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CONFERENCIA 7
CIENCIA EN EL RENACIMIENTO SIGLOS XV Y XVI Parte
1 Matemática y Astronomía
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La época de los grandes descubrimientos tiene un
gran foco de iniciativas y realizaciones la
península hispánica. Los portugueses (Díaz)
descubren el Cabo de Buena Esperanza en 1486, y
en 1498 Vasco de Gama llega a Calicut en la
India, después de hacer escala en Sofala, Mobasa
y Melinde
Más tarde, bajo el gran virrey Alburquerque, los
lusos llegan a Malaca y las islas de las Especias
(1511). España también se ilustra en los
descubrimientos primero, patrocinando la empresa
de Cristóbal Colón luego, con los nombres de sus
navegantes, exploradores y conquistadores, uno de
los cuales, Balboa, descubre el mar del Sur y
demuestra la existencia de América en fin, con
el viaje de circunnavegación mundial de
Magallanes-Elcano, realizado entre 1519 y
1522. El signo I corresponde a la línea de
partición del mundo entre españoles y lusos de
1494, que como se ve, no fue respetada ni por los
ingleses ni por los franceses (Caboto y Cartier,
respectivamente, en América del Norte).
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El Renacimiento Fue un movimiento artístico, que
se desarrolló durante el siglo XV, buscando el
renacer del arte griego y romano, consecuente con
una nueva filosofía de vida, encarnada en el
Humanismo, que colocaba al hombre en el centro
del mundo, desplazando de este lugar a Dios, eje
de la vida en la Europa feudal. El Renacimiento
nos acerca por medio de su creación artística
realista, la forma de vida humana del tiempo
histórico de la modernidad. Acontecimientos como
la Reforma protestante y el avance de la ciencia
que permitió ampliar el mundo conocido, forjaron
a un hombre más cuestionador de su ubicación en
el mundo, y eso se expresó en las diversas
manifestaciones científicas y artísticas,
realizada por hombres que buscaban un
reconocimiento terrenal, y no seres anónimos como
en épocas medievales.
Pueden distinguirse en el Renacimiento, dos
períodos el Quattrocento, durante el siglo XV,
que bajo el patrocinio de la familia de los
Médicis, tuvo su lugar estratégico en Florencia,
ciudad rica y bella y el Cinquecento que se
desarrolló principalmente, en Roma y Venecia,
donde lo terreno se apoderó de la inspiración
artística.
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El Quattrocento En esta etapa se vive la
transición entre el arte religioso y el humano,
tomando como base las imágenes bíblicas, pero con
características más terrenales. Datan de este
período las obras arquitectónicas de Felipe
Brunelleschi, que se destacó por la construcción
de la cúpula de la catedral de Florencia.
Sandro Botticelly, La primavera (1481-82)
En escultura, Donatello, esculpió el mármol y el
bronce, David y San Juan El Evangelista,
caracterizados por sus bajo relieves. Andrea del
Verrocchio, fue discípulo de Donatello, a quien
sucedió en el cargo de escultor favorito de los
Médicis. En pintura Sandro Botticelli, pintó el
retrato de Giuliano de Médicis, La adoración de
los magos, La primavera y El nacimiento de
Venus.
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El Cinquecento El volumen de las figuras se
logró con la ayuda del uso del contraste entre
luces y sombras, surgiendoademás imágenes
dispuestas en perspectiva y en forma simétrica.
La figura humana, fue el principal tema de las
obras, para lo cual se profundizó el estudio de
la anatomía, incluyéndose desnudos y figuras con
sensación de movimiento, proponiéndose plasmar el
ideal de belleza de la antigüedad clásica. Fueron
representantes del Cinquecento, Donato di
Bramante, en arquitectura, encargado de construir
la cúpula de la catedral gótica del Duomo, en
Florencia, Miguel Ángel Buonarroti, en escultura
y en pintura, destacándose entre sus obras, la
pintura de la Capilla Sixtina, donde grabó El
Juicio Final, realizando además, el proyecto de
la cúpula de la nueva basílica de San Pedro, y en
escultura La Piedad y el David. El pintor y
arquitecto Rafael Sanzio, Realizó para la Capilla
Sixtina diez tapices, sobre la vida de San Pedro
y de Pablo de Tarso y decoró el interior de la
capilla Chigi en la iglesia romana de Santa Maria
del Popolo. Leonardo Da Vinci, fue arquitecto,
pintor y escultor. En sus pinturas merecen
citarse La Gioconda y La última cena. Brilló
también, como ingeniero, creando canales y
sistemas de riego.
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El desarrollo de los intereses nacionales que
diera origen al nacimiento de los estados. Estos
intereses económicos se reflejaron en el
movimiento de las reformas religiosas (siglo XVI)
que condujo a una flexibilización del control de
la Iglesia sobre el proceso de construcción del
conocimiento.
