Un parcours d

1
Un parcours détude et de recherche sur les
nombres relatifs en 5eDes pistes pour un atelier
de travail et de débat

• Groupe didactique de lIREM dAix-Marseille
• Journées AMPERES des 19 20 mai 2009

2
Notre choix didactique

• On se place dans un cadre interne aux
  mathématiques, ce qui évite de devoir
  immédiatement traiter de la modélisation
• Les relatifs sont des programmes de calcul
• P1   à un nombre on ajoute un deuxième et on
  soustrait un troisième . Le relatif est le
  programme P2, simplifié à partir de P1 tout en
  lui étant équivalent   à un nombre on ajoute ou
  soustrait un deuxième  

3
Notre choix didactique

• Avant daborder ce PER, les élèves ont travaillé
  la définition de la différence (dans N ou dans
  D ) cest une connaissance disponible, non
  problématique. La différence des nombres a et b
  est d tel que a d b et on note d b a
• Le début de lenseignement sappuie sur des
  moments courts de calcul mental et réfléchi (10
  min en début dheure) étalés dans la durée 

4
Temps 1  élaboration dun stratégie pour
calculer mentalement a b - c

• Etape 1  cas b gt c
• Consigne 1 
• Effectue mentalement les calculs suivants 
• 17 21 - 1  148 199 - 99  17 35 - 15 
• 131 256 - 56  39 58 8  185 2017 - 17.
• P Faisant de la sorte, est-on sûr davoir
  obtenu les résultats exacts  ?
• Institutionnalisation de cette nouvelle technique
• Exercice 15 37 7  121 229 29  58
  1024 24  104 72 12.

5
Temps 1  élaboration dun stratégie pour
calculer mentalement a b - c

• Etape 2  b gt c ou b lt c
• Consigne 2 
• Effectue mentalement les calculs suivants 
• 14 17 - 15  114 17 - 15  1802 319 - 315 
• 4374 62 - 61  4374 61 62  7081 61
  62 .
• P A quoi équivaut le programme de calcul
   ajouter 61 puis soustraire 62  ?
• Nouvelle institutionnalisation  Ajouter 61 et
  soustraire 62 à un nombre revient à soustraire 1
  à ce nombre  

6
Temps 1  élaboration dun stratégie pour
calculer mentalement a b - c

• Etape 3  c gt b
• Consigne 3 
• Effectue mentalement les calculs suivants 
• 458 45 - 46  3469 45 46  3469 124 -
  125  15627 124 125  15627 313 - 314  823
  313 314  823 32 - 33  4586 32 33 
  4586 7538 7539 3,5 32 31  823 7,2
  8,2.
• P  Quavons-nous appris de ces calculs ? 
  Lattention des élèves est attirée par ce qui se
  fait avec b c.

7
Temps 1  élaboration dun stratégie pour
calculer mentalement a b - c

• Institutionnalisation
• 3. Une nouvelle notation pour simplifier
  lécriture
•  Pour simplifier lécriture du programme de
  calcul,  à un nombre, on ajoute 45 et on
  soustrait 46 , on aurait pu écrire  45 46
  - 1. On a préféré écrire  45 46 -1 qui
  signifie que si à un nombre, on ajoute 45 puis on
  soustrait 46, alors on lui soustrait 1.
• Exercice  Trouver dautres écritures qui donnent
  1.

8
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs

• Etape 4  mise en évidence de nombres négatifs
• 1re voie Trouvez des programmes de calculs
  revenant à soustraire 2, 3, 4, 5 ou 6 au premier
  nombre, donc à écrire 2, -3, -4, -5 ou 6
• 2de voie liste de calculs en travail à la
  maison
• Ecris sous forme simplifiée à quoi équivaut
  lapplication au premier nombre de laddition
  suivie de la soustraction, dans ces calculs 
  15627 314 - 316  823 31- 34  4586 44
  48  26 52 55  364,5 524,1 524,6  1010
  0,21 0,31  23,6 2,2 2,9.

