Tres ingredientes de la mec

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(No Transcript)
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Un poco de lo que vimos hasta ahora
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LAS LEYES DEL MOVIMIENTO
Un sistema de referencia en el que son válidas
las leyes de la física clásica es aquel en el
cual todo cuerpo permanece en un estado de
movimiento rectilíneo y uniforme en ausencia de
fuerzas.
La variación del momento lineal de un cuerpo es
proporcional a la resultante total de las fuerzas
actuando sobre dicho cuerpo y se produce en la
dirección en que actúan las fuerzas.
Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste
realiza una fuerza igual pero de sentido opuesto
sobre el cuerpo que la produjo.
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Primera ley a partir de la Ecuación de Newton
Una ecuación diferencial.
El significado de este igual es que las dos
funciones coinciden.
Los operadores que actúan sobre las incógnitas no
son solo aritméticos sino que incluyen derivadas
e integrales.
La ecuación es vectorial.
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Dinámica de (conjunto) de dos cuerpos con
fuerzas extensas
F1
F2
Extensión de la segunda ley de Newton (p cambia
con Fext)
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El experimento de Galileo
El experimento de Galileo Dejar caer objetos de
distinta masa desde una altura y ver si caen con
la misma velocidad. Problema el experimento no
funciona.
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Funciones del movimiento, velocidad, tiempo y
espacio.
0
Posibilidad 2 Resolver directamente las
ecuaciones para v(x) o x(v). Como?
h(H-x)
Podemos resolver directamente las ecuaciones de
movimiento sobre una variable que no sea el
tiempo.
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Trabajo y Cinética Una diapositiva repleta de
ecuaciones
Asumamos por Simpleza que
Entonces
o
O aun reordenando términos
Diferencial de Trabajo (por definición) y aquí se
adivina la relevancia de esta cantidad.
Diferencial de Energía Cinetica
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LOCAL Y GLOBA DE VUELTA A LA DISTANCIA ENTRE
FUNCIONES
(x1,v1)
(x2,v2)

• Hay una función ADITIVA de la velocidad y de la
  posición (Energía) que permanece constante
• La velocidad es una función exclusiva del
  espacio. Basta saber donde esta una partícula ( y
  su energía inicial, para conocer su velocidad.
• Si recorremos un camino cerrado, cuando volvemos
  al punto original, nada ha cambiado (es decir la
  velocidad es la misma, la posición la misma, la
  física (las fuerzas) la misma y por lo tanto todo
  se repite, resultando en oscilaciones. En
  particular, no es demasiado difícil oscilar en un
  mundo no disipativo. Basta volver a pasar en
  algún momento por el punto de origen.

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La logica del movimiento en 1 dimension en el
espacio de las fuerzas.
Como es el movimiento si (a y b gt 0), si (a lt 0
y b gt 0), si (a gt 0 y b lt 0) si (a lt 0 y b lt 0)?
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SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento.
a
F0
b
b0
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Formas canónicas de movimiento Una
representación correcta y adecuada (entendiendo
todo en un golpe de ojo)
a
b
b0
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La logica del movimiento en 1 dimension en el
espacio de las fuerzas.
Energía mayor que la barrera
Energía menor que la barrera
Que soluciones existen en este rango?
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La logica del movimiento en 1 dimension en el
espacio de las fuerzas.
EU(x)T gt U(x)
U(x)
La energía es mayor o igual que el valor de U en
xo. Esto se debe al hecho de que T nunca es
negativa
Que soluciones existen en este rango?
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UNA VEZ MAS VENTAJA PRACTICA Y CONCRETA
En un punto dado del espacio, una función no
puede más que

• Tener un máximo. (Equlibrio inestable)
• Tener un mínimo (Equlibrio estable)
• Ser constante. (Punto indiferente)
• Crecer o decrecer (Punto de aceleración)

