Teoria Cinetica dei gas

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Teoria Cinetica dei gas

• (Unesposizione molto elementare)

La teoria cinetica stabilisce un collegamento
tra il comportamento macroscopico di un gas e il
suo comportamento microscopico. Le grandezze
macroscopiche Pressione e Temperatura sono
strettamente dipendenti dalle grandezze
microscopiche N Numero delle molecole e Velocità
delle molecole.
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Il modello meccanico di un gas
Al contrario di quel che avviene per i liquidi ed
i solidi, il comportamento dei gas appare
indipendente dalla specie chimica. La bassissima
densità, la capacità di espandersi
illimitatamente, il comportamento semplice e
regolare al variare di temperatura e pressione
portano a concludere che, nello stato gassoso, le
molecole siano sostanzialmente indipendenti e
libere, che le forze fra di esse agiscano, a
breve distanza, solo nellurto. Ciò conduce a
formulare un primo modello meccanico fondato
sulle seguenti ipotesi

• Le molecole sono assimilabili a sfere rigide
  piccolissime (punti materiali) di massa m
• Il loro numero N è così elevato da essere
  statisticamente significativo
• Le molecole si muovono in modo completamente
  casuale obbedendo alle leggi di Newton
• Lurto delle molecole con le pareti del
  contenitore è elastico (si conserva lenergia
  cinetica)
• Le loro dimensioni sono trascurabili rispetto
  alla distanza media fra esse in altri termini il
  volume complessivo delle molecole è trascurabile
  rispetto al volume totale occupato dal gas

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• Lurto delle molecole contro le pareti
  rispetta le leggi della riflessione

• Tutte le molecole sono di ugual massa

• il moto delle molecole non ha direzioni
  privilegiate

e infine

• le molecole non si urtano fra loro

Labbandono di questultima ipotesi porta ad un
sostanziale raffinamento del modello, con
conseguenze estremamente significative
il modello di gas
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Lorigine della Pressione
La pressione esercitata dal gas è dovuta agli
urti delle molecole contro le pareti del
contenitore.
Modello di gas
Ricordiamo dalla meccanica che
Si pensi ad 1 sola molecola di massa m in moto
con velocità v entro una scatola cubica di lato
L
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Nellurto contro la parete di destra,
perpendicolare allasse X, essa subisce una
variazione della quantità di moto
forza agente sulla particella in 1 urto
La variazione della q. di moto della parete in 1
urto
forza agente sulla parete in 1 urto
( 3 principio della dinamica)
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Esaminiamo attentamente lurto contro la parte 1
Urto
Lurto rispetta le leggi della riflessione 1-
raggio incidente, raggio riflesso, normale alla
sup. riflettente, nel punto dìncidenza, sono
complanari, 2- angolo incidenza angolo
riflessione
Lurto è elastico Ec iniziale Ec finale ?
Viniziale V finale
Consideriamo la variazione della q. di moto della
molecola
La variazione della q. di moto della parete in 1
urto
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Dopo lurto la molecola si muove verso la parete
opposta con velocità vx, e, dopo un altro urto,
torna indietro verso la parete 1 Quindi percorre
la distanza 2L con velocità vx impiegando un
tempo ?t 2L/vx Pertanto la forza media
esercitata dalla molecola contro la parete 1 è
Che determina la pressione
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La formula precedente fa riferimento ad una sola
molecola. Per la pressione totale dovremo tener
conto del contributo di tutte le molecole che
però hanno velocità diverse e in generale
variabili nel tempo. Tuttavia la distribuzione
delle velocità rimane costante e, quindi, anche
la velocità media rimane costante, pertanto
invece della velocità vx faremo riferimento alla
velocità media
Distribuzione velocità
E tenendo conto di tutte le molecole
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Siccome vx è una delle tre componenti della
velocità v
e le tre componenti vx, vy, vz sono mediamente
equivalenti, cioè, ogni direzione è ugualmente
probabile,
(teorema di Pitagora)
avremo
v
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(ove è il valore medio del
quadrato della velocità. Indicando con Ec
lenergia cinetica media di una molecola )
Allora, in un gas ideale, la pressione è
direttamente proporzionale al numero delle
molecole, inversamente proporzionale al volume e
La pressione di un gas è direttamente
proporzionale allenergia cinetica media delle
sue molecole.
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E portando al primo membro il volume V
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Energia cinetica e temperatura
Teoria Cinetica (ipotesi teorica)
Equazione di stato dei gas (risultato
sperimentale)
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La temperatura assoluta è (se la deduzione è
corretta !), direttamente proporzionale alla sola
energia cinetica media molecolare. Scaldando un
gas aumentiamo la velocità media delle sue
molecole, raffreddandolo diminuiamo la velocità
media delle molecole.
Energia cinetica media di una molecola
Si ha anche Energia di una mole Energia
totale gas
Acquista un significato chiaro la nozione di
temperatura assoluta !
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Calcolo delle velocità molecolari
A che velocità si muove, in media, una molecola
di Ossigeno ( O2 ) alla temperatura di 27 C ?
(T27 C 300 K)
se
Velocità quadratica media (radice quadrata della
media dei quadrati delle velocità)
Massa di 1 molecola
massa molecolare
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per lOssigeno
e una molecola dIdrogeno ( H2 ) ?
(a parità di temperatura lenergia cinetica media
è la stessa, ma la velocità media è inversamente
proporzionale alla radice quadrata della massa
molecolare)
In una miscela di gas diversi (es. Azoto 14N e
Ossigeno 16O) tutte le molecole possiedono la
stessa en. cinetica media, ma le molecole di
azoto, essendo più leggere, sono mediamente più
veloci.
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Energia interna di un gas ideale
Lenergia interna di una sostanza è la somma di
tutte le energie potenziali, cinetiche,
rotazionali, delle molecole che la compongono
Ad ogni grado di libertà componente
dellenergia di una molecola è associata
unenergia pari a ½ kT
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In un gas ideale (monoatomico) le uniche
interazioni sono gli urti perfettamente elastici,
non cè energia potenziale e le molecole hanno
solo energia traslazionale nelle tre direzioni
dello spazio. Lenergia totale del sistema è la
somma dellenergia cinetica nelle tre direzioni
di moto, 3 gradi di libertà
oppure
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Nel caso di un gas biatomico si hanno 5 gradi di
libertà complessivi 3 traslazionali nelle tre
direzioni dello spazio e 2 rotazionali.
quindi
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Alcune considerazioni sulle velocità molecolari