9
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs

• Exercice pour chaque programme de calcul
  ci-dessous, donnez le programme de calcul
  équivalent le plus simple  4 5  3,7 4,7 
  6,34 9,34  503,9 510,9  54 70  768,3
  769, 5  72,165 74,166  0,8 0,9  1,7
  1,79  2,85 22,85.
• Question par P ou les élèves  On a vu quon
  pouvait écrire de manière simplifiée un programme
  de calcul qui aboutit à soustraire, peut-on faire
  de même pour ajouter ? 

10
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs

• 21 1 20 (ajouter 21 puis soustraire 1
  équivaut à ajouter 20)
• On décide, par commodité, de ne pas écrire le
  premier nombre
• Institutionnalisation Si à un nombre on ajoute
  2017 puis on soustrait 17, alors on ajoute 2000 à
  ce nombre on le note  2017 17 2000 .
  Remarque, pour gagner du temps, cette phrase peut
  être remplacée par 2017 17 2000
• Exercice 7 11 5 2 8 13
• - 12 10 8 3 - 7 4 - 11 7
  - 2 5 - 13 8 10 12 - 3
  8 4 7

11
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs

• Cours
• II. Un nouveau type de calculs
• 1. Exemples
• 7 11 -4 - 3 8 5
•  2. Propriété de ce nouveau type de calculs
• Si on change lordre des opérations dans un
  programme de calcul contenant des additions et
  des soustractions, on obtient un programme de
  calcul équivalent
• 7 11 - 11 7 - 4 - 3 8 8 3
  5
• Type dexercices - 8 5 - 8 8 4
  5 - 10 20 -8 8 - 5 5 1 7
  4 3 4 4 2

12
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs

• III. De nouveaux nombres  les nombres négatifs
• 1. Les nombres négatifs, les nombres relatifs
• Définition  On décide de considérer -1, -2, -3
  comme de nouveaux nombres. Ils sont précédés dun
  signe  -  et on les appelle  nombres
  négatifs . On les écrit  -1, -2, -3,
• Remarques 
• a) - 5 5 1 - 1 Donc  0 1 -1
• b) 4 4 2 2
• Or 0 2 2 Donc 2 2
•  

13
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs

• Définitions 
• Les nombres (arithmétiques), utilisés jusquà
  présent, peuvent donc être notés avec un signe
    on les appelle des nombres positifs.
• b) Nombres positifs et négatifs sont appelés
   nombres relatifs 
• Remarque  Le nombre 0 est un nombre à la fois
  positif et négatif (un programme de calcul ne
  change pas sil est équivalent à ajouter ou
  soustraire 0)

14
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs

• Etape 5  addition des relatifs
• P  Comment savoir si ces nombres nouveaux, que
  lon appelle nombres relatifs, se comportent
  comme les nombres que lon connaissait
  auparavant ? Pour cela, recherchons ce qui se
  fait avec des nombres.
• En principe, les élèves répondent quon calcule
  avec les nombres 
• P par exemple peut-on calculer la somme et la
  différence de 7 et 2, de 7 et -2, de -7 et -2,
  de -5 et 3 ?
• AU TRAVAIL !!!

15
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs

• Consigne 5 Calculer les sommes suivantes de
  nombres relatifs  7 (-2)  -7 (-2) 
• Une difficulté  le raisonnement utilisé, basé
  sur les programmes de calcul, sapplique à 7 - 2
  mais son extension à 7  (-2) mérite dêtre
  interrogée, de même que pour la transformation de
  -7  (-2) en 7  2.
• ATTENTION !!! CHANGEMENT PAR RAPPORT AU FICHIER
  EN LIGNE
• Une 1re voie P reprend la main une idée
  difficile à trouver, est  demprunter 2 à 7 
  dans le calcul de 7  (-2)

16
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 1re voie (non testée)

• 7  (-2)
•  7  (-2)
•  5 2  (-2) On admet lassociativité de dans
  Z
• Nouvelle question à quoi peut être égal 2
  (-2) ?
• P 2  (-2) est-il ou non égal à 0, comme
  certains le disent ? Quest-ce qui nous le
  prouve ?
• On transforme ainsi la question  2 (-2)
  0 ?  en résoudre   léquation 2 x 0 ,
  donc trouver x qui, ajouté à 2, donne 0.
• 2 0, cest la définition de la différence
  de 0 et 2, notée 0 2 -2

