La notion de Parcours d

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La notion de Parcours dÉtude et de Recherche
(PER)et la rénovation du curriculum mathématique
Marianna Bosch Josep Gascón FUNDEMI Facultat
dEconomia IQSUniversitat Ramon Llull (Barcelona)
2
Léquip de recherche BAHUJAMA
VIGO Cecilio Fonseca
FRANCIA
HUESCA Pilar Bolea
MADRID Tomás Sierra Esther Rodríguez Alicia Ruiz
BARCELONA Bernat Ancochea Berta Barquero Marianna
Bosch Josep Gascón Noemí Ruiz Munzón Lidia Serrano
? SANTIAGO DE CHILE Lorena Espinoza col.
JAÉN Luisa Ruiz Higueras Javier García
? RÍO CUARTO (Argentina) Marta Bastán col.
3
Sommaire
 
 
 

1. Latomisation des mathématiques scolaires et les
   ateliers de pratiques mathématiques
2. Des pratiques mathématiques aux
   Parcours dÉtude et de Recherche (PER)
3. Lexpérimentation sur les PER au lycée, au
   collège et à luniversité
4. Conclusions générales et questions ouvertes

4

•  Létat de lenseignement secondaire des
  mathématiques est aujourdhui calamiteux.
  Quelques symptômes plus ou moins dissonants
  résument cette situation de nécrose 
  monumentalisme, formalisme, inauthenticité
  épistémologique, oubli du monde et péjoration de
  ses besoins , illusion lyrique, fantasme
  dinsularité et recherche de la pureté, fuite
  dans linsignifiance ludique et la puérilité, foi
  naïve en une rédemption logicielle mutualisée
     
• Yves Chevallard (2006)
• Les mathématiques à lécole et la révolution
  épistémologique à venir

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1.Latomisation des mathématiques scolaires et
les  ateliers de pratiques 

• Quelques symptômes
• Atomisation des mathématiques enseignées le
  savoir enseigné tend à se réduire à une suite
  dOM ponctuelles peu connectées entre elles.
• Rigidité dans le travail avec ces OM ponctuelles
  (utilisation des techniques).
• Obsession pour la créativité apparente problèmes
   olympiques  isolés  léternel moment
  exploratoire .
• Mise en avant du discours technologico-théorique
  (concepts) et réduction des problèmes aux
  applications

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Chevallard (1991), Bosch Gascón (1993)

• Nouveau dispositif denseignement au premier
  cycle universitaire de mathématiques de
  lUniversité Autonome de Barcelone les
  ateliers de travaux pratiques

CLASSES DE THÉORIE moment technologico -théorique
ATELIER DE PRATIQUES moment du travail de la
technique
P
CLASSES DE PROBLÈMES moment exploratoire
E
P

• Routiniser les techniques, les développer et
  évaluer
• Sortir du cadre limité du type de problèmes
  étudié
• Articuler différentes praxéologies ponctuelles
• Susciter le questionnement technologico-théorique

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Chevallard (1991), Bosch Gascón (1993)

• Nouveau dispositif denseignement au premier
  cycle universitaire de mathématiques de
  lUniversité Autonome de Barcelone les
  ateliers de travaux pratiques

CLASSES DE THÉORIE moment technologico -théorique
ATELIER DE PRATIQUES moment du travail de la
technique
P
CLASSES DE PROBLÈMES moment exploratoire
E
P

• Donner aux étudiants
• Loccasion de routiniser les techniques
• La légitimité pour le faire
• Rendre visible une dimension essentielle de la
  pratique

PARADOXE DE LA CRÉATIVITÉ
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Chevallard (1991), Bosch Gascón (1993)

• Nouveau dispositif denseignement au premier
  cycle universitaire de mathématiques de
  lUniversité Autonome de Barcelone les
  ateliers de travaux pratiques

Q , qA , qB
CLASSES DE THÉORIE moment technologico -théorique
P
TA1, tA1, tA1 TA2, tA2 TB, tB, tB
CLASSES DE PROBLÈMES moment exploratoire
P
ATELIER DE PRATIQUES

• Reprendre la construction dOM locales qui se
  fait à partir du bloc théorique et situe le bloc
  pratique au niveau des  applications , en
   remontant  à partir du bloc pratique, par le
  développement et larticulation de quelques OM
  ponctuelles.

