Tres ingredientes de la mec

1
Un acercamiento a la mecánica por componentes
fundamentales.
2
Tres ingredientes de la mecánica tresLA MASA
La masa Inercia, tendencia a permanecer en el
estado de movimiento actual. Resistividad a la
fuerza. La energía cinética escalea con la masa
manifestando el hecho de que la fuerza necesaria
para modificar la cantidad de movimiento es
proporcional a la masa. La masa también es el
factor de escala de la fuerza de gravedad y por
lo tanto, en presencia de fuerzas gravitatorias
este es también un factor de escala de la energía
potencial.
3
Tres ingredientes de la mecánica tresEL
AMORTIGUADOR
El amortiguador Disipador de energía. Capacidad
de absorción de un medio externo. Se opone
sistemáticamente a la dirección de movimiento
resultando en la consecuente perdida de energía
cinética sin transferir esa energía a un
potencial acumulado. La amortiguación resulta de
las fuerzas viscosas entre el amortiguador y un
medio, correspondientes a un resumen
estadistico de numerosas interacciones
moleculares. La energia que pierde el
amortiguador es absorvida por el medio en formas
no necesariamente mecanicas, por ejemplo, calor.
4
Tres ingredientes de la mecánica tresEL RESORTE

El resorte Fuerza elastica, resistencia al
desplazamiento de manera independiente de la
velocidad con la que se llega a esa posición.
Resistencia al cambio de forma. Un objeto que
ejerce una fuerza proporcional a la posición.
Tiende por lo tanto a restituir el movimiento
hacia el punto de equilibrio y evitar el cambio
de forma. Su estiramiento resulta en una
acumulación de fuerza o carga de energía
potencial.
5
Tres ingredientes de la mecánica tresLA MASA
El resorte Un objeto que ejerce una fuerza
proporcional a la posicion. Tiende por lo tanto
a restituir el movimiento hacia el punto de
equilibrio. Su estiramiento resulta en una
acumulacion de fuerza o carga de energia
potencial.
La masa Inercia, tendencia a permanecer en el
estado de movimiento actual. Resistividad a la
fuerza. También es el factor de escala de la
fuerza de gravedad.
El amortiguador Disipador de energía. Capacidad
de absorción de un medio externo. Se opone
sistemáticamente a la dirección de movimiento
resultando en la consecuente perdida de energía
cinética sin transferir esa energía a un
potencial acumulado.
6
Dinámica de los tres ingredientes en una fuerza
constante LA MASA
0
Un problema conocido, con alguna sutileza.
Notar que la aceleración no es independiente de
la masa
Una masa responde a una fuerza modificando su
velocidad en esa dirección. Esta modificación es
menor a medida que crece la masa.
7
Dinámica de los tres ingredientes en una F
constante AMORTIGUADOR
El amortiguador esta postulado por ahora como
objeto mecánico que por definicion ejerce una
fuerza inversamente proporcional a la velocidad.
Aplicada una fuerza externa F la velocidad
cambia a velocidad infinita dada la ausencia de
la masa. A medida que la velocidad aumenta, el
medio ejerce una fuerza creciente que alcanza un
equilibrio cuando A esta velocidad las dos
fuerzas se cancelan, con lo que no hay fuerzas
resultantes y la velocidad se mantiene constante.
Notese que la fuerza esta ejerciendo trabajo en
permanencia (inyectando energia) para mantener
esta velocidad constante.
8
Dinámica de los tres ingredientes en una fuerza
constante EL RESORTE
El RESORTE esta postulado como objeto mecánico
que por definicion ejerce una fuerza
inversamente proporcional a la distancia.
Aplicada una fuerza externa F la velocidad
cambia a velocidad infinita hasta el infinito
dada la ausencia de la masa. Esto resulta en un
desplazamiento en tiempo cero hasta que la fuerza
ejercida por el resorte, que aumenta con la
distancia, igual a la fuerza externa, lo cual
sucede para la posición Notar que este es un
punto de equilibrio estatico y por lo tanto
la fuerza no inyecta energia al sistema. El
resorte no disipa. La energia entregada por la
fuerza externa durante el desplazamiento
es acumulada en forma de energía potencial
(mecánica) y será nuevamente transformada en
cinética una vez que la fuerza externa