17
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 1re voie (non testée)

• On vient donc de démontrer que 2 (-2) 0. Il
  en est de même pour 3 (-3), etc. -2 (2) -2
  2 0 (puisque 2 2),
• On dit que - 8 est lopposé de 8 et que 8 est
  lopposé de - 8, ou encore que 8 et 8 sont
  opposés.
• On a établi la commutativité pour laddition des
  opposés.
• Terminez le calcul

18
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 1re voie (non testée)

• En utilisant le résultat présupposé par les
  élèves,  ce calcul donne -9 . On sait déjà que
  -7 - 2 -9, donc
• -7 (-2) -7 - 2 2 (-2)
• -7 - 2 0 -9
• Exercices dentraînement du type Calculer 10
  (-15) -3 (-9) -4 (9) -9 (-3)
  8 (-5) 5,3 (-5,12) -5 ( 8)
  -15 ( 10) 9 (-4)

19
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 2e voie (testée)

• Consigne 5 Calculer les sommes suivantes de
  nombres relatifs  7 (-2)  -7 (-2) 
• Une difficulté  le raisonnement utilisé, basé
  sur les programmes de calcul, sapplique à 7 - 2
  mais son extension à 7  (-2) mérite dêtre
  interrogée, de même que pour la transformation de
  -7  (-2) en 7  2.
• RETOUR AU FICHIER MIS EN LIGNE
• P reprend la main une idée difficile à trouver,
  introduire 0 dans le calcul de 7  (-2)

20
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 2e voie (testée)

• 7  (-2)
•  7  (-2)
•  7  0  (-2)
• Sentraîner à écrire 0   8  8  0,
   5  5  0 et  4  4  0 avec des programmes de
  calcul
• P Quelle écriture pourrait nous servir pour
  remplacer 0 dans le calcul de 7  0  (-2) ?
• Quatre possibilités
• AU TRAVAIL !!!

21
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 2e voie (testée)

• P  Ne peut-on examiner les quatre calculs
  précédents de manière à faire apparaître la somme
  de deux opposés et la remplacer par 0 ?
• P 2  (-2) est-il ou non égal à 0 ? Quest-ce
  qui nous le prouve ? Peut-on démontrer quajouter
  à un nombre son opposé donne une somme nulle ?
• On transforme ainsi la question  2 (-2)
  0 ?  en résoudre   léquation 2 x 0 ,
  donc trouver x qui, ajouté à 2, donne 0.
• On vient donc de démontrer que 2 (-2) 0. Il
  en est de même pour 3 (-3), etc. -2 (2) -2
  2 0 (puisque 2 2), ce qui établit la
  commutativité pour laddition des opposés.

22
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 2e voie (testée)

• P  -7 (-2) -7 0 (-2)
• -7 2 2 (-2)
• -9 0
• -9
• Exercice Calculer 10 (-15) -3 (-9)
  -4 (9) -9 (-3) 8 (-5) 5,3
  (-5,12) -5 ( 8) -15 ( 10) 9
  (-4)
• AU TRAVAIL !!!

23
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 3e voie (non testée)

• Consigne 5 Calculer les sommes suivantes de
  nombres relatifs  7 (-2)  -7 (-2) 
• Une difficulté  le raisonnement utilisé, basé
  sur les programmes de calcul, sapplique à 7 - 2
  mais son extension à 7  (-2) mérite dêtre
  interrogée, de même que pour la transformation de
  -7  (-2) en 7  2.
• P reprend la main une idée difficile à trouver,
   et si on revenait à la définition des
  programmes de calcul ? 