Bohemia, la región Europa Central dominada en el
siglo XV por el Sacro Imperio Romano Germánico, 
fue el escenario dónde prendieron los
sentimientos nacionalistas que encontraron
expresión religiosa en las protestas de precursor
de la
Jan Hus (c. 1372-1415),
Reforma protestante, contra el poder abusivo de
la Iglesia Católica. En el  Concilio Eclesiástico
que se reunió en la ciudad imperial de Constanza
en 1414, Hus fue declarado hereje y conminado a
retractarse de sus posiciones. El clérigo de
Praga rechazó las ofertas de perdón y fue
condenado a la hoguera.
Un siglo después de la rebelión husita en 1517,
Martín Lutero (1483-1546) publicó sus tesis de
Wittenberg que atacan los abusos de la autoridad
eclesiástica y tres años después publica sus
creencias en la libertad de la conciencia
cristiana, formada sólo por la Biblia, el
sacerdocio de todos los creyentes y una Iglesia
mantenida por el estado. La ruptura de Lutero con
la Iglesia podría haber sido un hecho aislado si
no hubiera sido por la invención de la imprenta
Las contiendas religiosas entre 1550 y 1650
provocaron la destrucción general del continente.
Sin embargo se entrelazaron de forma compleja con
las contiendas políticas, que finalmente fueron
muy importantes en la configuración de las
naciones europeas.
Martín Lutero (1483-1546)
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La técnica de publicación de libros con tipos
móviles de impresión, mediante el
perfeccionamiento de la prensa de imprenta por
Gutenberg  multiplicó las posibilidades de
reproducir el acervo de conocimientos existentes
para una sociedad que ya había aumentado su
producción de material escrito y lo anhelaba
vivamente. La invención de la imprenta representó
además un logro mecánico, fue una de las primeras
máquinas estandarizadas, manufacturada en serie,
y los mismos tipos móviles fueron el primer
ejemplo de piezas del todo estandarizadas e
intercambiables. Hacia finales del siglo XV
habían más de mil imprentas públicas solamente en
Alemania, y en Nuremberg existía un gran negocio
de imprenta con 24 prensas y un centenar de
empleados entre los que se encontraban cajistas,
impresores, encuadernadores y correctores.
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Entre el Renacimiento y el surgimiento de la
matemática moderna (s. XVII), se desarrolló un
periodo de transición en el que se asentaron las
bases de disciplinas como el álgebra, la
trigonometría, los logaritmos o el cálculo
infinitesimal. La figura más importante de este
periodo fue el francés François Viète
(1540-1603). Considerado uno de las padres del
ágebra, desarrolló una notación que combinaba
símbolos con abreviaturas y literales. Es lo que
se conoce como álgebra sincopada, para
distinguirla del álgebra retórica utilizada en la
antiguedad y el álgebra simbólica usada en la
actualidad.
Uno de sus hallazgos más importantes fue
establecer claramente la distinción entre
variable y parámetro, lo que le permitió plantear
familias enteras de ecuaciones con una sola
expresión y así abordar la resolución de
ecuaciones con un alto grado de generalidad, en
lo que se entendió como una aritmética
generalizada. En trigonometría inició el enfoque
analítico, consistente menos en resolver
triángulos y más en encontrar relaciones entre
las funciones trigonométricas. Un ejemplo serían
las reglas de prostafairesis, que permiten
convertir los productos de funciones
trigonométricas en sumas y restas, y que
influirían en el posterior desarrollo de los
logaritmos. Obtuvo, a partir de fórmulas
trigonométricas, la primera expresión exacta de p
como producto infinito
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Los estudios de balística y la solución
algebraica de la ecuación de tercer grado
aparecidos en la obra Nova Scientia, en 1537
representan una original aplicación de los
conocimientos matemáticos más avanzados de la
época al fuego de artillería, y a la descripción
de la trayectoria de los cuerpos en caída libre. 
El autor de estos trabajos, Niccolo Fontana (ca.
1500-1557), más conocido por su apodo de
Tartaglia (en italiano tartamudo), fue víctima de
un sablazo recibido de pequeño durante la
ocupación militar de su ciudad natal, Brescia, 
que le provocó para el resto de su vida graves
dificultades al hablar. No parece rara la
inclinación de Tartaglia por los estudios
balísticos al conocer que en Brescia se está
creando por entonces lo que fuera un fuerte
emplazamiento de la industria de armas.
La obra de Tartaglia sentó un criterio muy agudo
la trayectoria de un proyectil es siempre curva,
y la bala comienza a descender desde el instante
mismo en que abandona la boca del cañón. La
afirmación, opuesta al sentido común que advierte
que a escasa distancia el tiro se sitúa en el
punto de mira, admite la acción de la gravedad
durante todo el recorrido y su demostración acude
al modelo de experimento imaginario que tanto
emplea luego Galilei. 
