Diapositiva 1

1
Combinando los 3 ingredientes fundamentales, el
oscilador (con masa) amortiguado
Oscilar en un mundo viscoso es difícil y requiere
energía. Las oscilaciones se vuelven mas
difíciles a medida que la masa decrece y se
pierde inercia. En el mundo de las moléculas
biológicas las oscilaciones son raras y en
general requiere de un mecanismo activo (una
fuerza que provee energía) que las sostenga. Los
cambios conformacionales de proteínas suelen no
tener rebote.
2
La dificultad de oscilar en un mundo viscoss.
Cómo modelar con los ingredientes mecánicos del
aparato mecanico transductor de presion a
corriente? Las células ciliares en la cochlea
3
5 mm
(P. Gillespie, U. of Oregon)
4
Oscilaciones en un medio viscoso Primer punto de
partida, acercamiento empírico.
F
5
Oscilaciones en un medio viscoso Punto de
partida teorico como siempre, las ecuaciones de
Newton.
F
La ecuación diferencial de Newton
6
Oscilaciones en un medio viscoso Punto de
partida, como siempre, las ecuaciones de Newton.
F
La ecuación diferencial de Newton
Expresado en terminos de una funcion incognita
(x) y sus derivadas ( v y a)
Resolvamos primero el caso en el que F0. Un
oscilador solo en un medio viscoso.
7
De ecuaciones diferenciales a un polinomio
F
Y como siempre, proponemos y usamos, para pasar
de la ecuación diferencial a una ecuación
polinomica
8
De ecuaciones diferenciales a un polinomio una
vez más función conocida
F
Yemplazando cada derivada se obtiene
9
Resolviendo el oscilador amortiguado
F
Problema conocido
10
Una solución conocida
F
Problema conocido
Que nos dice esta ecuacion (antes de resolverla)
11
Que puede concluirse de esta solucion
F
12
Distintos escenarios posibles 1) Viscosidad
domina
F
1) Raiz es gt 0
13
Raíz positiva. Un mundo viscoso (el de las
proteínas) La masa y la elasticidad no llegan a
generar ni una oscilación.
F
1) Raiz es gt 0

• La solución no tiene componente compleja y luego
  no hay oscilaciones.
• Lambda es positivo (ver porque) y por lo tanto la
  solución es una exponencial decreciente.
• 3) El resultado es por lo tanto como el de un
  amortiguador con la constante de tiempo
  modificada por la presencia de la masa y de la
  constante elástica.

14
Distintos escenarios posibles 2) La masa y la
elasticidad llegan a oscilar superando la
viscosidad.
F
2) Raiz es lt 0
lt 0
15
Raíz negativa, como resolverla...
F
2) Raiz es lt 0
gt 0
Entonces la raiz es positiva por -1.
16
Raíz (negativa) imaginaria luego oscilaciones
F
2) Raiz es lt 0
i factoriza como la raiz de -1
17
El reino de las oscilaciones.
F
2) Raiz es lt 0
Oscilaciones con periodo
Decaimiento exponencial con constante
18
El reino de las oscilaciones.
19
El reino de las oscilaciones.
2) Raiz es lt 0

1. La solución tiene componente compleja y luego
   resulta de una mezcla de oscilaciones y un
   decrecimiento exponencial.
2. Las constantes de tiempo se factorizan oscilador
   con masa por un lado y amortiguador con masa por
   el otro.
3. La constante de tiempo del decaimiento aumenta
   con la masa y decrece con la viscosidad.
4. La constante de tiempo de la oscilación aumenta
   con la masa y decrece con k

20
El compromiso entre dos términos.
2) Por qué?
La física de este problema queda establecida por
un compromiso entre la disipación (dada por la
viscosidad) y la tendencia a oscilar que aumenta
con la elasticidad y la masa. Todo el problema
se reduce esencialmente a comparar los dos
tiempos críticos (el decaimiento exponencial y el
periodo de la oscilación) y a entender que
contribuye a cada tiempo critico.
21
EL TIEMPO DE DISIPACION Y EL TIEMPO DE RELAJACION
F
22
EL TIEMPO DE DISIPACION Y EL TIEMPO DE RELAJACION
F
23
Tiempo de experimentos (simulaciones) Segunda
parte, validación de un modelo teorico.