9
Chevallard (1991), Bosch Gascón (1993)

• Nouveau dispositif denseignement au premier
  cycle universitaire de mathématiques de
  lUniversité Autonome de Barcelone les
  ateliers de travaux pratiques

Q , qA , qB
CLASSES DE THÉORIE moment technologico -théorique
P
TA1, tA1, tA1 TA2, tA2 TB, tB, tB
CLASSES DE PROBLÈMES moment exploratoire
P
ATELIER DE PRATIQUES

• Lingénieur-professeur doit réaliser un exercice
  épistémologique essentiel étant donné une OML à
  enseigner, trouver un type de problèmes qui
  permette de reconstruire lOML à partir du
  développement et larticulation des OMP qui la
  composent.

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Choix des questions de départ

• Séries entières ? résoudre des équations
  différentielles élémentaires (non au programme)
  en remplaçant les fonctions par leur
  développement en série entière.
• Diagonalisation de matrices ? formule pour
  calculer la puissance n-ième dune matrice
  carrée.
• Convergence dintégrales et de sommes ? encadrer
  les intégrales entre des sommes à valeur ou
  convergence connue.
• Dérivés et théorèmes associés
• ? évaluer la vitesse de convergence de
  différentes méthodes de résolution numérique
  déquations.
• ?  ordonner  une liste de fonctions selon leur
  vitesse de convergence.

SITUATIONS FONDAMENTALES?
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• Les étudiants se voient attribuer un rôle (topos)
  dans la gestion et le développement de certains
  moments de létude qui, dans le contrat
  didactique habituel, ou bien ne sont pas gérés en
  classe ou bien le sont sous la responsabilité
  unique du professeur.
• Nous pouvons considérer que les ateliers de
  pratiques éliminent ainsi une certaine
   didacticité  au sens de direction formelle de
  létude les élèves sont plus mus par des besoins
  mathématiques que par des besoins du contrat
  didactique/pédagogique.

• Or certains aspects importants de létude restent
  dans le topos du professeur 
• choix des thèmes et techniques à développer (OML)
• choix des problèmes et des milieux (mésogenèse)
• planification et progression de létude
  (chronogenèse).

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2. Des  ateliers de pratiques  aux Parcours
dÉtude et de Recherche (PER)

• La notion de Parcours dÉtude et de Recherche
  permettra de dépasser les limitations des
   ateliers de pratiques  tout en complétant ses
  fonctions didactiques
• Processus détude longs
• Articulation dOM ponctuelles en OM locales
• Donner une plus grande place à lélève dans la
  gestion des différents moments de létude
• Fonctionnalité mathématique des OM enseignées

? Mise en avant dune question problématique
comme moteur et raison dêtre de létude
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Lenseignement des mathématiques est un vieil
enseignement, qui peine à trouver un second
souffle. De quoi souffre-t-il? Essentiellement de
la fuite, de lexténuation du sens. Les objets
enseignés condensent des réponses à des questions
que nous avons perdues. Il faut retrouver ces
questions. Pourquoi sintéresse-t-on aux
triangles? Pourquoi sévertuer à simplifier les
fractions ou à récrire une expression numérique
ou littérale dans une forme canonique? Pourquoi
sintéresser aux propriétés des figures? Autant
de questions qui ont perdu leurs réponses dans
une culture scolaire devenue muséographie sans
vie. / Chevallard 2006 Étudier et
apprendre en mathématiques vers un renouveau
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Cest cette culture quil faut restaurer et faire
revivre dans les classes. Comment cela ? En
mettant au principe de lapprentissage des
mathématiques létude de questions, que lon
prend au sérieux (au contraire dune certaine
culture dopérette qui badine avec un concret
sans consistance épistémologique) et auxquelles
on sefforce véritablement de répondre. De ce
travail émergent les objets mathématiques, qui
naissent alors, non de façon formelle et
immotivée, mais poussés en avant par le rôle
quils jouent dans une certaine aventure
intellectuelle. Chevallard (2006) Étudier et
apprendre en mathématiques vers un renouveau
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Préoccupation inhérente à la TSD

