Module 4 : Parcours dans un graphe

1
Module 4 Parcours dans un graphe
2
Plan du module

• Parcours en profondeur
• Parcours en largeur
• Composantes connexes
• Recherche de cycles
• Tri topologique
• Bi-coloriage dun graphe

3
Parcours en profondeur

• Utilise lidée du backtracking
• Recherche exhaustive de toutes les possibilités
  si possible
• Retour en arrière (backtrack) sil ny a plus de
  possibilité davancement non explorée

4
Parcours en profondeur

1. Marquer tous les nœuds comme  non visités 
2. Choisir le nœud de départ et le marquer comme
   visité
3. À partir de là, effectuer un chemin vers le bas
   aussi long que possible en ne traitant que les
   nœuds non encore  visités  (parcours récursif)
4. Si tous les nœuds ne sont pas encore  visités ,
   choisir un autre nœud  non visité  et
   recommencer à 3.

5
Parcours en profondeur
u
v
w
1/
x
y
z
6
Exemple (DFS)
u
v
w
2/
1/
x
y
z
7
Exemple (DFS)
u
v
w
2/
1/
3/
x
y
z
8
Exemple (DFS)
u
v
w
2/
1/
4/
3/
x
y
z
9
Exemple (DFS)
u
v
w
2/
1/
4/
3/
x
y
z
10
Exemple (DFS)
u
v
w
2/
1/
4/5
3/
x
y
z
11
Exemple (DFS)
u
v
w
2/
1/
4/5
3/6
x
y
z
12
Exemple (DFS)
u
v
w
2/7
1/
4/5
3/6
x
y
z
13
Exemple (DFS)
u
v
w
2/7
1/
4/5
3/6
x
y
z
14
Exemple (DFS)
u
v
w
2/7
1/8
4/5
3/6
x
y
z
15
Exemple (DFS)
u
v
w
2/7
9/
1/8
4/5
3/6
x
y
z
16
Exemple (DFS)
u
v
w
2/7
9/
1/8
4/5
3/6
x
y
z
17
Exemple (DFS)
u
v
w
2/7
9/
1/8
4/5
3/6
10/
x
y
z
18
Exemple (DFS)
u
v
w
2/7
9/
1/8
4/5
3/6
10/
x
y
z
19
Exemple (DFS)
u
v
w
2/7
9/
1/8
4/5
3/6
10/11
x
y
z
20
Exemple (DFS)
u
v
w
2/7
9/12
1/8
4/5
3/6
10/11
x
y
z
21
Parcours en profondeur

• PROCEDURE dfs(VAR g graph v integer)
• BEGIN
• IF NOT finished
• THEN BEGIN
• discoveredv true
• process_vertex(v)
• FOR i 0 TO g.degreev-1 DO
• BEGIN
• y g.edgesvi
• IF NOT discoveredy
• THEN BEGIN
• dfs(g,y)
• END
• ELSE IF NOT processedy THEN
  process_edge(v,y)
• IF finished THEN exit
• END
• processedv true
• END
• END

Extrait partiel du programme Pascal
22
Parcours en largeur

• Marquer tous les nœuds comme  non visités 
• Choisir un nœud v de départ et le marquer
   visité 
• À partir de v
• Visiter tous les nœuds non encore visités
  adjacents à v
• Visiter tous les nœuds accessibles depuis v en
  suivant 2 arêtes
• Visiter tous les nœuds accessibles depuis v en
  suivant n arêtes
• En utilisant une file !
• Si tous les nœuds nont pas encore été visités,
  choisir un nœud non encore visité et recommencer
  à 3.