desaparezca.
9
Tres ingredientes de la mecánica tresLa
Fuerza ejercida sobre cada uno.
10
Tres ingredientes de la mecánica tresPOSICION
en fuerza constante.
x
t
La velocidad crece lentamente (derivada continua)
debido a la resistencia de la masa, y por ende la
posición evoluciona cuadraticamente. Esta
velocidad (pendiente) crece arbitrariamente
mientras dure al fuerza (aceleración constante)
11
Tres ingredientes de la mecánica tresPOSICION
en fuerza constante.
x
t
La velocidad crece lentamente (derivada continua)
debido a la resistencia de la masa, y por ende la
posición evoluciona cuadraticamente. Esta
velocidad (pendiente) crece arbitrariamente
mientras dure al fuerza (aceleración constante)
Abruptamente cambia la velocidad (derivada de la
posición) debido a una fuerza que actúa sin
resistencia (masa) y satura a una velocidad
critica.
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Tres ingredientes de la mecánica tresPOSICION
en fuerza constante.
x
t
La velocidad crece lentamente (derivada continua)
debido a la resistencia de la masa, y por ende la
posición evoluciona cuadraticamente. Esta
velocidad (pendiente) crece arbitrariamente
mientras dure al fuerza (aceleración constante)
Abruptamente cambia la velocidad (derivada de la
posición) debido a una fuerza que actúa sin
resistencia (masa) y satura a una velocidad
critica.
Abruptamente cambia la posición, lo cual implica
que la velocidad aumenta repentinamente a
infinito. Esto sucede porque no hay masa que
resista la fuerza ni viscosidad que acote el
crecimiento de la velocidad que, en este
instante, vale infinito.
13
Tres ingredientes de la mecánica tresVELOCIDAD
en fuerza constante.
v
Área F/k
t
La velocidad comienza a crecer abruptamente
(continua, pero con derivada discontinua, dada
por la aceleración) En general, en presencia de
masa, la posición es continua y derivable y la
velocidad continua (pero no necesariamente
derivable)
En ausencia de masa la velocidad crece hasta
llegar al punto en que la fuerza de resistencia
compensa la fuerza ejercida donde se alcanza una
posición de equilibrio.
La velocidad es infinita durante un instante
infinitamente corto, hasta que la posición es tal
que la fuerza elástica compensa la fuerza
ejercida. La integral de la velocidad es la
posición y por lo tanto el área bajo esta curva
es igual a x de equilibrio.
14
Tres ingredientes de la mecánica
tresACELERACION en fuerza constante.
a
t
La aceleración es proporcional a la fuera, según
la ley de Newton (siempre y cuando haya masa). La
aparición súbita de la fuerza genera una
discontinuidad en la aceleración.
La velocidad aumenta con rapidez infinita hasta
llegar al valor de equilibrio. El área bajo la
curva de aceleración corresponde al cambio de
velocidad.
Esta derivada queda libre de imagen
15
Combinando ingredientes fundamentales, hacia una
variedad de mundos posibles.
Un objeto mecánico resultara de una combinación
de uno o varios de estos elementos fundamentales.
Los resortes contribuyen a la deformabilidad o
elasticidad, los amortiguadores a la viscosidad o
disipación y la masa a la inercia.
16
Cómo medir fuerzas, desplazamientos,
velocidades, viscosidades y la física en un mundo
microscópico?
Howard Berg, uno de los padres de la biofísica
moderna. Cómo y porque se mueven las bacterias?
Steven Chu, un prócer experimental (Premio Nobel
1997)
Steven Block. Ideas de Berg y tecnologia de Chu.
La herramienta basica Optical Tweezers. Un pozo
de potencial altamente focalizado
17
Una primera aplicación de esta tecnología
Jugando con E.Coli cual el gato con el ratón.
Block, S.M., Blair, D.F., and Berg, H.C.
"Compliance of bacterial flagella measured with
optical tweezers." Nature 338, 514-517 (1989)
18
Movimiento rígido de una bacteria, de una
proteína o de una placa.
Cómo modelar con los ingredientes mecánicos el
movimiento de una bacteria?
19
Movimiento rígido de una bacteria, de una
proteína o de una placa.
Cómo modelar con los ingredientes mecánicos el
movimiento de una bacteria?
20
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)