24
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 3e voie (non testée)

• Par exemple que 7 est une simplification pour un
  programme de calcul, comme  à un nombre on
  ajoute 9 et on soustrait 2  et -2  à un nombre
  on ajoute 3 et on soustrait 5 
• Ainsi le calcul 7 (-2) revient à dire  quà un
  nombre on ajoute 9, on soustrait 2, puis on
  ajoute 3 et on soustrait 5 , donc à ce nombre on
  ajoute 9 2 3 5 qui font 5.
• Donc 7 (-2) 5 5

25
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 3e voie (non testée)

• On continue avec les autres calculs -7 (-2)
• -7 signifie quà un nombre on a soustrait 7, ce
  quon peut par exemple écrire quon lui ajoute 2
  et soustrait 9 peut-être
• -2 sest par exemple encore quon ajoute 3 et
  soustrait 5
• Donc -7 (-2) signifie quà un nombre on
  ajoute 2, soustrait 9, ajoute 3 et soustrait 5,
  donc quon fait 2 9 3 5, donc quon a
  soustrait 9.
• Conclusion -7 (-2) -9

26
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs

• Remarque en suivant la 3e voie, on na pas eu
  besoin de rencontrer les nombres opposés
• On consigne ce que lon vient de trouver dans le
  cahier de cours qui porte sur le calcul de la
  somme de deux relatifs.
• La commutativité de est rencontrée en
  remarquant légalité des résultats obtenus en
  commutant les termes (admise), mais il est
  possible den faire une démonstration orale
• Exercices On peut désormais donner aux élèves
  les exercices classiques dentraînement au calcul
  de la somme de deux relatifs.

27
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 1re voie non testée

• Etape 6 
• P Après laddition, la soustraction est-elle
  une autre opération possible avec les relatifs ?
  On se souvient que lon avait buté sur les
  calculs 7 (-2) et -7 (-2)
• Les élèves se lancent dans diverses tentatives
  certains essaient de faire intervenir la
  technique de lemprunt donc faire intervenir
  lopposé de -2 mais sans succès car 5 2 (-2)
  1re voie non testée
• P Peut-on utiliser le technique de lemprunt en
  utilisant -2 ? A quoi faut-il  emprunter  ?

28
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 1re voie non testée

• Si on écrit 7  (-2)  9 -2  (-2)
• 9  (-2)  (-2)
• 9 0 On admet a b
  (a b )
• 9
• Puis les élèves résolvent par eux-mêmes, sans
  laide du professeur, le cas du calcul de
  -7  (-2)  par emprunt  -7 -5 2 -5 (-2)

29
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 2e voie testée

• Si on écrit 7  (-2)  7 -2  (2)  (-2) ou
• si on choisit décrire  7  (-2)  7 2  (-2) 
   (-2)
• Que se passe-t-il ???
• Puis les élèves résolvent par eux-mêmes, sans
  laide du professeur, le cas du calcul de
  -7  (-2)

30
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs

• Les élèves continuent à utiliser cette technique
  dans dautres calculs, le plus judicieusement
  possible  10 - (-15) -3 - (-9) -4 - (9)
  -9 - (-3) 8 - (-5) 5,3 - (-5,12)
  -5 - ( 8) -15 - ( 10) 9 - (-4)
• On consigne dans le cahier de cours la technique
  la plus économique
• Exercice Déterminer les valeurs de d dans les
  différents cas suivants  6,3  d  2,9 d  (-1,7
  )  -2,4  -5,3  d (-2,8)   

31
Lordre et les inéquationsLe début dun long
parcours de la 5e (et même avant) à la 3e (et
même après) Ebauche pour le PER sur les relatifs
Question génératrice de létude comment faire
pour comparer ?
32
En 5e lordre dans Z et dans D

• Les élèves ont étudié la nécessité des nombres
  relatifs, leur addition et leur soustraction
  (lexposé de ce PER sera fait le 16 avril)
• On se pose la question Q  Comment faire pour
  comparer deux relatifs ? 
• Si lon a appris à comparer deux positifs, la
  chose est moins probante lorsquil sagit de
  comparer un négatif et un positif, ou deux
  négatifs.
• Les élèves recourent à la connaissance
   sociale  de telles comparaisons le
  professeur explique que lon va en rechercher une
  validation mathématique

33
En 5e lordre dans Z et dans D

• On a déjà remarqué que lorsquon soustrait un
  positif à un nombre qui lui est plus grand, on
  obtient un positif on obtient un négatif dans
  le cas contraire 9  3   et 3  9  
  5,7  2,3  et 2,3  5,7   etc.
• On a ainsi travaillé 
• a et b étant deux nombres positifs
• si a lt b, alors a  b est négatif
• si a gt b, alors a  b est positif
• Question Peut-on se servir de cette remarque
  pour répondre à la question Q  Comment faire
  pour comparer deux relatifs ?  ?