• 1a considerazione
• La velocità di fuga dalla Terra ? 11,2 km/s
• la velocità vqm di H2 1,93 km/s ? 1/6 velocità
  di fuga
• Composizione dellaria azoto 78, ossigeno
  21, altri gas tra cui lidrogeno 0,0062

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Allora, 2a considerazione
Abbiamo calcolato che la velocità media
dellossigeno a 27 C è di circa 485 m/s
Se le cose stanno così allora .
una molecola 100 volte più pesante di quella di
ossigeno avrebbe comunque la rispettabile
velocità di circa 50 m/s e percorrerebbe un
locale di 5 metri di lunghezza ben 10 volte in 1
secondo !!!!che sia proprio così ?
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Lesperienza ci dice che il profumo del caffè non
ci arriva così in fretta !!
Fai clic sulla foto
prova tu ad immaginare altre analoghe situazioni
Questo fenomeno di propagazione di un gas in un
altro (diffusione) appare in realtà decisamente
più lento.
Come si possono conciliare queste osservazioni
con le previsioni della teoria cinetica ?
Rinunciando allipotesi che le dimensioni delle
molecole siano infinitamente piccole , tanto
piccole da rendere trascurabile la probabilità di
un urto fra esse
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Se si assume che le dimensioni delle molecole
siano finite , per esempio sfere di raggio r ,
allora il percorso di ciascuna molecola sarà una
successione casuale di moti rettilinei uniformi,
di lunghezza e direzione differenti, tra un urto
e laltro, percorsi ciascuno con velocità
diversa, dipendente dalle modalità con cui
avviene lurto con unaltra molecola.
Più grandi sono le molecole, più è probabile
lurto reciproco !
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Si può dimostrare che la frequenza durto (numero
di collisioni al secondo) è data da
r raggio molecolare n numero di molecole
per unità di volume velocità media
e che il libero cammino medio (distanza media
percorsa tra un urto e il successivo) è
Nel 1856 R.Clausius determinò, proprio in base
alle velocità di diffusione dei gas e ad altri
dati sperimentali, lordine di grandezza delle
dimensioni molecolari
Si tratta della prima misura indiretta delle
dimensioni di particelle microscopiche, fino ad
allora solamente ipotizzate !
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Negli urti tra molecole si hanno continui scambi
di energia cinetica ma il valore medio per
molecola di tale energia e quello complessivo
restano costanti. Si deve a J.C.Maxwell il
calcolo della distribuzione statistica delle
velocità molecolari in un gas, il cui andamento
dipende solo dalla temperatura