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 El periodo moderno del álgebra se relaciona con
la obra Ars Magna (1545) escrita por el médico y
matemático italiano Gerolamo Cardano
(1501-1576). La atribulada vida personal de
Cardano contrasta con la extraordinaria
productividad profesional alcanzada en diversos
ámbitos. En 1551 escribe su Opus novum de
proportionibus donde Cardano trata de aplicar
métodos cuantitativos al estudio de la Física, en
particular a la caída libre de los cuerpos.  Es
uno de los primeros en refutar la posibilidad del
movimiento perpetuo excepto en el caso de los
cuerpos celestes y realiza también importantes
contribuciones al campo de la hidrodinámica. En
1552 alcanza como médico celebridad mundial al
recuperar la salud del arzobispo de St. Andrews,
John Hamilton, aquejado de un asma severa que lo
había llevado al borde de la muerte.  
Cardano hace la primera incursión de la historia
en el reino de la teoría de la probabilidad en su
libro Liber de Ludo Aleae, sobre juegos de
azar, probablemente terminado hacia 1563 y
publicado un siglo más tarde. Se acredita a
Cardano la invención del mecanismo de
articulación entre la caja de velocidad y la
barra de transmisión de los autos y la cerradura
de combinación. En 1570, con 69 años de edad fue
encarcelado por el cargo de herejía y acusado de
hacer el horóscopo de Jesucristo y alabar en un
libro a Nerón, torturador de los mártires
cristianos. Tras su liberación, cuatro meses
después, se le vetó para desempeñar un puesto
universitario y para cualquier publicación
posterior de su obra.
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Matemático escocés, nacido en una familia
aristocrática, no era un matemático profesional.
Dedicó gran parte de su vida a inventar sistemas
para contener la invasión de Felipe II de España.
Trabajó durante 20 años en su invención de los
logaritmos antes de publicar sus resultados,
afirmación que permite situar el origen de sus
ideas hacia el año 1594. Neper pensó que todas
las cifras se podían expresar de forma
exponencial, con lo que la multiplicación y
división de números quedaba notablemente
simplificada, sumando o restando sus exponentes.
Otro descubrimiento que pasó desapercibido pero
que tuvo una colosal importancia fue la
transformación de la coma en coma decimal, tal y
como la utilizamos hoy en día.
NEPER John (1550-1617)
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A finales del siglo XVI, Europa Occidental había
recuperado ya, la mayor parte de las obras
matemáticas más importantes de la antigüedad que
se han conservado hasta nuestros días. Por otra
parte, el álgebra árabe, había sido asimilada y
superada, introduciendo un cierto simbolismo y la
trigonometría, se había convertido en una
disciplina independiente. La época estaba ya casi
madura, para llevar a cabo ciertos avances que
superaran las contribuciones tanto antiguas, como
medievales y renacentistas. Pero la transición
del Renacimiento al mundo moderno, se hizo
también a través de un considerable número de
figuras intermedias Galileo, Cavalieri, Neper,
Kepler y Viète entre otros.
Durante el siglo XVII cambió la forma de
existencia de las matemáticas. En sustitución de
los solitarios entusiastas, aparecieron las
organizaciones científicas como las Academias de
Londres y París, comenzando la organización de
las instituciones y sociedades científicas, que
se convirtieron en una forma fructífera de
trabajo en equipo de los científicos. También
comenzaron durante este siglo las publicaciones
periódicas. Sin embargo se produjo un cambio muy
importante en la concepción de las matemáticas,
complementando el estudio de los números y demás
magnitudes constantes, con el estudio de los
movimientos y transformaciones. En este siglo es
cuando tienen comienzo casi todas las disciplinas
matemáticas Geometría Analítica. Métodos
Integrales. Métodos Diferenciales. Análisis
Infinitesimal. Cálculo de Probabilidades.
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El edificio en el que se emplazaría el Instituto
de Francia fue construido entre 1673 y 1677 sobre
diseño del arquitecto Louis Le Vau. Este espacio
estaba destinado a albergar el Colegio de las
Cuatro Naciones. El Instituto, finalmente,
englobaría cinco unidades académicas la Academia
Francesa, la Academia de Inscripciones y Bellas
Letras, la Academia de Ciencias, la Academia de
Bellas Artes y la Academia de Ciencias Morales y
Políticas.
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René Descartes (1596-1650), surgido de su rechazo
a los inútiles métodos escolásticos, le llevó a
dudar metódicamente de todo, hasta que encontró
un punto de partida para él claro y distinto
"Cogito ergo sum", es decir, "Pienso, luego
existo". Expuso su método en el libro El discurso
del método, que contenía. En esta obra Descartes
expuso su gran invención la aplicación del
álgebra a la geometría. De otro modo había
inventado los sistemas de coordenadas (por eso en
su honor hablamos de sistemas de coordenadas
cartesianos) y la posibilidad de expresar las
curvas mediante ecuaciones. Y al revés el
increíble camino de interpretar las ecuaciones
como curvas.
