
  della longitudine, inoltre descrisse numerosi
  casi diversi di qualità difformemente difformi
  (moto vario). Oresme estese questa dottrina alle
  figure di tre dimensioni. Pensava a queste
  analisi fossero applicabili a molte diverse
  qualità come la sensazione piccante, il candore e
  la dolcezza. Significativo per gli sviluppi
  successivi, Oresme applicò questo concetto
  all'analisi del moto locale dove la latitudo o
  l'intensità rappresenta la velocità,
  la longitudo rappresenta il tempo, e l'area della
  figura rappresentata la distanza percorsa.

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• Il contesto teorico in cui fu elaborata questa
  dimostrazione è però lontano da quello della
  caduta dei gravi esso si riferisce infatti al
  problema della rappresentazione della quantità di
  una qualità.
• L'estensione della qualità viene rappresentata da
  una linea orizzontale mentre l'intensità della
  qualità da una linea perpendicolare alla
  precedente. Nel nostro caso del moto
  uniformemente accelerato la linea dell'estensione
  rappresenta il tempo e la linea dell'intensità
  rappresenta la velocità.

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Il teorema della media

• S Vm t Vf/2 t
• ove S distanza percorsa, Vf velocità finale,
  t intervallo di tempo in cui ha luogo
  un'accelerazione uniforme a partire dalla quiete,
  Vm velocità media.

• Considerando che la velocità fìnale è
  proporzionale al tempo trascorso si deduce
• facilmente che lo spazio percorso è proporzionale
  al quadrato dei tempi.

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• Oresme, "Sulle configurazioni delle qualità e dei
  moti
• III, 7. Sulla misura di qualità e velocità
  difformi. Ogni qualità uniformemente difforme è
  tanto grande quanta sarebbe la qualità dello
  stesso soggetto o di un soggetto uguale uniforme
  secondo il grado del punto medio dello stesso
  soggetto. E intendo se la qualità è lineare...

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• ...Sia dunque una qualità rappresentabile
  mediante il triangolo ABC si tratta di una
  qualità uniformemente difforme, terminata al
  grado zero nel punto B (v. fig. 3-2) sia inoltre
  D il punto di mezzo della linea del soggetto. Il
  grado o intensione di tale punto è rappresentato
  dalla linea DE.

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• Una qualità che fosse uniforme per tutto il
  soggetto secondo il grado DE sarebbe dunque
  raffigurabile mediante il quadrangolo AFGB, come
  è chiaro dal capitolo decimo della parte prima.
• E' noto invero per la ventiseiesima
  (proposizione) del primo (libro) di Euclide, che
  i due piccoli triangoli EFC ed EGB sono uguali.

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• Quindi il triangolo maggiore BAC, che disegna la
  qualità uniformemente difforme, e il quadrangolo
  AFGB, che designa la qualità uniforme secondo il
  grado del punto di mezzo, sono uguali.
• Quindi le qualità rappresentabili mediante tale
  triangolo e mediante tale quadrangolo sono
  uguali, come si voleva dimostrare...

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• ...Vale inoltre per la velocità tutto quanto si è
  detto della qualità lineare, purchè tuttavia in
  luogo del punto medio (del soggetto) si prenda
  l'istante di mezzo del tempo che misura la
  velocità...

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The Science of Motion p.237-40

• E' stato in questo contesto inglese che Nicola
  dOresme ha sviluppato un proprio sistema per la
  misurazione delle qualità dei moti. Il termine ''
  latitudine , come veniva utilizzato a Oxford,
  aveva connotato una sola dimensione geometrica o
  linea, ma alla radice del suo significato
  geometrico, naturalmente, la latitudine o
  larghezza indica in generale una seconda
  dimensione geometrica, dopo la longitudine o
  lunghezza.