F
24
Energía en un oscilador viscoso
Conocido x(t) podemos calcular también v(t) y por
lo tanto la energía, según la fórmula
Reemplazando la educación del movimiento se
obtiene la siguiente formula para la energía
25
Energía en un oscilador viscoso
Dos conclusiones importantes dos 1) La energía
no se conserva, o, dicho de otra manera, oscilar
(y en general moverse) en un mundo viscoso
cuesta. 2) La perdida de energía no depende de la
constante elástica.
26
Energía en un oscilador viscoso
2) La perdida de energía no depende de la
constante elástica.
Vimos que el movimiento puede factorizarse en el
producto de un decaimiento exponencial y de una
oscilación. El decaimiento exponencial es el
único de estos factores que altera la energía. La
oscilación establece un proceso conservativo de
flujo de energía cinética a potencial (y la
velocidad de este flujo SI depende de k)
conservando el total de energía. De hecho en el
caso extremo en el que la viscosidad es cero, el
problema es conservativo, cada ciclo de la
oscilación tiene la misma energía y, por lo
tanto, la misma amplitud.
27
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el
oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado
estacionario.
F
Si un agente externo es capaz de entregar en cada
ciclo la misma cantidad de energia que disipa el
sistema, entonces se alcanza un estado
oscilatorio estacionario de amplitud constante.
28
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el
oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado
estacionario.
F
Es una fuerza constante capaz de entregar energía
para inducir oscilaciones?
29
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el
oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado
estacionario.
F
Es una fuerza constante capaz de entregar energía
para inducir oscilaciones?
Respuesta NO. Ya vimos anteriormente que el
trabajo de una fuerza constante a lo largo de un
ciclo es necesariamente cero (esencialmente
porque en la mitad del ciclo empuja (fuerza en
mismo sentido que el desplazamiento, trabajo
positivo) inyectando energía y en la otra mitad
del ciclo frena (fuerza en el sentido inverso al
desplazamiento, trabajo negativo) quitando por lo
tanto energía.
30
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el
oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado
estacionario.
F
Es una fuerza constante capaz de entregar energía
para inducir oscilaciones?
Respuesta NO. Versión grafica del mismo
argumento.
Velocidad
F
31
El oscilador amortiguado disipa energía porque la
fuerza viscosa es SIEMPRE opuesta a la velocidad.
F
La fuerza viscosa esta contra fase con la
velocidad, resultando en una perdida de energia
(disipacion) en cada ciclo. Debido a esta perdida
de energia la velocidad disminuye con lo que la
perdida de energia en el proximo ciclo es menor y
asi siguiendo resultando, como ya vimos, en una
exponencial.
Velocidad
F
32
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el
oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado
estacionario.
F
F(t)
Una fuerza sincronizada con el desplazamiento
inyecta energia en el sistema. Un oscilador
forzado tiene una energia incial si la energia
disipada (porque la velocidad inicial no es
suficientemente grande) es menor que la inyectada
el sistema aumenta la energia en cada ciclo con
lo que la velocidad aumenta, la energia disipada
es mayor... El estado estacionario se alcanza
cuando se llega a una velocidad promedio (sin
signo) tal que la energia disipada (por la
viscosidad) es igual a la absorvida (entregada
por la fuerza externa).
Velocidad
F Viscosa
Forzado Ext
33
ALGUNOS OSCILADORES
Viola d'amore (Siglo XVII)
cuerdas simpateticas
34
ALGUNOS OSCILADORES
El Sitar (Siglo XII)
entre 11 y 19 cuerdas simpateticas
35
ALGUNOS OSCILADORES
El Puente de Tacoma (1940)
36
Mas vale tarde que nunca
37
(No Transcript)
38
El oscilador amortiguado y forzado Newton aun...
F
F(t)
Como siempre, la ecuación diferencial (de Newton)
es el punto de partida para entender el
movimiento. Una vez más, y dado que esta es una
ecuación diferencial lineal, proponer una función
exponencial (con exponente real e imaginario)
convierte esta ecuación diferencial en una
ecuación algebraica en el exponente.
Reemplazando la exponencial genérica en la
ecuación diferencial, planteando la ecuación
algebraica y resolviéndola se obtiene
39
El oscilador amortiguado y forzado Solución
estacionaria.
F
F(t)
La solución a esta ecuación diferencial depende,
como las otras que hemos visto, de las
condiciones iniciales. Siendo una ecuación de
segundo orden quedan dos parámetros a ajustar
(físicamente, la velocidad y posición inicial).