En los trabajos de René Descartes (1596-1650) y
Pierre de Fermat (1601-1655), comenzó a fraguarse
la geometría analítica como un método de
expresión de las relaciones numéricas de las
dimensiones, formas y propiedades de los objetos
geométricos, utilizando esencialmente el método
de coordenadas. La última parte de la famosa obra
de Descartes "Discurso del Método" denominada
"Géometrie", detalla en su comienzo,
instrucciones geométricas para resolver
ecuaciones cuadráticas, centrándose seguidamente
en la aplicación del álgebra a ciertos problemas
geométricos. Analiza también curvas de distintos
órdenes, para terminar en el tercer y último
libro que compone la obra, con la construcción de
la teoría general de ecuaciones, llegando a la
conclusión de que el número de raíces de una
ecuación es igual al grado de la misma, aunque no
pudo demostrarlo. Prácticamente la totalidad de
la Géometrie está dedicada a la interrelación
entre el álgebra y la geometría con ayuda del
sistema de coordenadas.
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Simultáneamente con Descartes, Pierre de Fermat
desarrolló un sistema análogo al de aquél. Las
ideas de la geometría analítica, esto es, la
introducción de coordenadas rectangulares y la
aplicación a la geometría de los métodos
algebraicos, se concentran en una pequeña obra
"Introducción a la teoría de los lugares planos y
espaciales". Aquellos lugares geométricos
representados por rectas o circunferencias se
denominaban planos y los representados por
cónicas, especiales. Fermat abordó a la tarea de
reconstruir los "Lugares Planos" de Apolonio,
describiendo alrededor de 1636, el principio
fundamental de la geometría analítica "siempre
que en una ecuación final aparezcan dos
incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al
describir el extremo de uno de ellos una línea,
recta o curva".
Utilizando la notación de Viète, representó en
primer lugar la ecuación DxB, esto es, una
recta. Posteriormente identificó las expresiones
xyk2 a2x2ky x2y22ax2byc2
a2-x2ky2 con la hipérbola, parábola
circunferencia y elipse respectivamente. Para el
caso de ecuaciones cuadráticas más generales, en
las que aparecen varios términos de segundo
grado, aplicó rotaciones de los ejes con objeto
de reducirlas a los términos anteriores. La
extensión de la geometría analítica al estudio de
los lugares geométricos espaciales, la realizó
por la vía del estudio de la intersección de las
superficies espaciales por planos. Sin embargo,
las coordenadas espaciales también en él están
ausentes y la geometría analítica del espacio
quedó sin culminar. Lo que sí está totalmente
demostrado, es que la introducción del método de
coordenadas deba atribuirse a Fermat y no a
Descartes, sin embargo su obra no ejercio tanta
influencia como la Géometrie de Descartes, debido
a la tardanza de su edición y al engorroso
lenguaje algebraico utilizado
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Métodos Integrales Al comienzo, estos métodos se
elaboraban, acumulaban e independizaban en el
transcurso de la resolución de problemas sobre el
cálculo de volúmenes, áreas, centros de
gravedad... formándose como métodos de
integración definida. El primero de los métodos
publicado fue el de las operaciones directas con
infinitesimales actuales. Apareció en el año 1615
en las obras de Kepler. Para la demostración
matemática de las leyes de Kepler fue necesario
utilizar las magnitudes infinitesimales. Sin
embargo, fue en su obra "Nueva esteriometría de
toneles de vino..." donde expuso su método de
utilización de magnitudes infinitesimales y los
fundamentos para la sumación de estos. Muchos
científicos dedicaron sus trabajos al
perfeccionamiento del lado operativo de esta
empresa, y a la explicación racional de los
conceptos que surgían sobre esto. La mayor fama
la adquirió la geometría de los indivisibles,
creada por Cavalieri, pensado como un método
universal de la geometría. Este método fue creado
para la determinación de las medidas de las
figuras planas y cuerpos, los cuales se
representaban como elementos compuestos de
elementos de dimensión menor. Así, las figuras
constan de segmentos de rectas paralelas y los
cuerpos de planos paralelos. Sin embargo, este
método era incapaz de medir longitudes de curvas,
ya que los correspondientes indivisibles (los
puntos) eran adimensionales. Pese a ello, la
integración definida en forma de cuadraturas
geométricas, adquirió fama en la primera mitad
del siglo XVII, debido a la gran cantidad de
problemas que podían resolver. Las ideas que
incluyen elementos de integración definida
abarcaban hacia los años 60 del siglo XVII
amplias clases de funciones algebraicas y
trigonométricas. Era necesario sólo un impulso,
la consideración total de los métodos desde un
punto de vista único, para cambiar radicalmente
toda la problemática de integración y crear el
cálculo integral.