Movimiento genérico en la línea resulta de una
yuxtaposición de estos operadores elementales.
A partir de una función potencial uno puede LEER
el movimiento y conocer en pleno detalle todos
sus aspectos cualitativos. Por lo tanto, el
problema del movimiento en una dimensión, con
fuerzas conservativas esta, esencialmente,
resuelto. En lo que sigue extenderemos este
problema a un mundo que será mas complejo por 1)
La dimensionalidad del espacio (pasar de la línea
al plano) lo cual introduce una relación entre la
geometría y la dinámica. 2) La introducción de
fuerzas no conservativas que, veremos, no
permiten utilizar una función temporal.
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Un acercamiento a la mecánica por componentes
fundamentales.
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Tres ingredientes de la mecánica tresLA MASA
La masa Inercia, tendencia a permanecer en el
estado de movimiento actual. Resistividad a la
fuerza. La energía cinética escalea con la masa
manifestando el hecho de que la fuerza necesaria
para modificar la cantidad de movimiento es
proporcional a la masa. La masa también es el
factor de escala de la fuerza de gravedad y por
lo tanto, en presencia de fuerzas gravitatorias
este es también un factor de escala de la energía
potencial.
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Tres ingredientes de la mecánica tresEL
AMORTIGUADOR
El amortiguador Disipador de energía. Capacidad
de absorción de un medio externo. Se opone
sistemáticamente a la dirección de movimiento
resultando en la consecuente perdida de energía
cinética sin transferir esa energía a un
potencial acumulado. La amortiguación resulta de
las fuerzas viscosas entre el amortiguador y un
medio, correspondientes a un resumen
estadistico de numerosas interacciones
moleculares. La energia que pierde el
amortiguador es absorvida por el medio en formas
no necesariamente mecanicas, por ejemplo, calor.
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Tres ingredientes de la mecánica tresEL RESORTE

El resorte Fuerza elastica, resistencia al
desplazamiento de manera independiente de la
velocidad con la que se llega a esa posición.
Resistencia al cambio de forma. Un objeto que
ejerce una fuerza proporcional a la posición.
Tiende por lo tanto a restituir el movimiento
hacia el punto de equilibrio y evitar el cambio
de forma. Su estiramiento resulta en una
acumulación de fuerza o carga de energía
potencial.
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Tres ingredientes de la mecánica tresLA MASA
El resorte Un objeto que ejerce una fuerza
proporcional a la posicion. Tiende por lo tanto
a restituir el movimiento hacia el punto de
equilibrio. Su estiramiento resulta en una
acumulacion de fuerza o carga de energia
potencial.
La masa Inercia, tendencia a permanecer en el
estado de movimiento actual. Resistividad a la
fuerza. También es el factor de escala de la
fuerza de gravedad.
El amortiguador Disipador de energía. Capacidad
de absorción de un medio externo. Se opone
sistemáticamente a la dirección de movimiento
resultando en la consecuente perdida de energía
cinética sin transferir esa energía a un
potencial acumulado.
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Dinámica de los tres ingredientes en una fuerza
constante LA MASA
0
Un problema conocido, con alguna sutileza.
Notar que la aceleración no es independiente de
la masa
Una masa responde a una fuerza modificando su
velocidad en esa dirección. Esta modificación es
menor a medida que crece la masa.
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Dinámica de los tres ingredientes en una F
constante AMORTIGUADOR
El amortiguador esta postulado por ahora como
objeto mecánico que por definicion ejerce una
fuerza inversamente proporcional a la velocidad.
Aplicada una fuerza externa F la velocidad
cambia a velocidad infinita dada la ausencia de
la masa. A medida que la velocidad aumenta, el
medio ejerce una fuerza creciente que alcanza un
equilibrio cuando A esta velocidad las dos
fuerzas se cancelan, con lo que no hay fuerzas
resultantes y la velocidad se mantiene constante.
Notese que la fuerza esta ejerciendo trabajo en
permanencia (inyectando energia) para mantener
esta velocidad constante.
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Dinámica de los tres ingredientes en una fuerza
constante EL RESORTE
El RESORTE esta postulado como objeto mecánico
que por definicion ejerce una fuerza
inversamente proporcional a la distancia.
Aplicada una fuerza externa F la velocidad
cambia a velocidad infinita hasta el infinito
dada la ausencia de la masa. Esto resulta en un
desplazamiento en tiempo cero hasta que la fuerza
ejercida por el resorte, que aumenta con la
distancia, igual a la fuerza externa, lo cual
sucede para la posición Notar que este es un
punto de equilibrio estatico y por lo tanto
la fuerza no inyecta energia al sistema. El
resorte no disipa. La energia entregada por la
fuerza externa durante el desplazamiento
es acumulada en forma de energía potencial
(mecánica) y será nuevamente transformada en
cinética una vez que la fuerza externa
desaparezca.
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Tres ingredientes de la mecánica tresLa
Fuerza ejercida sobre cada uno.
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Tres ingredientes de la mecánica tresPOSICION
en fuerza constante.
x
t
La velocidad crece lentamente (derivada continua)
debido a la resistencia de la masa, y por ende la
posición evoluciona cuadraticamente. Esta
velocidad (pendiente) crece arbitrariamente
mientras dure al fuerza (aceleración constante)