• Situation fondamentale
• Reconstruction fonctionnelle des connaissances
  mathématiques elles se définissent par ce
  quelles permettent de faire (agir, formuler,
  prouver).
• ? Contre le  monumentalisme  et la perte de
  sens

• Épistémologie rénovée et expérimentale
• Lactivité mathématique sengendre et se
  développe par linteraction avec un milieu.
• Le  contrat didactique-mathématique  est
  distingué du  contrat pédagogique .

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• LÉcole doit forcer la rencontre de
• Questions vives Q
• Certaines réponses préétablies R ? ? oeuvres
  culturelles
• Élaboration, évaluation et diffusion des réponses
  apportées R ?

• Deux notions pour modéliser les processus
  didactiques  fonctionnels 
• Activités dÉtude et de Recherche (AER)
• Parcours dÉtude et de Recherche (PER).

Nous pouvons considérer les AER et PER comme
conformant un  modèle didactique de référence 
des processus didactiques, cest-à-dire une base
pour décrire les processus détude, analyser ceux
qui existent et étudier les  conditions de
possibilité  de nouveaux types de processus.
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• Activités dÉtude et de Recherche (AER)
• On part dune OM locale à enseigner et on cherche
  une situation dont la résolution permette la
  reconstruction de lOML
• Cest le professeur qui propose la question
  initiale à étudier
• Le passage dune AER à une autre nest pas
  motivé
• ?? SITUATION MATHÉMATIQUE DIDACTIQUE

• Parcours dÉtude et de Recherche (PER)
• On part dune question Q vive pour le groupe
  détude
• La recherche dune solution va au-delà de la
  reconstruction dune OM locale
• Elle peut nécessiter le passage par plusieurs
  AER (R ?)
• Le parcours nest pas déterminé à lavance la
  question Q est prioritaire
• ?? SITUATIONS À RENCONTRE HAUTEMENT PROBABLE

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Les Parcours dÉtude et de Recherche
(1) Le point de départ est une question Q0
 vive  et qui est prise au sérieux (on doit
pouvoir  faire quelque chose  avec la réponse)
Q0 nest pas le moyen mais une fin en soi.
(2) Q0 évolue au long du processus et donne lieu
à de nouvelles questions, parfois  cruciales 
ouverture du PER. Le travail de production de
R? peut se décrire comme une arborescence de
questions Qi et de réponses (Ri OMi)
interreliées entre elles (modélisation
progressive et récursive).
(3) Nimporte quelle R? est bonne si elle permet
de produire un élément de réponse R? ? les OM du
parcours ne sont pas  purement mathématiques ,
les questions Qi apparaissent aussi bien dans les
modèles que dans les systèmes modélisés.
19
Les Parcours dÉtude et de Recherche

• (4) La mise en marche du processus détude
  requiert des média pour la récupération de R ?
  ainsi que des milieux pour la construction et
  validation de R ? et R ?.
• La  dialectique des média et des milieux  (à
  développer) apparaît ainsi comme un élément clé
  de la réforme épistémologique.
• Elle est associée à l étudiabilité  dune
  question il faut pouvoir se donner les bons
  milieux et avoir accès aux média.

• (5) Nouveau contrat didactique
• Le professeur agit comme un  guide  (directeur
  de létude).
• La communauté détude partage les responsabilités
  dans la gestion des différents moments et dans la
  topogenèse, chronogenèse et mesogenèse du
  parcours.

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3. Lexpérimentation des PER au lycée, au
collège et à luniversité
Esther Rodríguez Quintana (2005) Thèse doctorale
(Psychologie Éducative U. C. Madrid) Métacogniti
on, résolution de problèmes et enseignement des
math.