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La teoría de lo indivisible de Cavalieri,
presentada en su Geometría indivisibilis
continuorum nova de 1635 era un desarrollo del
método exhaustivo de Arquímides incorporado en la
teoría infinitesimal y pequeñas cantidades
geométricas de Kepler. Esta teoría permitió a
Cavalieri encontrar simple y rapidamente el área
y volumen de varias figuras geométricas. El
metodo de lo indivisible no estaba rigurosamente
completo en las bases de su libro, debido a esto
fue duramente criticado. En su replica Cavalieri
mejoró esta publicación en su Exercitaciones
geometricae sex la cual fue la fuente principal
de las matemáticas.
Cavalieri fue responsable de la mayor parte de la
introducción de los logaritmos como una
herramienta computacional en Italia, a través de
su libro Directorium Generale Uranometricum.
Las tablas de logaritmos que él publicó,
incluyeron logaritmos de funciones
trigonométricas para el uso de los
astrónomos. Cavalieri también escribió de las
secciones cónicas, trigonometría, óptica,
astronomía y astrología. El desarrollo una regla
general para el largo focal de los lentes y
describe la reflexión del telescopio. El también
trabajó sobre muchos otros problemas de
movimiento, he incluso publicó un número de
libros de Astrología uno en 1639 y el otro que
fue su último trabajo en 1646 Trattato della
ruota planetaria perpetua.
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Métodos Diferenciales En las matemáticas del
siglo XVII junto a los métodos integrales, se
formaron también los métodos diferenciales, dando
sus primeros pasos en la resolución de problemas.
Tales problemas eran en aquella época de tres
tipos determinación de las tangentes a las
curvas, búsqueda de máximos y mínimos de
funciones y búsqueda de las condiciones de
existencia de raíces múltiples de las ecuaciones
algebráicas. En el transcurso de este siglo los
problemas diferenciales, aun se resolvían por los
métodos más diversos. veamos algunos casos. Ya en
la escuela de Galileo, para la búsqueda de
tangentes y normales a las curvas, se aplicaban
simultáneamente los métodos cinemáticos,
considerando diferentes lanzamientos y
movimientos complejos, determinando la tangente
en cualquier punto de la trayectoria. Torricelli,
admirador de Galileo, estudió las trayectorias
parabólicas que siguen los proyectiles disparados
desde un punto fijo con velocidad inicial
constante, pero con ángulos de elevación sobre la
horizontal variables, descubriendo que la
envolvente de todas esas parábolas era otra
parábola, la llamada parábola de seguridad. Al
pasar de la ecuación de la distancia a la de la
velocidad, ambas en función del tiempo, y
recíprocamente, se dio cuenta Torricelli del
carácter inverso que presentan los problemas de
cuadraturas en determinación de tangentes. Sin
embargo, su muerte repentina a los 39 años,
truncó lo que podía haber sido la invención del
cálculo infinitesimal. La exposición sistemática
del método y sus aplicaciones más importantes las
dio Roberval en 1640. La acumulación de los
métodos del cálculo diferencial adquirió su forma
más clara en Fermat, quien resolvió el problema
de la determinación de los valores extremales de
una función f(x). También está próximo al cálculo
diferencial su método de búsqueda de las
tangentes a las curvas algebraicas, si bien las
funciones estudiadas eran polinómicas. Hacia
mediados del siglo XVII se acumuló una reserva lo
suficientemente grande de recursos de resolución
de problemas, actualmente resolubles mediante le
diferenciación. Sin embargo, no habían sido aun
separados la operación específica de
diferenciación y los conceptos equivalentes a los
de derivada y diferencial. El análisis
matemático se formaba en los dominios y en los
términos del álgebra, la geometría, la mecánica,
formadas ya entonces como ciencias. Así, cada
nuevo cálculo matemático siempre atraviesa un
periodo de formación en los límites del ya
existente sistema de ciencias matemáticas,
utilizando sus recursos.
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Torricelli fue el primero en crear un indicador
de vacío y en descubrir el principio del
barómetro. En el 1643 Torricelli propuso realizar
un experimento, que más tarde fue presentado por
su colega Vicenzo Viviani, el cual demostró que
la presión atmosférica está determinada por la
altura en que un fluido asciende en un tubo
invertido, sobre el mismo liquido. Este concepto
contribuyó en el desarrollo del barómetro.
Torricelli también comprobó que el flujo de un
líquido por una abertura es proporcional a la
raíz cuadrada de la altura del líquido, este
resultado es conocido ahora como el Teorema de
Torricelli. Torricelli fundó el largo del arco
de un cicloide, ( curva formada por un punto en
el radio de un círculo en movimiento).