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Tres ingredientes de la mecánica tresPOSICION
en fuerza constante.
x
t
La velocidad crece lentamente (derivada continua)
debido a la resistencia de la masa, y por ende la
posición evoluciona cuadraticamente. Esta
velocidad (pendiente) crece arbitrariamente
mientras dure al fuerza (aceleración constante)
Abruptamente cambia la velocidad (derivada de la
posición) debido a una fuerza que actúa sin
resistencia (masa) y satura a una velocidad
critica.
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Tres ingredientes de la mecánica tresPOSICION
en fuerza constante.
x
t
La velocidad crece lentamente (derivada continua)
debido a la resistencia de la masa, y por ende la
posición evoluciona cuadraticamente. Esta
velocidad (pendiente) crece arbitrariamente
mientras dure al fuerza (aceleración constante)
Abruptamente cambia la velocidad (derivada de la
posición) debido a una fuerza que actúa sin
resistencia (masa) y satura a una velocidad
critica.
Abruptamente cambia la posición, lo cual implica
que la velocidad aumenta repentinamente a
infinito. Esto sucede porque no hay masa que
resista la fuerza ni viscosidad que acote el
crecimiento de la velocidad que, en este
instante, vale infinito.
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Tres ingredientes de la mecánica tresVELOCIDAD
en fuerza constante.
v
Área F/k
t
La velocidad comienza a crecer abruptamente
(continua, pero con derivada discontinua, dada
por la aceleración) En general, en presencia de
masa, la posición es continua y derivable y la
velocidad continua (pero no necesariamente
derivable)
En ausencia de masa la velocidad crece hasta
llegar al punto en que la fuerza de resistencia
compensa la fuerza ejercida donde se alcanza una
posición de equilibrio.
La velocidad es infinita durante un instante
infinitamente corto, hasta que la posición es tal
que la fuerza elástica compensa la fuerza
ejercida. La integral de la velocidad es la
posición y por lo tanto el área bajo esta curva
es igual a x de equilibrio.
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Tres ingredientes de la mecánica
tresACELERACION en fuerza constante.
a
t
La aceleración es proporcional a la fuera, según
la ley de Newton (siempre y cuando haya masa). La
aparición súbita de la fuerza genera una
discontinuidad en la aceleración.
La velocidad aumenta con rapidez infinita hasta
llegar al valor de equilibrio. El área bajo la
curva de aceleración corresponde al cambio de
velocidad.
Esta derivada queda libre de imagen
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Combinando ingredientes fundamentales, hacia una
variedad de mundos posibles.
Un objeto mecánico resultara de una combinación
de uno o varios de estos elementos fundamentales.
Los resortes contribuyen a la deformabilidad o
elasticidad, los amortiguadores a la viscosidad o
disipación y la masa a la inercia.
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Cómo medir fuerzas, desplazamientos,
velocidades, viscosidades y la física en un mundo
microscópico?
Howard Berg, uno de los padres de la biofísica
moderna. Cómo y porque se mueven las bacterias?
Steven Chu, un prócer experimental (Premio Nobel
1997)
Steven Block. Ideas de Berg y tecnologia de Chu.
La herramienta basica Optical Tweezers. Un pozo
de potencial altamente focalizado
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Una primera aplicación de esta tecnología
Jugando con E.Coli cual el gato con el ratón.
Block, S.M., Blair, D.F., and Berg, H.C.
"Compliance of bacterial flagella measured with
optical tweezers." Nature 338, 514-517 (1989)
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Movimiento rígido de una bacteria, de una
proteína o de una placa.
Cómo modelar con los ingredientes mecánicos el
movimiento de una bacteria?
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La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)

La combinación de una masa y un amortiguador
modela el movimiento de un objeto rígido (que no
se deforma) en un medio viscoso. Los tiempos
característicos de este movimiento quedan
determinados por la relación entre la masa y la
viscosidad.
35
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)

F
La ecuación diferencial de Newton
36
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)

F
Una solución general
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La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)

F
La constante es necesaria para resolver el
termino de la fuerza constante.
Es la única función igual a un mulitplo de su
derivada salvo una constante multiplicativa
38
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)

F
39
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso) La solución Formal
La velocidad vale cero al principio y en un
tiempo critico que es proporcional a la masa e
inversamente proporcional a la viscosidad alcanza
un régimen de velocidad casi constante.
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La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F2220
M1
?1
Velocidad
Posicion
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La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F1
M12220
?1
Velocidad
Posicion
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La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F1
M12220
?1
Velocidad
Posicion
Régimen viscoso
Tiempo critico aumenta con masa
Salto abrupto de velocidad para masa pequeña
Regimen Inercial
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La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F1
M1
?0.250.255
Velocidad
Posicion