La combinación de una masa y un amortiguador
modela el movimiento de un objeto rígido (que no
se deforma) en un medio viscoso. Los tiempos
característicos de este movimiento quedan
determinados por la relación entre la masa y la
viscosidad.
21
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)

F
La ecuación diferencial de Newton
22
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)

F
Una solución general
Ecuacion diferencial de primer orden (v es la
incógnita), se busca una funcion cuya derivada
sea igual a menos ella misma, salvo una constante.
23
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)

F
La constante es necesaria para resolver el
termino de la fuerza constante.
Es la única función igual a un mulitplo de su
derivada salvo una constante multiplicativa
24
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)

F
Resolviendo la forma general propuesta se obtiene
25
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso) La solución Formal
La velocidad vale cero al principio y en un
tiempo critico que es proporcional a la masa e
inversamente proporcional a la viscosidad alcanza
un régimen de velocidad casi constante.
26
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F2220
M1
?1
Velocidad
Posicion
27
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F1
M12220
?1
Velocidad
Posicion
28
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F1
M12220
?1
Velocidad
Posicion
Régimen viscoso
Tiempo critico aumenta con masa
Salto abrupto de velocidad para masa pequeña
Regimen Inercial
29
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F1
M1
?0.250.255
Velocidad
Posicion
30
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F1
M1
?0.250.255
Velocidad
Posicion
Comportamiento Inercial
Comportamiento Viscoso
31
Movimiento rígido de una bacteria, de una
proteína o de una placa.
Cómo modelar con los ingredientes mecánicos el
movimiento de una bacteria?
32
Deformación de un material (tela, proteína) en un
medio
Cómo modelar con los cambios conformacionales de
una proteína.?
33
Deformación de un material (tela, proteína) en un
medio
Cómo modelar con los cambios conformacionales de
una proteína.?
34
Un resorte amortiguado
F
La ecuación diferencial de Newton
35
Un resorte amortiguado
F
La ecuación diferencial de Newton
Expresar la ecuación en función de x y sus
derivadas
36
Un resorte amortiguado
F
Una ecuación conocida?
37
Una curiosa coincidencia. Ecuaciones iguales
F
Resorte es resistencia al desplazamiento, la
viscosidad al cambio del desplazamiento
(velocidad) y la masa al cambio al cambio del
desplazamiento (aceleración). Que este cuento de
la buena pipa termine ahí es un hecho empírico,
establecido por la ecuación de Newton. Las
ecuaciones diferenciales (ordinarias) de primer
orden tienen siempre las mismas soluciones que
estudiamos anteriormente (exponenciales) y
describen la relación entre una variable cuya
tasa de cambio es proporcional a ella misma (o a
menos ella misma).
38
Una curiosa coincidencia. Ecuaciones iguales
F
Reordenando términos de una manera un poco más
compacta y, tal vez, inteligible.
39
Exponenciales exponenciales 1) Decaimiento El
ritmo de crecimiento de X es proporcional a X.
Bacterias en un plato de Cultivo
Patentes de Software
Venta de musica en Itunes
Tres de los infinitos ejemplos de modelos
inflacionarios Cambio de x es proporcional a x
40
Exponenciales exponenciales exponenciales El
ritmo de crecimiento de X es proporcional a -X.