Tempranamente hizo uso de los métodos
infinitesimales y determinó el punto en el plano
de un triángulo, tal que la suma de sus
distancias de los vértices es la mínima (conocida
como el centro isogónico). Torricelli también
estudió la trayectoria de los proyectiles. Su
único trabajo publicado, Opera Geométrica el año
(1644) incluyeron importantes tópicos de esta
materia. Fue un experto en la construcción de
telescopios. En realidad ganó mucho dinero con su
destreza en este trabajo en el último periodo de
su vida estuvo en Florencia.
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Galileo estudió en la Universidad de Pisa, y
posteriormente se desempeñó como catedrático de
Matemáticas desde 1589 a 1592.  Durante este
tiempo, inició un libro, De motu ("Sobre el
Movimiento"), que nunca publicó, pero que permite
seguir el desarrollo inicial de sus ideas en
relación al movimiento.  Una de las proposiciones
fundamentales de la filosofía aristotélica es que
no hay efecto sin causa.  Aplicada al movimiento
de los cuerpos se puede afirmar que no hay
movimiento sin fuerza. La velocidad, entonces
  es   proporcional  a  la  fuerza  e
 inversamente   proporcional a  la resistencia.
Esta noción  aplicada a los cuerpos que caen,
reconoce al peso como la fuerza que impulsa al
cuerpo hacia abajo y la resistencia es ofrecida
por el aire o el agua. Si el peso determina la
velocidad de la caída, entonces cuando dos
diferentes pesos son lanzados desde una altura
dada el más pesado caerá más rápidamente y el más
ligero más lentamente, en la proporción de los
dos pesos. Galileo es el representante por
excelencia de la corriente que comienza en el
siglo XVI a edificar una nueva ciencia del
movimiento asentada en los experimentos
cuantitativos. Durante las dos décadas siguientes
Galileo refinó los experimentos, cambió sus
ideas, y llegó a establecer la ley de la caída de
los cuerpos.
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Análisis Infinitesimal La aparición del análisis
infinitesimal fue la culminación de un largo
proceso, cuya esencia matemática interna
consistió en la acumulación y asimilación teórica
de los elementos del cálculo diferencial e
integral y la teoría de las series. Para el
desarrollo de este proceso se contaba con el
álgebra las técnicas de cálculo introducción a
las matemáticas variables el método de
coordenadas ideas infinitesimales clásicas,
especialmente de Arquímedes problemas de
cuadraturas búsqueda de tangentes... Las causas
que motivaron este proceso fueron, en primer
término, las exigencias de la mecánica, la
astronomía y la física. En la resolución de
problemas de este género, en la búsqueda de
problemas generales de resolución y en la
creación del análisis infinitesimal tomaron parte
muchos científicos Kepler, Galileo, Cavalieri,
Torricelli, Pascal, Walis, Roberval, Fermat,
Descartes, Barrow, Newton, Leibniz, Euler,... La
última etapa del desarrollo del análisis
infinitesimal, fue el establecimiento de la
relación e inversibilidad mutua entre las
investigaciones diferenciales e integrales, y a
partir de aquí la formación del cálculo
diferencial e integral. Este último surgió como
una parte independiente de las matemáticas, casi
simultáneamente en dos formas diferentes en la
forma de teoría de fluxiones de Newton y bajo la
forma del cálculo de diferenciales de G.W.
Leibniz.
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Pascal trabajó en las secciones cónicas y
desarrolló importantes teoremas en la geometría
proyectiva. En su correspondencia con Fermat dejó
la creación de la Teoría de la Probabilidad.
Pascal inventó la primera calculadora digital
(1642). El aparato llamado Pascaline, se
asemejaba a una calculadora mecánica de los años
1940. Fomentó estudios en geometría,
hidrodinámica e hidroestática y presión
atmosférica, dejó inventos como la jeringa y la
presión hidráulica y el descubrimiento de la Ley
de Presión de Pascal.
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En la transición del pensamiento medieval al del
Renacimiento aparece como un personaje importante
el filósofo Nicolás de Cusa (1401 - 1464),
considerado el padre de la filosofía alemana y
uno de los primeros filósofos de la modernidad. 
En 1444, Cusa se interesa en la astronomía y
elabora ciertas teorías que más tarde serán
aceptadas y otras que aún estar por probar.  En
su lenguaje arropado por una envoltura religiosa
expresa que si Dios representa la unidad y la
infinitud, el mundo también es infinito. Este es
el paso radical a la física moderna si el
Universo es infinito, no tiene fin, se deriva
pues que no existe centro del Universo, la Tierra
no es el centro del Universo, todo es relativo y
no hay un lugar de privilegio en el Universo.
Tampoco hay quietud, sino que todo está en
movimiento, incluido el Sol. En el mismo año de
su muerte el cardenal redacta su De ludo globo,
en el cual, aferrado a la perfección aristotélica
pero interesado en encontrar causas físicas,
explica el movimiento de un cuerpo perfectamente
redondo sobre una superficie perfectamente lisa
como un movimiento continuo y uniforme. La razón
de este comportamiento radica en que la esfera
toca al plano en sólo un punto, reproduciendo
continuamente una posición de desequilibrio que
alienta el ímpetu eterno.  De Cusa lega la noción
que aplicada a los orbes celestiales adoptará
Copérnico. El giro eterno de los orbes, sin
obstáculos, arrastra a los planetas engastados en
ellos.     
