El Desarrollo de Algunos Procesos Centrales del Pensamiento Matem

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El Desarrollo de Algunos Procesos Centrales del
Pensamiento Matemático

• Dr. David Benítez Mojica
• Universidad Autónoma de Coahuila
• dbenitez_at_mail.uadec.mx

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• Se puede propiciar el desarrollo del pensamiento
  matemático?
• Cuáles son los procesos centrales del
  pensamiento matemático?
• Cuáles de estos procesos se pueden desarrollar
  en el aula?

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Un poco de Historia

• A finales de los años 50 del siglo XX, la
  enseñanza de las matemáticas sufrió la influencia
  del movimiento denominado aprendizaje
  significativo. Ello dio lugar a una serie
  importante de reformas a la matemática escolar.

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• En la historia se distinguen tres movimientos
  vinculados al aprendizaje significativo
• El movimiento de las matemáticas modernas,
• El regreso a lo básico y
• La resolución de problemas.

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Una alternativa El planteamiento y la resolución
de problemas

• Este movimiento surge a finales de la década de
  los 70 como rechazo a los movimientos anteriores
  de la matemática moderna y del regreso a lo
  básico. La mirada fue puesta de inmediato sobre
  los trabajos de G. Polya.

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 Cuál es la diferencia entre ejercicio y
problema?

• En general consideramos dentro de la categoría de
  ejercicio a toda actividad matemática que se
  puede resolver ya sea sustituyendo simplemente
  nuevos datos en lugar de los de un problema ya
  resuelto, o siguiendo paso a paso, la traza de un
  viejo ejemplo o aplicando una definición o
  algoritmo.
• Mecanización y memoria

• Schoenfeld (1985) sugiere que un problema es una
  actividad intelectual que no puede ser resuelta
  de manera inmediata mediante la aplicación de
  fórmulas o algoritmos.
• Exploración, patrones, conjeturas,etc.

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Un ejemplo de problema

• Alguien me dijo que tablero de ajedrez tiene 204
  cuadrados, es eso cierto?

?
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Ejemplos de ejercicios

• 1. Resolver la Ecuación
• x2 5x 6 0
• 2. Efectuar operaciones con fracciones
• 3. Ejercicios donde se usa la regla de tres.

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Trabajo de G. Polya
Resolución
Entendimiento
Plan
Revisión
Ejecución
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El Trabajo de Schoenfeld
Dimensiones
Heurísticas
Control
Recursos
Creencias
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Qués es una Heurística?

• Las heurísticas son operaciones mentales
  típicamente útiles para resolver problemas,
  podemos considerar tales operaciones como
  estrategias y técnicas para un avance en el
  proceso de solución. Polya (1945), hace alusión a
  las heurísticas por medio de preguntas y
  sugerencias que hace un resolutor ideal.  

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Ejemplos de heurísticas en forma de pregunta

• Podría imaginarse un problema análogo un tanto
  más accesible? Números
• Podría enunciar el problema en forma
  diferente?La derivada de una función
• Podría proponer nuevos problemas relacionados
  con el problema original?
• Los
  números Felices

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Otros ejemplos de estrategias Heurísticas

• Descomponer el problema en subproblemas. Los
  triángulos de Napoleón
• Estudiar casos especiales.
• El problema de la diagonal
• Invertir el problema
• Ceros y Unos
• Relajar las condiciones

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• Schoenfeld en 1992, afirma
• Para aprender matemáticas se deben conocer las
  reglas del lenguaje de las matemáticas es
  importante para lograr la motivación, que los
  estudiantes vayan más allá de la expresión de
  tales reglas. Esta transformación sugiere cambios
  en el contenido curricular y en el estilo
  instruccional que involucran buscar soluciones,
  no sólo memorizar procedimientos explorar
  modelos, no sólo memorizar fórmulas formular
  conjeturas, no sólo hacer ejercicios. (p. 335).

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• MEN (1998), Sugiere
• Para lograr que las metas propuestas sobre la
  resolución de problemas, los estudiantes tienen
  que discutir sus ideas, negociar, especular sobre
  posibles ejemplos y contraejemplos que ayuden a
  confirmar o a desaprobar sus ideas. ( p. 77).