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Parcours en largeur

• Placer le nœud de départ dans la file
• Tant que la file nest pas vide
• soit n le premier nœud de la file
• traiter n
• enlever n de la file
• placer tous les nœuds adjacents à n et non
  encore traités dans la file
• Fin tant que

24
Parcours en largeur

• Une file est une structure de données de type
  FIFO (First In First Out)
• Enqueue(x,q) insère litem x à la fin de q
• Dequeue(q) renvoie et enlève litem en tête de la
  file
• Empty(q) indique si la file est pleine, ne peut
  plus accepter dajouts
• Initialize_queue(q) crée une file vide

25
Parcours en largeur
r
s
t
u
?
?
?
0
?
?
?
?
v
w
x
y
Q s 0
26
Exemple (BFS)
r
s
t
u
?
?
1
0
?
?
?
1
v
w
x
y
Q w r 1 1
27
Exemple (BFS)
r
s
t
u
2
?
1
0
2
?
?
1
v
w
x
y
Q r t x 1 2 2
28
Exemple (BFS)
r
s
t
u
2
?
1
0
2
?
1
2
v
w
x
y
Q t x v 2 2 2
29
Exemple (BFS)
r
s
t
u
2
1
0
3
2
?
1
2
v
w
x
y
Q x v u 2 2 3
30
Exemple (BFS)
r
s
t
u
2
1
0
3
2
3
1
2
v
w
x
y
Q v u y 2 3 3
31
Exemple (BFS)
r
s
t
u
2
1
0
3
2
3
1
2
v
w
x
y
Q u y 3 3
32
Exemple (BFS)
r
s
t
u
2
1
0
3
2
3
1
2
v
w
x
y
Q y 3
33
Exemple (BFS)
r
s
t
u
2
1
0
3
2
3
1
2
v
w
x
y
Q ?
34
Exemple (BFS)
r
s
t
u
2
1
0
3
2
3
1
2
v
w
x
y
BF Tree
35
Parcours en largeur

• WHILE NOT empty(q) DO
• BEGIN
• v dequeue(q)
• process_vertex(v)
• processedv true
• FOR i 0 TO g.degreev-1 DO
• BEGIN
• IF NOT discoveredg.edgesvi
• THEN BEGIN
• enqueue(q,g.edgesvi)
• discoveredg.edgesvi true
• END
• IF NOT processedg.edgesvi
• THEN process_edge(v,g.edgesvi)
• END
• END
• END

• PROCEDURE bfs(VAR g graph start integer)
• VAR q queue queue of vertices to visit
• BEGIN
• FOR i 0 TO g.nvertices-1 DO
• BEGIN
• processedi false discoveredi
  false
• END
• init_queue(q)
• enqueue(q, start)
• discoveredstart true

Extrait partiel du programme Pascal
36
Définitions

• Chemin (de longueur n) Une séquence de nœuds v0,
  v1, , vn avec une arête de vi à vi1 pour
  chaque 0 lt i lt n.
• Un chemin est simple si tous les nœuds dans le
  chemin sont distincts.
• Un cycle est un chemin de longueur 1 ou plus
  reliant un nœud vi à lui même.
• Un cycle est simple si le chemin est simple, sauf
  que les premiers et derniers nœuds sont les même.

37
Composantes connexes

• Une composante connexe dun graphe non orienté
  est lensemble maximal de nœuds tel quil existe
  un chemin entre toutes les paires de nœuds de cet
  ensemble
• Elles se déterminent par un parcours (ici DFS)

38
Composantes connexes

• c 0
• FOR i 0 TO g.nvertices-1 DO
• IF NOT discoveredi
• THEN BEGIN
• c c1
• write('Component ',c,' ')
• dfs(g,i)
• writeln
• END

39
Recherche de cycles

• Une arête arrière (u,v) est telle que v est un
  père de u dans larbre DFS construit pour un
  graphe.
• Toute arête arrière allant de u vers son père v
  crée un cycle dans le chemin de v à u.

40
Recherche de cycles

• PROCEDURE process_edge(x,y integer)
• BEGIN
• IF parentx ltgt y
• THEN BEGIN
• write('Cycle from ',y, ' to ', x, ' ')
• find_path(y,x)
• writeln
• finished true
• END
• END

41
Recherche de cycles

• PROCEDURE find_path(start, endv integer)
• BEGIN
• IF (start endv) OR (endv -1)
• THEN write(start3)
• ELSE BEGIN
• find_path(start, parentendv)
• write(endv3)
• END
• END

42
Tri topologique

• Le tri topologique d'un graphe orienté sans
  circuit est une numérotation des sommets dans
  laquelle les descendants d'un sommet de numéro k
  sont nécessairement de numéro supérieur à k.