La solución estacionaria de esta ecuación es
independiente de las condiciones iniciales tal
como sucede con las otras posiciones de
equilibrio que hemos visto. Así como en las
soluciones exponenciales el estado de equilibrio
corresponde a un punto fijo, aquí la solución
estacionaria de equilibrio corresponde a una
oscilacion.
40
El oscilador amortiguado y forzado Solución
estacionaria.
F
F(t)
Independiente de las condiciones iniciales
La solución a esta ecuación diferencial depende,
como las otras que hemos visto, de las
condiciones iniciales. Siendo una ecuación de
segundo orden quedan dos parámetros a ajustar
(físicamente, la velocidad y posición inicial).
La solución estacionaria de esta ecuación es
independiente de las condiciones iniciales tal
como sucede con las otras posiciones de
equilibrio que hemos visto. Así como en las
soluciones exponenciales el estado de equilibrio
corresponde a un punto fijo, aquí la solución
estacionaria de equilibrio corresponde a una
oscilacion.
41
Una aproximación empírica a la solución
estacionaria.SIMULACIONES 1
F
F(t)
Independiente de las condiciones iniciales
Estudiar computacionalmente el comportamiento
asintotico de este problema fisico.
42
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
(Punto de equilibrio) x0
Posición en el punto de equilibrio y velocidad
positiva y de modulo máximo
43
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
(Punto de equilibrio) x0
Durante este cuarto de ciclo la posición es
positiva así como la velocidad. A medida que
aumenta la posición, la velocidad disminuye.
44
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
(Punto de equilibrio) x0
Posición en el punto máximo (positivo), la
velocidad es 0 y cambia de signo.
45
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
(Punto de equilibrio) x0
Durante este cuarto de ciclo de la oscilación, x
es positiva pero la velocidad es negativa.
46
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
(Punto de equilibrio) x0
Medio ciclo completado, la posición vuelve a ser
la misma pero la velocidad se ha invertido.
Nótese que entre pi/2 y 3pi/2 se da la situación
inversa...
47
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
(Punto de equilibrio) x0
Durante este cuarto de ciclo de la oscilación
tanto x como la velocidad son negativas.
48
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
(Punto de equilibrio) x0
Durante este cuarto de ciclo de la oscilación, x
es NEGATIVA y la velocidad es POSITIVA.
49
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
(Punto de equilibrio) x0
Luego de estos cuatro cuartos (cada uno de pi/2)
el ciclo se ha completado. Fase de 0 o de 2pi es
estrictamente lo mismo.
50
Crónica de una oscilación y de como (y cuando)
inyectarle energía.
Velocidad Positiva
Velocidad Negativa
x
t
51
Crónica de una oscilación y de como (y cuando)
inyectarle energía.
Velocidad Positiva
Velocidad Negativa
Fuerza
x
t
52
Crónica de una oscilación y de como (y cuando)
inyectarle energía.
Velocidad Positiva
vgt0 Fgt0 E
vlt0 Fgt0 -E
vlt0 Flt0 E
vgt0 Flt0 -E
Velocidad Negativa
Fuerza
t
Si el movimiento y la fuerza están en fase, la
transferencia de energía es 0
x
53
Crónica de una oscilación y de como (y cuando)
inyectarle energía.
Velocidad Positiva
vgt0 Fgt0 E
vlt0 Flt0 E
vlt0 Flt0 E
vgt0 Fgt0 E
Velocidad Negativa
Fuerza
t
La transferencia de energía es optima cuando la
diferencia de fase es un cuarto de ciclo, es
decir cuando la fuerza es proporcional a la
velocidad.
x
54
Una aproximación empírica a la solución
estacionaria.
F
F(t)
Independiente de las condiciones iniciales
Estudiar computacionalmente el comportamiento
asintotico de este problema fisico.
55
Una aproximación empírica a la solución
estacionaria.
F
F(t)
56
Solución analitica a la solución estacionaria.
F
F(t)
57
Solución analitica a la solución estacionaria.
F
F(t)
Conclusión 1 La solucion estacionaria oscila
con la amplitud del forzado.
58
Solución analitica a la solución estacionaria.
F
F(t)
Conclusión 1.1 Tanto la amplitud como la
relacion de fase quedan determinadas por
m,w,k,gama,F. Es decir estas no son constantes
libres de la ecuación diferencial. La solución
estacionaria es insensible a las condiciones
iniciales y depende solamente de la relación
entre el oscilador y el forzado.