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En el siglo XV, el  profesor prusiano de la
Facultad de Artes de la Universidad de Viena,
Johannes Muller Regiomontanus (1436 1476) hizo
importantes contribuciones a la trigonometría y
astronomía.  Su obra De triangulis omnimodis
(1464) en los libros III, IV y V desarrolla la
trigonometría esférica que es por supuesto de
máxima importancia para los estudios
astronómicos. En enero de 1472 hizo observaciones
de un cometa que fueron bastantes precisas para
identificarlo como el cometa estudiado por Halley
en 1682 cuya reaparición pronosticó justamente
para 1758.  El interés de Regiomontanus en el
movimiento de la Luna le permite describir un
método  para determinar distancias entre dos
puntos de la Tierra a partir de la posición de la
Luna en su libro Ephemerides editado en su propia
imprenta por los años 1474-1506. Este libro tuvo
la notable importancia de servir a Américo
Vespucio y Cristóbal Colón para medir distancias
en el Nuevo Mundo.
Sus reflexiones críticas a la teoría lunar de
Ptolomeo, las observaciones que acusaban que el
planeta Marte se encontraba a 2o de la posición
pronosticada,  y la determinación de las
imprecisiones de las Tablas Alfonsinas,
publicadas en Venecia en "Epitoma del Alamagesto"
atrajeron la atención del entonces estudiante de
la Universidad de Bolonia, Nicolás Copérnico
(1473 1543).
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En 1514, Copérnico distribuyó a varios amigos
unas copias manuscritas de un pequeño libro, que
en la página de presentación no incluía el nombre
del autor. Este libro usualmente conocido como
"Pequeño comentario" lanza la visión copernicana
de un universo con el sol como centro en siete
tesis presentadas como axiomas - No hay centro
en el universo - La Tierra no es el centro del
universo. - El centro del universo está próximo
al sol. - La distancia de la Tierra al sol es
imperceptible en comparación con la distancia a
las estrellas. - La rotación de la Tierra
explica la aparente rotación diaria de las
estrellas. - El aparente ciclo anual de
movimientos del sol es causado por la rotación de
la Tierra a su alrededor. - El aparente
movimiento retrógrado de los planetas es causado
por el movimiento de la Tierra desde la cual uno
observa.
El más sobresaliente de los axiomas es 7, porque
aunque sabios anteriores habían supuesto que la
Tierra se mueve, algunos incluso llegaron a
proponer que la Tierra gira alrededor del sol,
nadie antes que Copérnico explicó correctamente
el movimiento retrogrado de los planetas más
externos.
La obra de Copérnico De revolutionibus orbium
caelestium (Sobre las revoluciones de los
cuerpos celestes, 1543), viene a destronar la
teoría de Tolomeo de un Universo egocéntrico,
santificada por una visión idealista del
universo, demostrando que los movimientos
planetarios se pueden explicar si se atribuye al
Sol una posición central. Al establecer un nuevo
marco de referencia dejó intacto la "santidad
circular" de las órbitas planetarias por lo que
tuvo que acudir también a la hipótesis de los 
epiciclos para explicar el movimiento relativo de
los planetas.  Sólo la teoría  de  la
 gravitación  universal  elaborada  por  Newton
 150 años después ofrecería la fundamentación de
la teoría heliocéntrica copernicana
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El napolitano Filippo (Giordano) Bruno (1548 -
1600) ingresó en la orden de los dominicos y
recibió instrucción, donde Tomas Aquino había
enseñado, en la filosofía aristotélica. A los 29
años abandona Nápoles al haber llamado la
atención de las autoridades inquisidoras por sus
tendencias heterodoxas. Durante su residencia en
Londres, en 1584  escribe sus obras "La cena del
miércoles de cenizas"  y  "Sobre el universo
infinito y los mundos". En el primer libro, Bruno
defiende la teoría heliocéntrica de Copernico, y
en el segundo desarrolla la idea de la infinitud
del universo, y sugiere que el universo debe
contener infinitos mundos, muchos de ellos
habitados por seres inteligentes. Seis años
después de la publicación de estos libros al
viajar a Venecia es arrestado por la Inquisición.
En 1592 es enviado a Roma y durante ocho años es
sometido a prisión e interrogatorios periódicos.
Al final Bruno rechazó retractarse siendo
declarado hereje y condenado a la hoguera. Las
actas del juicio y de los cargos que le fueron
imputados se perdieron. De cualquier modo, fue
otro mártir de la ciencia...