43
Topological Sort DFS
C
1
3
2
4
G
A
B
5
D
E
6
7
F
8
Un ordre topologique C G B A D E F H
H
44
Tri topologique

• Soit le graphe orienté acyclique suivant

45
Tri topologique

• La table indique pour chacun des nœuds (1 à 6) le
  nombre darêtes entrantes (indegree)

1 0
2 1
3 3
4 3
5 2
6 0
46
Tri topologique
1 0
2 1
3 3
4 3
5 2
6 0
file
1 6
47
Tri topologique

• La valeur en tête de file est enlevée (ici 1).
• La valeur indegree de chaque nœud adjacent au
  nœud enlevé de la file est décrémentée de 1.
  Le(s) nœud(s) dont lindegree passe à 0 sont mis
  dans la file (ici 2).

48
Tri topologique
1 0
2 0
3 3
4 2
5 2
6 0
file
Résultat 1
6 2
49
Tri topologique
1 0
2 0
3 2
4 2
5 1
6 0
file
Résultat 1, 6
2
50
Tri topologique
1 0
2 0
3 1
4 1
5 0
6 0
file
Résultat 1, 6, 2
5
51
Tri topologique
1 0
2 0
3 0
4 1
5 0
6 0
file
Résultat 1, 6, 2, 5
3
52
Tri topologique
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
file
Résultat 1, 6, 2, 5, 3
4
53
Tri topologique
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
file
Résultat 1, 6, 2, 5, 3, 4

54
Tri topologique

• La file est vide est le résultat du tri
  topologique est 1, 6, 2, 5, 3, 4

55
Tri topologique

• compute_indegrees(g, indegree)
• init_queue(zeroin)
• FOR i 0 TO g.nvertices-1 DO IF indegreei0
  THEN enqueue(zeroin,i)
• j 0
• WHILE NOT empty(zeroin) DO
• BEGIN
• x dequeue(zeroin)
• sortedj x
• j j1
• FOR i 0 TO g.degreex-1 DO
• BEGIN
• y g.edgesxi
• indegreey indegreey - 1
• IF indegreey 0 THEN enqueue(zeroin,y)
• END
• END

Extrait partiel du programme Pascal
56
Bi-coloriage dun graphe

• Énoncé
• Réalisez un programme Pascal qui indique sil est
  possible de repeindre n gares dun réseau ferré
  de manière à ce que deux gares reliées
  directement ne soient jamais peintes de la même
  couleur.
• On ne dispose que de deux couleurs.

57
Bi-coloriage dun graphe

• In 1976 the Four Color Map Theorem" was proven
  with the assistance of a computer. This theorem
  states that every map can be colored using only
  four colors, in such a way that no region is
  colored using the same color as a neighbor
  region. Here you are asked to solve a simpler
  similar problem. You have to decide whether a
  given arbitrary connected graph can be bicolored.
  That is, if one can assign colors (from a palette
  of two) to the nodes in such a way that no two
  adjacent nodes have the same color. To simplify
  the problem you can assume
• no node will have an edge to itself.
• the graph is nondirected. That is, if a node a is
  said to be connected to a node b, then you must
  assume that b is connected to a.
• the graph will be strongly connected. That is,
  there will be at least one path from any node to
  any other node.

58
Bi-coloriage dun graphe

• Input 
• The input consists of several test cases. Each
  test case starts with a line containing the
  number n ( 1 lt n lt 200) of different nodes. The
  second line contains the number of edges l. After
  this, l lines will follow, each containing two
  numbers that specify an edge between the two
  nodes that they represent. A node in the graph
  will be labeled using a number a (0altn).
• An input with n 0 will mark the end of the
  input and is not to be processed.
• Output 
• You have to decide whether the input graph can be
  bicolored or not, and print it as shown below.

59
Bi-coloriage dun graphe

• Sample Input 
• 3
• 3
• 0 1
• 1 2
• 2 0
• 9
• 8
• 0 1
• 0 2
• 0 3
• 0 4
• 0 5
• 0 6
• 0 7
• 0 8
• 0
• Sample Output 
• NOT BICOLORABLE.

60
Bi-coloriage dun graphe

• Problème 10004
• http//online-judge.uva.es/problemset/