Exemple en dynamique de population

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Exemple en dynamique de population

• Q1 Quel est le taux daccroissement de cette
  population ? Est-il constant comme dans toute
  croissance exponentielle ?

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Exemple en dynamique de populaiton

• Q1 Quel est le taux daccroissement de cette
  population ?

t grand
Q2 La structure en âge est-elle stable ?
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Diagonalisation dune matrice exemple
Au bout dun certain temps, le rapport des deux
classes dâge se stabilise
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Diagonalisation dune matrice exemple
Léquation vérifiée par une structure en âge
stable est M N l N M N - l N 0 (M
l I) N 0 Si det non nul alors une solution
unique Si det 0 (matrice non inversible) soit
0 solution, soit une infinité Or N 0 est
forcement solution, donc si on veut des solutions
N non nul, il faut que det (M l I) 0
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Diagonalisation dune matrice exemple
det (M l I) 0
On a deux valeurs possibles l 2 et l -1
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Diagonalisation dune matrice exemple
On a deux valeurs possibles l 2 et l -1
valeur propre
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Diagonalisation dune matrice exemple
Réponse à la question Q1 Que devient cette
population à long terme ?
On écrit le vecteur N0 dans la base des vecteurs
propres N1 et N2 associés aux deux valeurs
propres l1 2 et l2 -1 N0 a N1 b N2
Avec M N1 l1 N1 et M N2 l2 N2
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Diagonalisation dune matrice exemple
Que devient cette population à long terme ?
l1 2 , l2 -1
La plus grande des deux valeurs propres (en
valeur absolue) est le taux daccroissement de la
population la population augmente si ce taux
est gt1
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Diagonalisation dune matrice exemple
Réponse à la question Q2 Structure en âge
stable ? si la population double chaque année (l
2) alors la structure en âge tend à se
stabiliser au bout dun certain temps il y a
4 fois plus dindividus de 1 an que dindividus
de 2 ans.
(Lautre valeur, l -1, na pas de signification
biologique)
Problèmes 3.1 et 3.2 fascicule TT
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Diagonalisation dune matriceRéduction des
endomorphismes

• Généralités
• Une application en génétique

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Un exemple en génétique

• Une espèce autogame diploïde
• Auto-fécondation
• Un gène bi-allélique Aa, AA ou aa
• Quelle est lévolution de la structure génétique
  de cette population à long terme ?

AA (pk) aa (rk) Aa (qk) Aa (qk) Aa (qk)
? ? ?1/4 ?1/2 ?1/4
AA aa AA Aa aa
Cf. Problème 3.3 en TT
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Les équations
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Objectif
On peut associer une application linéaire à la
matrice A f Trouver une base telle que la
matrice de f devienne diagonale
(P matrice de passage)
On dit alors que f est diagonalisable
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Vecteurs et valeurs propres
Théorème f E-gt E est diagonalisable si/si il
existe une base de E formée de vecteurs propres.
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1. Recherche des valeurs propres
Les valeurs propres sont les racines du polynôme
caractéristique
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Retour à lexemple en génétique
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2. Recherche des vecteurs propres
Théorème f est diagonalisable si/si pour chaque
valeur propre li de multiplicité ai , on a dim El
ai .
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Suite de lexemple
A est diagonalisable
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3. Diagonaliser
Rq 1 Les vecteurs propres forment une base. P
est bien une matrice de passage
Rq 2 Lordre des valeurs propres dans D dépend
de celui des vecteurs propres dans P.
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Calculer Ak
On a D P-1 A P, quelques rappels
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Conclusion de lexemple
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Conclusion biologique de lexemple
Que deviennent les fréquences p (AA), q (Aa) et r
(aa) à long terme quand k tend vers linfini ?
Problème 4.2 en TT
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Application en génétique et application en
dynamique de population
EX en dynamique de population l1 est le taux
daccroissement et les vect.p. ni
représentent la structure en âge de la
population, à long terme.
EX en génétique (ou le blé) l1 1 et les
vect.p. représentent les fréquences, à long
terme.
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Produit scalaire et orthogonalité
MathSV chapitre 5
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Le produit scalaire canonique
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Norme
27
Normalisation
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Orthogonalité
(Exercice verifier que la base canonique de IR2
est orthonormée)
29
Projecteur orthogonal
Le vecteur projeté de sur est le vecteur
 
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Distance euclidienne