Memoria Icónica
Decaimiento Radioactivo
Reacción enzimática.
Tres de los infinitos ejemplos de modelos
inflacionarios Cambio de x es proporcional a -x
41
La solución Formal de dos problemas exponeciales
de la mecanica.
F
F
42
La solución Formal de dos problemas exponeciales
de la mecanica.
F

• Una solución narrativa (por simulación mental) al
  problema de la deformación en un medio viscoso
• Aplicada una fuerza F la velocidad aumenta, como
  no hay masa esta aumenta infinitamente rápido
  hasta que se llega a la velocidad critica donde
  la amortiguación compensa la fuerza. En este
  régimen la velocidad aumenta linealmente y esta
  seria el fin de la historia si k es igual a cero
  (tiempo critico infinito).
• La velocidad hace que el material se estire con
  lo que la fuerza elástica aumenta oponiéndose al
  desplazamiento. La velocidad disminuye pero se
  mantiene positivo con lo que la fuerza elástica
  sigue aumentando acercándose cada vez mas a
  contrarrestar F Estamos en plena exponencial,
  hemos pasado el tiempo critico, la velocidad
  disminuye cada vez mas sin llegar nunca a ser
  estrictamente cero. La velocidad es pequeña y la
  fuerza elastica domina. En este regimen podemos
  olvidarnos de la amortiguacion.

43
Vibraciones en un medio no viscoso
Cómo modelar un péndulo?
44
Vibraciones en un medio no viscoso
Cómo modelar un péndulo?
45
Vibraciones en un medio no viscoso
Cómo modelar un péndulo?
46
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F
La ecuación diferencial de Newton
47
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F
Simplemente reordenando términos
48
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F
NOVEDAD Esta ecuación relaciona una variable con
su derivada segunda. Será la solución a esta
ecuación tambien una exponencial?
49
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F
Proponemos una solución exponencial y a ver que
pasa
Fijando la fuerza a 0 (por simplicidad)
50
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
Matemática Física
La derivada segunda de una exponencial es
proporcional a ella misma, hasta aquí todo bien.
Sigamos
51
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
Matemática Física
Reemplazamos
Siendo x una funcion generica, no queda otra que
este termino sea 0
52
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
Matemática Física
Reemplazamos
53
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
Matemática Física
Reemplazamos
NOVEDAD La constante de la exponencial es
imaginaria.
54
Exponenciales imaginarias, vueltas, oscilaciones
y decaimientos.
t
Mecánica básica de la función
0
La mecánica de la exponencial es simple, cada vez
que pasa un tiempo T multiplico por 1/e. Así se
entiende que a medida que pasa el tiempo uno se
va aproximando arbitrariamente al cero.
55
Exponenciales imaginarias, vueltas, oscilaciones
y decaimientos.
Las multiplicaciones en el plano complejo
Contracciones y rotaciones.
Conocido 1
22222. (Exponenciacion de 2) 2-4-8-16-32
2N infinito
Conocido 2
(1/2)(1/2)(1/2) (Exponenciacion de
1/2) 1/2-1/4-1/8 1/2N 0
(i)(i)(i) (Exponenciacion de i)??
56
Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las
oscilaciones son exponenciales imaginarias.
Las multiplicaciones en el plano complejo
Contracciones y rotaciones.
Conocido 1
i
22222. (Exponenciacion de 2) 2-4-8-16-32
2N infinito
Conocido 2
1
-1
(1/2)(1/2)(1/2) (Exponenciacion de
1/2) 1/2-1/4-1/8 1/2N 0
(i)(i)(i) (Exponenciacion de i)?? i -1
-i 1 i -1 -i 1 i -1 -i 1 i
-i
57
Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las
oscilaciones son exponenciales imaginarias.
Las multiplicaciones en el plano complejo
Contracciones y rotaciones.
i
En general, una exponencial tiene una componente
real (contracción o dilatación) y una parte
imaginaria (rotación).
1
-1
Rotaciones, oscilaciones. Movimiento periódico.
Cambio en la amplitud o modulo. Amortiguación,
disipación (o amplificación) Perdida del
movimiento
-i
58
Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las
oscilaciones son exponenciales imaginarias.
Las multiplicaciones en el plano complejo
Contracciones y rotaciones.
Hasta ahora hemos visto una u otra proyección, ya
sea movimiento exponencial u oscilatorio. En
general, como veremos en el oscilador
amortiguado, el movimiento se descompone en estas
dos componentes, resultando en un movimiento
espiralado. Según el ritmo (la velocidad) de
rotación y el ritmo de decaimiento se dan
distintos tipos de regimenes donde las
oscilaciones llegan o no a hacerse evidentes..
i
1
-1
-i