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• Oresme ha approfittato di questa situazione
  linguistica per proporre un sistema di
  misurazione delle qualità o velocità in due
  "dimensioni" di latitudine e longitudine,
  latitudine in riferimento all'intensità di una
  qualità o movimento e longitudine per la sua
  estensione sia nel corpo affetto dalla qualità
  sia nel mobile sia nel tempo. Come i suoi
  predecessori, Oresme considerò distribuzio-ni
  uniformi, uniformemente difformi, e
  diffor-memente difformi di intensità o di
  latitudine rispetto allo spazio o longitudine.
  Due caratteristiche distinguono in particolare il
  suo lavoro da quello dei suoi predecessori.

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• Prima di tutto, comincia sistematicamente a
  descrivere il suo metodo di "raffigurazione"
  dell intensità rispetto all'estensione in un
  modo che ha portato alcuni storici a vedere il
  suo lavoro come un passo nella direzione della
  rappresentazione grafica. Anche se questultimo
  termine è anacronistico, il raffronto non è del
  tutto infondato. Oresme utilizza il suo sistema
  per trattare le qualità o moti di punti, linee,
  piani, e di solidi. La qualità o il moto di un
  punto è rappresentato da una sola riga che indica
  la sua intensità.

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• Per la qualità o il movimento di una linea,
  Oresme rappresenta l'estensione del soggetto
  attraverso una linea di riferimento orizzontale
  (vedi fig. 10). Su questa linea base egli disegna
  linee verticali per rappresentare l'intensità
  della qualità o la velocità del movimento del
  soggetto in ogni punto.
• Per una qualità o movimento uniforme, tutte le
  verticali sono uguali e la figura che ne risulta
  è un rettangolo. Per una qualità o moto
  uniformemente difforme, la figura che ne risulta
  è un triangolo o un trapezoide.

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• Qualità difformemente difformi possono essere
  rappresentati da figure a gradino, semicerchi, o
  da altri figure irregolari -fermo restando che
  ogni linea che rappresenta unintensità deve
  partire da un punto della linea di base
  orizzontale corrispondente a un punto del
  soggetto. (Vedi fig. 11 per alcune configurazioni
  possibili e impossibi-li.) Per la qualità o
  movimenti di piani, la configurazione di qualità
  o movimento è fa-cilmente rappresentata da una
  figura solida con una base che rappresenta il
  soggetto e il sistema può anche essere esteso a
  sog-getti tridimensionali con le configurazioni di

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• qualità o movimento per piani infiniti
  all'in-terno del soggetto immaginati come solidi
  che si compenetrano. Oltre a rappresentare la
  variazione di intensità o di velocità da una
  parte di un soggetto ad un altra, il sistema di
  Oresme è stato utilizzato anche per
  rappre-sentare variazioni nel tempo, nel qual
  caso la linea di base (fig. 10) rappresenta un
  tem-po. Pertanto, la configurazione di velocità
  di un moto uniforme è un rettangolo, e la
  confi-gurazione di velocità per un'accelerazione
  uniforme era un triangolo, se l'accelerazione ha
  iniziato da una velocità uguale a zero, o un
  trapezoide, se l'accelerazione è passata.

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• da una velocità ad unaltra. A parte l accen-to
  sulla rappresentazione geometrica, Ore-sme
  differisce dai suoi predecessori di Ox-ford anche
  perchè le sue misure primarie di qualità e moti
  divennero non l'intensità, pura e semplice, o la
  velocità, pura e semplice, ma la cosiddetta
  "quantità della qualità" o "quantità di moto",
  dove la quantità di una qualità o moto era pari
  alla sua intensità moltiplicata per la sua
  estensione. Per un soggetto lineare, la quantità
  della qualità o del moto era facilmente
  rappresentata dallarea della configurazione
  immaginata

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• dall'area del rettangolo per una qualità o
  movimento uniforme, dall'area del triangolo o
  trapezio per una qualità o movimento
  uni-formemente difforme, e così via. Prendere in
  considerazione una simile quantità di quali-tà o
  di movimento fu un passo importante in direzione
  diversa dalle idee degli autori di Oxford, per i
  quali il prodotto di unintensità per
  un'estensione non aveva alcun reale si-gnificato
  ontologico. Nel caso delle configu-razioni di
  Oresme di velocità rispetto al tempo, piuttosto
  che rispetto ad un soggetto esteso, tuttavia, il
  prodotto dell'intensità del-la velocità rispetto
  allestensione del tempo.