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Algunas habilidades del pensamiento matemático

• Comunicar las ideas matemáticas
• La construcción de conjeturas
• La formulación de contra-ejemplos
• La búsqueda de patrones.
• La exploración.
• Particularización, generalización
• Demostración
• Construcción de modelos matemáticos.

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Qué hacemos con le errores de los estudiantes?

• Pueden los niños de séptimo grado construir
  conjeturas?
• Usar el error como una alternativa didáctica para
  evaluar.
• Conocer las creencias, errores,conflictos
  dificultades y obstáculos que tienen los alumnos
  cuando llegan al aula.
• Construir una secuencia didáctica para que los
  estudiantes superen tales dificultades...\Cabri\fi
  guras\area1.fig

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DIAGNÓSTICO
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TRABAJO
HOJA DE
20
Permitimos la comunicación de las ideas
matemáticas?
21
(No Transcript)
22
(No Transcript)
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• El contra-ejemplo!
• ..\Cabri\figuras\area1.fig

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• Otras habilidades
• ..\Pensamiento\Documentos\Habilidades.doc

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• Habilidad para modelar

26
(No Transcript)
27
(No Transcript)
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• Habilidad para explorar y construir conjeturas,
  para encontrar las variables relevantes de un
  problema, para extender y plantear nuevos
  problemas.

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• En la educación básica es posible desarrollar
  algunos procesos del pensamiento matemático como
  la construcción de conjeturas y contra-ejemplos.
• El desarrollo del pensamiento matemático es
  posible bajo enfoques didácticos que impliquen un
  papel más activo de parte del alumno y un rol
  diferente de parte del profesor.

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• Frente al desarrollo del pensamiento matemático
  los estándares y lineamientos curriculares del
  MEN se quedan muy cortos.
• Es necesario en la didáctica actual proponer un
  equilibrio en la enseñanza de contenidos y
  procesos centrales del pensamiento matemático.

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• La conferencia de hoy es tan sólo un aperitivo y
  es un magnífico pretexto para abrir la discusión
  y la invitación a seguir investigando.
• MUCHAS GRACIAS!

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Números

• Paco tiene la obsesión más extraña con números.
  En los dos últimos años, ha escrito todos los
  números naturales de uno a un millón.
• El número del total de dígitos que Paco escribió
  fue de 5 .888 .896.
• En realidad son 5, 888, 896 los
  dígitos que escribió Paco?
• Ejemplos de heurísticas en forma de pregunta

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Los números Felices

• Cuáles números naturales son felices y cuáles
  no?
• El Número 7 es feliz!
• 72 49
• 42 92 97
• 92 72 130
• 1232 0 10
• 1202 1
  ..\Pensamiento\Software\Numfeli.exe
• 
  Ejemplos de heurísticas en forma de
  pregunta

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Los triángulos de Napoleón

• Existe alguna relación entre las áreas de un
  triángulo dado y los los triángulos de Napoleón
  interno y externo?
• Otros ejemplos de estrategias Heurísticas

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El problema de la diagonal

• En un papel cuadriculado dibuja un rectángulos de
  m por n cuadrados y dibuja su diagonal A cuántos
  cuadrados toca la diagonal?
• Otros ejemplos de estrategias Heurísticas

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La derivada de una función

• Encontrar un fórmula para la n-ésima derivada de
  la función
• Ejemplos de heurísticas en forma de pregunta

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Ceros y Unos

• Imagine una secuencia de ceros y unos .
  010111000, 1001, etc
• A los cuales se lles aplica sucesivamente la
  siguiente función
• Encuentre una manera de determinar si al
  aplicarle sucesivamente la función a una cadena
  de ceros y unos, al final se encuentra un cero o
  un uno.Otros ejemplos de estrategias Heurísticas

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El total de rectángulos

• Cuántos rectángulos hay en una retícula cuadrada
  de nxn cuadrados?

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Los Polinomios
Si P(x) y Q(x) tienen coeficientes "invertidos"
por ejemplo      Qué se puede decir acerca de
las raíces de P(x) y Q(x)?   Aquí los casos
especiales que se pueden trabajar, son
Polinomios bajo las condiciones del problema que
sean factorizables. Caso especial (4)