• Expérimentation dun PER sur la comparaison de
  tarifs de téléphones portables en 1e (lycée)
• Deux expérimentations 03/04 et 04/05
• Atelier en horaire extra-scolaire et
  volontaire
• Deux centres de Madrid, groupes de 12-15
  élèves
• La professeure de latelier est la chercheure

Question de départ quel type de tarif nous
convient?
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• GÉNÉRATIVITÉ POTENTIELLE DE LA QUESTION
• (analyse a priori)
• Travail avec des formules et des inégalités
  algébriques
• Prix appel connexion prix/seconde
• /fraction de minute
• Modélisation
• fonctionnelle
• algébrique
• numérique
• graphique

22
La réalite est plus complexe
23

• AU-DELÀ DE LA MODÉLISATION FONCTIONNELLE
• Excel
• Création de sites web
• Statistique
• Stratégies commerciales
• Politique du consommateur

CARACTÈRE MULTIDISCIPLINAIRE DES PER LES
MATHÉMATIQUES MIXTES
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• OBJECTIF DE LEXPÉRIMENTATION (thèse)
• Viabilité des PER première mise en oeuvre
• Étudier la puissance du dispositif didactique
• (1) Capacité du PER pour provoquer des
  connections entre connaissances interprétation
  de la connaissance métacognitive comme le passage
  dOM ponctuelles à des OM locales ou
  régionales pour étudier un problème complexe.
• (2) Incidence du PER sur la régulation
  métacognitive
• nouveau partage de responsabilités dans la
  gestion des moments de létude ?
  institutionnalisation
• ? évaluation
• ? planification

LE MATHÉMATIQUE
LE DIDACTIQUE
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• RÉSULTATS OBTENUS
• Des aspects du processus détude considérés
  traditionnellement comme très didactiques ont
  acquis une fonctionnalité mathématique indéniable
• EXEMPLES
• Développement du travail de la technique pour
  comparer différentes modalités de tarifs.
• La recherche de renseignements a conduit les
  élèves à proposer des  énoncés dexercices 
  plus simples que la réalité mais assez variés
  pour en aborder la complexité.
• Institutionnalisation à travers la proposition
  de préparer un site web pour présenter les
  résultats obtenus (réponse).
• Validation des modèles trouves à partir dune
  étude statistique des factures apportées par
  chaque élève.

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• RÉSULTATS OBTENUS
• Cession de responsabilité didactique aux élèves
• EXEMPLES
• Planifier temporellement le processus
  (programmer)
• Partager les tâches entre les groupes délèves
• Poser de nouvelles questions et prioriser leur
  étude
• Institutionnalisation
• Validation
• Travail de la technique
• Justification technologico-théorique

Résistences de la part du professeur-chercheur!
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• Autres PER expérimentés
• Javier García (U. de Jaén)
• Les plans dépargne au Collège
• Tomás Sierra (U. C. de Madrid)
• Les systèmes de numération en
• formation de maîtres
• Berta Barquero (U. A. de Barcelona)
• Les modèles de populations en 1r année
  universitaire de sciences
• Noemí Ruiz Munzón (U. A. de Barcelona)
• La modelisation algebrico-fonctionnelle au Lycée
  Comment gagner de largent en vendant des
  T-shirts

Años Tamaño de la población
1937 8
1938 26
1939 85
1940 274
1941 800
1942 1800
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Javier García García (2005) Thèse doctorale
(Didactique des Sciences et des Math. U.
Jaén) La modélisation comme outil darticulation
des mathématiques scolaires. De la
proportionnalité aux relations fonctionnelles

• Expérimentation dun PER sur létablissement de
   plans dépargne  en 2e (fin du collège)
• Une expérimentations 04/05
• Atelier en horaire scolaire
• Collège-lycée de Jaén (Andalousie), groupe 15
  élèves
• Le professeur du cours est le chercheur