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• ha un significato ontologico evidente
  cor-risponde alla totale distanza percorsa.
  Quin-di, se si equiparano le quantità" di due
  ve-locità rispetto al tempo, questo era lo
  stesso che equiparare le distanze percorse. La
  correttezza, apparentemente ovvia, di di-re che
  due moti sono uguali se le distanze che
  attraversano sono uguali ha fatto rite-nere
  corretto, per analogia, il concetto di "quantità
  di una qualità". Sulla base di que-sta analogia,
  quindi, Oresme ha adottato la misura del grado
  medio per le distribuzioni uniformemente difformi
  di tutti i tipi.

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• Un moto uniformemente difforme è uguale al suo
  grado medio perché attraversa lo stesso spazio
  che sarebbe stato attraver-sato da una velocità
  uniforme al suo grado medio nello stesso tempo.
  Ciò potrebbe es-sere dimostrato geometricamente
  dimo-strando che l'area del triangolo, o
  trapezoi-de, che rappresenta il moto
  uniformemente difforme è uguale all'area del
  rettangolo che rappresenta il moto con velocità
  uniforme corrispondente al grado medio (vedi fig.
  12). Allo stesso modo, quindi, una qualità
  unifor-memente difforme si diceva uguagliasse una
  qualità uniforme al suo grado medio,

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• perché entrambe le qualità contengono la stessa
  quantità di qualità. Al di là del tipo di casi
  già considerati, Swineshead e Oresme si sono
  occupati spesso di casi con inten-sità infinite e
  anche con qualità totali infini-te. Se lasciamo
  che l'intensità di una qualità aumentari
  all'infinito rispetto alle successive parti
  proporzionalmente decrescenti di un soggetto
  finito (cioè, se un soggetto quali-ficato ha
  una intensità di un certo grado nella sua prima
  metà, due volte quell'intensi-tà nel suo quarto
  successivo, tre volte nel-lottavo successivo, e
  così via), che cosa possiamo dire di una adeguata
  misura

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• quantitativa di questa qualità? La quantità di
  tempo trascorso da questi autori nel discu-tere
  questi casi ci dice che la considerazio-ne
  dellinfinito nei loro tentativi di misurare le
  qualità non è stata una estensione acci-dentale
  dellapplicazione di latitudini e gradi, ma è
  stata parte integrante della loro impre-sa. Si
  adatta abbastanza bene, inoltre, con la tendenza
  che è già stata notata nell'analisi dei sofismi,
  poiché i casi di varianti che co-involgono
  l'infinito possono spesso essere considerati, e,
  a volte sono anche esplicita-mente etichettati,
  sophismata.

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• Nei decenni dopo la comparsa delle opere di
  Heytesbury Swineshead, e Oresme, discussioni
  sullintensione, remissione, latitudini, e gradi
  di forme erano molto comuni, e furono compilati
  molti manuali piuttosto elementari suii concetti
  di base delle loro opere.

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P. Duhem 1914 La teoria fisica

• Affinchè un attributo presente nei corpi possa
  esprimersi con un simbolo numerico, è necessario
  e sufficiente, secondo il linguaggio di
  Aristotele, che appartenga alla categoria della
  quantità e non alla categoria della qualità
  (p.120)
• Ma una medesima qualità può manifestarsi con una
  molteplicità di intensità differenti (p.129)
• Innalzamento di intensità (intensio),
  abbassamento di intensità (remissio) (p.123)

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• Quantità sono additive, qualità no (p.131)
• Il linguaggio dellalgebra consente di ragionare
  tanto sulle diverse intensità di una qualità,
  quanto sulle diverse grandezza di una quantità
  (p.133)