VALEURS ET VECTEURS PROPRES

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VALEURS ET VECTEURS PROPRES

• Motivation
• diagonaliser une matrice par une transformation
  de similitude
• P -1 A P D
• A ? ?n x n

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Diagonalisation pourquoi ?

• Ak P Dk P -1
• Equations différentielles
• x Ax , x P z
• ? zi ?i zi , i 1, , n
• ...

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Diagonalisation

• A P P D
• ? A pi ?i pi i 1, ... , n
• pi ? 0 !

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Valeurs et vecteurs propres

• A v l v , v ? 0
• (l I - A) v 0 v ? 0
• det (l I - A) 0
• PA ln an-1 ln-1 a0 0
• n racines si l ? ?
• Multiplicité algébrique ma(li)

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Lespace propre est un sous-espace vectoriel

• E(li) (A - li I) v 0
• ? E(li) Ker (A - li I) ? 0
• mg (li) dim E (li) multiplicité
• géométrique
• ma (li) ? mg (li) ? 1

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Opérateurs linéaires

• A E ? E
• A(v) l v
• Exemples A P2 ? P2
• p(x) ?p(x)
• ou
• p(x) ? 2p 2p p(1) x

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Transformations de similitude

• B P -1 A P
• B et A ont les mêmes valeurs propres.
• Ce sont les valeurs propres de lopérateur
  linéaire A
• A est la matrice de A dans une base (e)
• B est la matrice de A dans une base (f)
• P eIf ? vB P-1 vA

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Trucs et ficelles

• tr A l1 l2 ln
• det A l1 l2 ln
• Cayley Hamilton
• Toute matrice annule son polynôme
  caractéristique

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Diagonalisation

• Les espaces propres sont en somme directe
• A est diagonalisable ssi il existe une base de
  vecteurs propres de A
• et
• ?n E(l1) ? E (l2) ? ... ? E (lr)

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Diagonalisation

• P-1 A P D
• A P P D
• A (p1 p2 pn) (p1 p2 pn) D
• La matrice A est diagonalisable ssi il existe
  une base de vecteurs propres et ceux-ci sont les
  colonnes de P (les valeurs propres sont sur la
  diag. de D)

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Et les matrices symétriques ?

• Elles possèdent n valeurs propres réelles (pas
  nécessairement distinctes).
• Elles possèdent n vecteurs propres indépendants
  ? elles sont diagonalisables.
• Il existe des bases orthonormées de vecteurs
  propres
• ? Q t A Q D
• et la réciproque est vraie !

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Les matrices symétriques

• AAt ? ?n x n , l ? ?
• Des vecteurs propres correspondant à de valeurs
  propres distinctes sont orthogonaux
• v1t A v2 l2v1t v2 (A v1) t v2 l1 v1t v2
• Si toutes les valeurs propres sont distinctes, il
  existe une base orthonormée de vecteurs propres
• ? Q t A Q D