Question de départ comment économiser de
largent pour payer le voyage de fin détudes?
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On prévoit différent possibles plans dépargne
pour que chaque élève puisse choisir celui qui
lui convient le mieux.
Total après n paiements Sn F(n,C0,Cn)

• On décrit chaque plan par un modèle algébrique
  qui permet dexprimer lamont total économisé
  après les n périodes
• Plans à versements constants Cn C (modèle
  linéaire)
• Plans à versements croissants
• Cn Cn -1 K (modèle quadratique)
• Cn K Cn -1 (modèle exponentiel), Kgt1
• Plans à versements décroissants
• Cn Cn -1 K (modèles exponentiels) ), 0ltKlt1

30
Le PER permet de parcourir, en les reliant,
différents modèles fonctionnels qui sont
faiblement connectés dans le curriculum
Modèles
Plans dépargne
OM régionale intégrant les différents modèles
fonctionnels
Question
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QUELQUES RÉSULTATS OBTENUS

• Dépasser lisolement et latomisation de la
  relation de proportionnalité telle quelle est
  enseignée au collège en la situant par rapport au
  reste de modèles fonctionnels
• Exemple paradigmatique de rénovation de
  lépistémologie scolaire pour dépasser
  l autisme thématique  du professeur (et du
  chercheur!)
• ? leçon de la TSD peu entendue par la communauté
• Viabilité des PER en conditions scolaires
   normales  et contraintes de différents niveaux
  de détermination
• Séances trop courtes (50)
• Petit nombre délèves
• Professeur chercheur (moins soumis aux contrat
  institutionnel)

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Berta Barquero Farràs (2006) Mémoire de DEA
(Mathématiques U. Autonome de Barcelone) Les
PER et lenseignement de la modélisation
mathématique en première année universitaire de
sciences

• Expérimentation dun PER sur létude de la
  dynamique de populations en 1e année de DEUG -
  Sciences
• Une expérimentations 05/06
• Atelier en horaire extra-scolaire,
  volontaire
• Évaluation 1 point / 10 à lexamen final
• Groupe 12 - 17 élèves
• Le professeur du cours est le chercheur

Année Taille de la population
1937 8
1938 26
1939 85
1940 274
1941 800
1942 1800
Question de départ Comment prévoir lévolution
de la taille dune population? Quelles données?
Quelles hypothèses?
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Étude de la dynamique dune population (X)
Q0
Étude de xt
Modèles discrets t n ? N
Modèles continus t ? R
Generations separées
OM D2
OM D1
G. mélangées
Suites récurrentes dordre 2
Étude de rn
Suites récurrentes dordre 1
TROISIÈME PER
PREMIER PER
DEUXIÈME PER
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QUELQUES RÉSULTATS OBTENUS

• Les 3 PER permettent de  recouvrir  le
  curriculum officiel
• Enseignement explicite du processus de
  modélisation
• Explicitation des hypothèses et lien avec les
  modèles
• Validation des modèles et mise en avant des
  limitations pour en construire de nouveaux (?
  réponses partielles)
• Institutionnalisation des modèles et des systèmes
• Nouveaux dispositifs didactiques pour
  linstitutionnalisation
• rédaction de rapports provisoires
• besoin de discours technologico-théoriques  ad
  hoc 
• Incidence sur les autres dispositifs
  denseignement la classe de théorie et
  de problèmes se subordonnent au fur et à mesure à
  latelier de modélisation

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4. Conclusions générales et questions ouvertes

• Viabilité des PER en conditions scolaires
   normales 
• ? essais avec des professeurs non-chercheurs
• Rigidité du contrat didactique habituel dans la
  gestion de nombreux aspects des PER topo, chrono
  et mésogenèse
• ? besoins en praxéologies didactiques
• Légitimité à créer de nouveaux discours
  technologiques  ad hoc  pour institutionnaliser
  les résultats des PER
• ? besoins en praxéologies mathématiques
• Possibilité de  couvrir  un programme annuel
• ? nouveau pacte curriculaire autour de questions