59
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
60
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
ENCONTRAR LAS TRES DIFERENCIAS
61
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
Conclusión 2 La energía del oscilador en el
estado estacionario es constante, se ha llegado a
un balance entre la energía disipada y absorbida
por ciclo. La energía del oscilador es igual al
cuadrado de la amplitud y por lo tanto depende de
los parámetros físicos del oscilador y de cierta
relación de coherencia entre estos y el
forzado.
62
Amplitud del forzado en funcion de los parametros
fisicos.
F(t)
Dos términos positivos. La función será máxima
cuando cada uno se minimice.
63
Amplitud del forzado en funcion de los parametros
fisicos.
F(t)
g0.2
k5,m1
g0.2
64
Amplitud del forzado en funcion de los parametros
fisicos.
F(t)
k30,m1
Cambio de escala
g2
g0.5
g2
65
Amplitud del forzado en funcion de los parametros
fisicos.
F(t)
El ancho de la curva de amplitud escalea con la
viscosidad y disminuye con la raíz de la masa y
la constante elástica. Nótese que esta
comparación es equivalente al cociente para
determinar si un oscilador no forzado llega a
oscilar o no.
k30,m1
g2
g0.5
g2
66
Amplitud del forzado en función de la masa.
F(t)
m3
Aumentar la masa resulta en frecuencias mas bajas
y un mundo en aparencia mas viscoso.
m1
67
Espectro, una función de transferencia.
F(t)
Conclusión 3 Un objeto físico compuesto por una
masa, un resorte y un medio viscoso (oscilador
forzado amortiguado) puede pensarse como un
objeto con una función de respuesta a una
entrada. Es un filtro, un procesador. Dada una
función de entrada cos(wt) responde con la misma
frecuencia multiplicado por un factor. Este
factor esta dado por el ESPECTRO o CURVA DE
RESONANCIA, que es característico y que establece
una huella digital del objeto. En realidad el
objeto es su espectro. La funcion de
transferencia, o espectro, tiene un maximo en la
frecuencia natural del oscilador y un ancho
proporcional a la viscosidad e inersamente
proporcional a su oscilaridad.
68
Y este quien es?
69
El secreto de la vida
70
Oscillating oil drops, resonant frequencies, and
low-frequency passive seismology Geophysics 75,
O1 (2010) Published 20 January 2010 Michael K.
Broadhead11Saudi Aramco, Dhahran, Saudi Arabia.
E-mail michael.broadhead_at_aramco.com. A recent
passive seismic technology in the oil industry,
sometimes referred to as hydrocarbon microtremor
analysis (also low-frequency spectroscopy),
claims high correlation in some instances between
the presence of hydrocarbons and low-frequency
spectral anomalies (elevated spectral energy
levels) computed from passively recorded seismic
data. These observations have been reported for
a number of different geographic locations. One
of the difficulties in assessing this method is
the lack of a physical basis for explaining the
empirically observed effects. A potential
explanation that has appeared in the literature
can be referred to as the resonant amplification
model. The main idea of the model is that,
because of capillary effects, an oil drop in a
rockpore will oscillate at a resonant frequency
when driven by the ambient noise field of the
earth. This resonance phenomenon is interpreted
as a possible source of the spectral anomaly. I
examined this model by numerical simulation but
was unable to reproduce the amplification effect.
I then considered one of the main input
parameters, the resonant frequency itself.
By computing resonant frequencies using
theoretical models from the literature, I found
that the resulting values are too high to
be consistent with the frequency range of
hydrocarbon microtremor analysis. Furthermore, I
found that such resonances only exist for little
or no viscous damping. When realistic damping is
considered, there is no oil-drop resonance
effect. The model, at least in its current form,
does not appear to provide a promising
direction for establishing a physical basis for
hydrocarbon microtremor analysis. 
71
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
Conclusión 4 La función de transferencia, además
de definir una relación de amplitud, define una
relación de fase. Esta función, veremos, es tal
que progresa desde la sincronia hasta la
anti-sincronia (diferencia de pi) a medida que
crece la frecuencia del forzado. En el medio, al
pasar por la frecuencia del oscilador, la fuerza
es proporcional a la velocidad, lo que hace que
la transferencia de energía sea maxima.
72
Fase del forzado en función de los parámetros
físicos.
k5,m1,g0.5
73
Fase del forzado en función de los parámetros
físicos.