Giordano) Bruno (1548 - 1600)
27
Tycho Brahe (1546 1601), propuso un sistema con
un carácter ecléctico entre las ideas del
heliocentrismo y el geocentrismo y pidió a su
discípulo  Johannes Kepler (1571-1630) que
utilizando los resultados de esas observaciones
le confirmara la idea sobre su modelo. Nadie
podrá saber si  Brahe  propuso este modelo  ante
el temor promovido por la suerte corrida por su
contemporáneo Giordano Bruno (1548 1600)
considerado hereje y quemado en la hoguera por
orden del tribunal de la Inquisición. De
cualquier modo, las contribuciones de Tycho Brahe
(1546 -1601) a la Astronomía fueron enormes. A
los 26 años observa una nueva estrella en la
constelación de Casiopea, publicando un breve
informe sobre este acontecimiento ("Sobre la
nueva estrella nunca previamente vista, 1573)
que significó el descubrimiento de la primera
supernova  y puso en duda la filosofía
aristotélica vigente sobre la inmutabilidad de la
región supralunar.
A partir de entonces, Brahe queda convencido de
que el progreso de la Astronomía exigía de
observaciones más precisas del movimiento de los
cuerpos celestes. Con tal propósito construye un
observatorio cerca de Estocolmo, diseña, fabrica,
calibra y chequea periódicamente la precisión de
sus propios instrumentos e instituye las
observaciones nocturnas ("Instrumentos para la
Astronomía renovada", 1598). Pronto este
observatorio se convierte en institución
astronómica de referencia en toda Europa. Brahe
cambia también la propia práctica de observación
cuando no se contenta con apreciar las posiciones
de los cuerpos celestes en ciertas posiciones
importantes  de sus órbitas sino que reporta el
movimiento a través de sus órbitas. El resultado
fue que una serie de anomalías nunca antes
notificadas fueron reportadas por Brahe. Sin
estas series completas de observaciones de
precisión sin precedente, Johannes Kepler (1571 -
1630) no habría descubierto que los planetas se
mueven en órbitas elípticas.
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Cuando Brahe descubre un nuevo punto luminoso
inmóvil en la bóveda celestial, más brillante que
Venus, los astrónomos creían observar un lento
movimiento del astro que demostrara que no era
una estrella y así mantener viva la
invariabilidad del orbe estelar. Fue la ocasión
para que Brahe desarrollara un sextante
gigantesco dotado con un corrector de errores,
mostrando lo que constituiría una especie de
obsesión en su carrera, la búsqueda de la
precisión en las observaciones astronómicas para
derivar cualquier generalización sobre el
movimiento de los astros. Esta posición se
explica en la respuesta dada al joven Kepler
sobre su opinión acerca de su primera   obra
Misterios del Cosmos
que haya razones para que los planetas realicen
sus circuitos, alrededor de un centro u otro, a
distancias distintas de la Tierra o del Sol, no
lo niego. Pero la armonía y proporción de este
arreglo debe ser buscada a posteriori, y no
determinada a priori como vos y Maestlin
queréis. Un año después Kepler era su asistente
principal, y luego al pie de la cama en que su
tutor se le despedía para siempre, parece haber
jurado que contra cualquier obstáculo, y fueron
muchos los que les deparó su vida, sería fiel a
este legado
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La obra de Kepler, se publica en un período que
abarca el final del siglo XVI y las tres primeras
décadas del XVII. En 1597 Kepler  publicó su
primer trabajo importante "Misterio
Cosmográfico". Persigue deducir las órbitas
planetarias, y en este empeño descubre que a
medida que los planetas se alejan del sol su
movimiento se hace más lento. Su aproximación a
la ley de la gravitación universal en el lenguaje
de este siglo se advierte en sus propias
palabras O bien las almas movientes de los
planetas son tanto más débiles cuanto más se
alejan del Sol, o bien hay una sola alma moviente
en el centro de todos los orbes, esto es, en el
Sol, que mueve con más fuerza a los planetas más
próximos a ella y con menos a los más alejados.
Se viene gestando la nueva dinámica celeste que
intenta explicar las causas del movimiento y su
formalización matemática. Brahe recibe su obra y
lo invita a Praga, al advertir su extraordinario
talento matemático, para que calcule nuevas
órbitas a partir del arsenal de observaciones
acumuladas en su observatorio. Los resultados
sobresalientes de esta integración pertenecen al
siguiente siglo.  
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- Primera Ley (1609) Todos los planetas se
desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas
elípticas, estando el Sol situado en uno de los
focos.
- Segunda Ley (1609) El radio vector que une el
planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos
iguales.
Tercera Ley (1618) Para cualquier planeta, el
cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda
en dar una vuelta alrededor del Sol) es
directamente proporcional al cubo de la distancia
media con el Sol.
P es el periodo orbital, r la distancia media del
planeta con el Sol y K la constante de
proporcionalidad.