34
En 5e lordre dans Z et dans D

• Question La réciproque étant vraie pour les
  positifs, pourrait-on létendre aux autres
  nombres que lon souhaite comparer ?
• On la teste sur des exemples
• -7  (-9)  -7  9  2  ce qui voudrait donc
  dire
• que -7 gt -9
• -1,5  (1,2)  -1,5  1,2  -2,7  ce qui
  voudrait
• donc dire que -1,5 lt 1,2
• -0,43 - (-0,58)  -0,43  0,58  0,15  ce qui
• voudrait donc dire que -0,43 gt -0,58

35
En 5e lordre dans Z et dans D

• La question demeure comment établir
  mathématiquement ces résultats ?
• Le professeur fait remarquer que pour comparer
  deux nombres, il suffit de les ajouter à un même
  nombre et de comparer les résultats, si on sait
  le faire. On postule lextension à Z et D de la
  compatibilité de lordre avec laddition dans N
  on se sert de
•  Si a c lt b c alors a lt b 
• Remarque cest le programme qui limpose
  puisquon na pas la définition a lt b ? a b lt 0
  qui permet détablir ensuite la compatibilité.
• Question quajouter à -7 et -9 pour pouvoir
  ainsi les comparer ? A -1,5 et 1,2 ? A -0,43 et
  -0,58 ?

36
En 5e lordre dans Z et dans D

• Nouvelles questions Quelle est la règle
  générale de comparaison ? Peut-on ordonner ainsi
  les entiers relatifs ?
• Commençons par comparer les négatifs autour de -7
  et -9, puis tous les négatifs.
• On sait que 0 lt 1 lt 2 lt 3 lt Quel lien entre les
  suites ordonnées des négatifs et des positifs ?
  Des élèves savent que -1 lt 0 le démontrer !
• On étend lordre sur Z à D et on sexerce.
• On établit ainsi les règles de comparaison des
  relatifs.

37
En 4e ordre et multiplication (ébauche)

• Sans calcul, dire quel est le signe de 7,352
  2,302 ? -8,4 2,4 ? -0,025 - 0,25 ?
• On reprend ce qui a été étudié en 5e et qui na
  pas été institutionnalisé, propre à lordre et au
  signe de la différence. On avait vu pour les
  positifs que si a lt b alors a b négatif. Cette
  propriété sétend-elle à tous les relatifs ?
• Cette propriété a-t-elle une réciproque vraie ?
• La réponse à cette question passe par lexamen
  des quatre cas pour les signes de a et b.

38
En 4e ordre et multiplication (ébauche)

• On établit ainsi a lt b ? a b lt 0
• et a gt b ? a b gt 0
• Remarques
• comme un relatif est soit positif, soit négatif,
  soit nul, alors étant donnés deux relatifs a et
  b, on a soit a lt b, soit a gt b, soit a b (? Q
  est totalement ordonné)
• a 0 a, a positif ? a gt 0
• et a négatif ? a lt 0
• Question Sachant que n lt -1, peut-on établir
  une inégalité pour n 1 ? n 1 ? 5 n ? -5
  n ? n/5 ? n/(-5) ? Vérifier les affirmations sur
  des valeurs numériques.

39
En 4e ordre et multiplication (ébauche)

• Question comment se fait-il que si on ajoute
  ou retranche un même nombre, linégalité ne
  semble pas changer, mais que cest faux si on
  multiplie ? Quelles propriétés expliquent et
  justifient que partant de n lt a, on ait n 1 lt
  a 1, 5n lt 5a et -5n gt -5a ? Pourquoi cela ?
• On établit ainsi
• Si a lt b alors a b lt 0
• alors (a c) (b c) lt 0
• alors a c lt b c
• Avec c gt 0, si a lt b alors (a b)c lt 0 donc ac
  lt bc
• Avec c lt 0, si a lt b alors (a b)c gt 0 donc
  ac gt bc