F(t)
k5,m1,g0.5
74
Espectro, una función de transferencia. Fase y
amplitud
k30gama2m1
F(t)
75
Espectro, una función de transferencia. Fase y
amplitud
k30gama0.5m1
F(t)
76
Espectro, una función de transferencia. Fase y
amplitud
k30gama0.5m5
F(t)
77
Espectro, una función de transferencia. Fase y
amplitud
k60gama0.5m5
F(t)
78
Espectro, una función de transferencia Fase y
amplitud
k60gama0.5m5
F(t)
DILATACION
ROTACION
79
Espectro, una función de transferencia. Un
producto complejo.
DILATACION
ROTACION
80
Espectro, una función de transferencia compleja.
Conclusión 3 Revisitada Un objeto físico
compuesto por una masa, un resorte y un medio
viscoso (oscilador forzado amortiguado) puede
pensarse como un objeto con una función de
respuesta a una entrada, la multiplicacion por un
numero complejo. Esto resulta en multiplicar la
amplitud por un factor, determinado por A(w) y
cambiar la fase por un fa factor determinado por
fi(w).
81
Un anticipo de Termo  Base molecular de la
pression 
Un muy pequeño resumen del paso de variables
microscópicas (el cambio de momento de cada
partícula) a variables macroscópicas.
82
5 mm
(P. Gillespie, U. of Oregon)
83
Base del sonido frecuencia (otra vez las
oscilaciones)
3 kHz
Frecuencia
300 Hz
Rango auditivo (humano) 20 Hz 20,000
Hz Ballenas y muercielagos hasta 100,000 Hz !!!
84
El verdadero protagonista, visto de cerca y en
soledad.
(source Hudspeth)
85
Manipulando al verdadero protagonista.
Experimentos clasicos de resortes estirados en la
escala molecular.
86
Transduccion mecano-eléctrica.La mecánica se
vuelve corriente. El movimiento se vuelve calcio.

(source Hudspeth)
87
La touffe ciliaire
(No admite, o no encuentro, traducción decente al
español)
(source Hudspeth)
88
LA COCHLEA Detector de aceleraciones
(equilibrio) y de cambios de presion en una banda
de frecuencias (el piano invertido)
89
La voz sonido complejo y las frecuencia puras
una base del sonido. (Idea del Piano)
El espectro visto en el tiempo, cada columna
corresponde a la distribución en frecuencias del
sonido en ese determinado instante (que es un
instante?). Una especie de partitura continua.
90
El piano extendido Un órgano tonotópico,
organizado linealmente en una escala logarítmica
de frecuencias.
91
El piano extendido Un órgano tonotópico,
organizado linealmente en una escala logarítmica
de frecuencias.
92
La luz extendida Otra descomposicion en el
espacio de frecuencias.
93
 Prisma Acustico  Georg von Békésy
(1899-1972) Hermann von Helmholtz (1821-1894)
94
Una visión funcional de un aparato mecánico. Un
resorte amortiguado es un objeto capaz de indicar
la presencia de una dada frecuencia en el mundo
externo.
Conclusión 3 Revisitada Un objeto físico
compuesto por una masa, un resorte y un medio
viscoso (oscilador forzado amortiguado) puede
pensarse como un objeto con una función de
respuesta a una entrada, la multiplicacion por un
numero complejo. Esto resulta en multiplicar la
amplitud por un factor, determinado por A(w) y
cambiar la fase por un fa factor determinado por
fi(w).
95
Una cadena de resonadores afinados a frecuencias
distintas. Espectros poco anchos requiere de un
gran sampleo.
Si suena esta frecuencia, este órgano detector de
sonidos es incapaz de detectarla
96
Una cadena de resonadores afinados a frecuencias
distintas. Espectros demasiado anchos resultan
ambiguos y redundantes.
Estas dos frecuencias son difíciles de distinguir
(si estas curvas además tienen ruido, tal vez
imposible)
97
Una cadena de resonadores afinados a frecuencias
distintas. Espectros que maximizan la información
transmitida.
Optimizando la información que transmite un
órgano detector, tratar de cubrir la integridad
del espacio con el mínimo posible de redundancia.
98
Breve nota La resolución espectral no tiene
porque ser (y de hecho no es) uniforme.
Un órgano mas sensible a las altas que a las
bajas frecuencias. Nótese que en cada frecuencia,
el ancho y la separación entre dos detectores
cavarían cerca de la situación optima.