Analyse en Composantes Principales A.C.P.

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Analyse en Composantes PrincipalesA.C.P.

• M. Rehailia
• Laboratoire de Mathématiques de lUniversité de
  Saint Etienne (LaMUSE).

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Introduction

• LACP, introduite par K. Pearson et Thurston
  (années 20), est une technique des statistiques
  descriptives destinée à lanalyse des données
  multidimensionnelles.
• Elle permet de réduire la dimension de lespace
  des descripteurs.
• On cherche à réduire le nombre de descripteurs
  (variables) avec le minimum de perte
  dinformation et préservant les relations
  existant déjà avec entre les différents
  descripteurs.

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Position du Problème

• On a observé p variables sur n individus. Dans la
  pratique cela représente un tableau à np entrées
  quil est difficile, voire impossible à lire,
  pour extraire les informations les plus
  pertinentes.
• Exemple artificiel Supposons quon a observé le
  jeu de données suivant

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Exemple (suite)
descrip- -teur Sujet D1 D2 D3 D4
S1 S2 S3 S4 S5 S6 -11 -12 -15 -14 -14,5 -13 -60 -62 -80 -75 -82 -72 110 93 113 94 100 102 40 25 39 25 30 32
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Rappels

• Matrice de variance-covariance mesure la
  liaison entre les différents descripteurs
• S
• où cov(Xi, Xi) Var(Xi).
• Matrice de corrélation même chose que S sauf
  quil sagit dun paramètre sans dimension
• R (Rij)i,j

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Matrice de corrélation
1 0,970 -0,064 0,094
-- 1 -0,102 0,037
-- -- 1 0,986
-- -- -- 1
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Commentaires

• Le tableau 1 est difficile à lire (en
  particulier lorsquon a plusieurs variables et
  sujets).
• Par conséquent les relations entre les différents
  descripteurs sont indécelables à première vue.
• La matrice de corrélation (matrice de liaison
  sans dimension) montre que la variable 1 est
  fortement corrélée avec la variable 2 il en est
  de même pour les variables 3 et 4.

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Comment se fait la réduction de la dimension
tout en préservant les liaisons entre les
différents descripteurs ?

• Les variables de départ sont remplacées par  des
  vecteurs propres  de la matrice S ou de la
  matrice R, appelés Composantes principales.
• Y-a-t-il un critère darrêt ? généralement on
  sarrête quand au moins 75 de la variance est
  expliquée par la variance cumulée par les CP.

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Quest-ce quun vecteur propre ?

• ? est une valeur propre de la matrice A si et
  seulement si Av ?v
• Le vecteur v dans la relation ci-dessus est
  appelé vecteur associé à ?
• Les valeurs propres sobtiennent en résolvant le
  système déquations det(A- ?I) 0.
• Le nombre de valeurs propres, ?1gt gt ?p, est
  égal au nombre de lignes nombre de colonnes de
  la matrice A
• Important La somme des valeurs propres de A est
  égale à la variance contenue dans lensemble des
  données.

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Expression des composantes principales

• Dun point de vue pratique les composantes
  principales sécrivent
• Fj ?1X1. ?pXp
• cest-à-dire que Fj est une combinaison
  linéaire des variables initiales X1, , Xp.
• En plus de cet aspect calculatoire on doit
  pouvoir faire des affirmations sur la qualité de
  la réduction et la qualité de la représentation
  graphique.

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Représentation graphique

• Lorsque les différentes CP ont été trouvées on
  peut représenter les différentes variables et les
  différents individus dans le plan CP1, CP2 comme
  illustré ci-dessous

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Interprétation

• Chaque valeur propre représente la variance prise
  en compte par la composante principale
  correspondante.
• Pour lexemple on obtient
• Ici les deux premières composantes rendent compte
  de 0,50030,4917 0,9920 99,2 de la variance
  totale.
• Ce qui veut dire que les 4 descripteurs peuvent
  être remplacés par les 2 premières composantes
  tout en préservant la quasi-totalité de
  linformation (réduction).

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Résultats des calculs

• Scores des individus il sagit des valeurs
  prises par les composantes principales sur les
  individus.
• Ici

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Résultats (suite I)

• Saturations des variables il sagit des
  coefficients de corrélation entre les variables
  et les composantes principales.
• La première composante est surtout corrélée avec
  les deux derniers descripteurs

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Résultats (suite II)

• Contribution (relative) dun individu à la
  formation dune composante principale
• CTR(sujet 1, CP1)
• Qualité de la représentation
• pour sujet 1 et CP2
• QLT

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Résultats (suite II)

• Qualité de la représentation dune variable à la
  formation dune CP contribution de la première
  variable à la formation de la première composante
  principale
• CTR

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Interprétation

• Scores et saturations ne sont pas exprimés
• dans la même unité de mesure.
• Interpréter chaque axe part de la variance sont
  il rend compte, variables avec lesquelles il est
  corrélé.
• Individus proches de lorigine ils ont peu
  contribué à linertie.
• Interpréter plutôt les oppositions marquées entre
  individus.

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Exemple

• Analyser les données Budget-temps
• (voir feuilles de TD)
• MERCI de votre attention !