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METHODES ITERATIVES POUR DES MATRICES SYMETRIQUES
DEFINIES POSITIVES PLUS PROFONDE DESCENTE ET
GRADIENT CONJUGUE
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I-Forme quadratique associée à un système de
matrice s.d.p.
Soit le système Axb où A est une matrice (n,n) à
valeurs réelles, symétrique définie positive.
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Démonstration
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Par extension, on dira (abusivement) que q est
la forme quadratique associée au système Axb
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Etude dans le cas n1
q admet un minimum en x et il est unique.
Ces résultats se généralisent au cas n
quelconque.
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Démonstration en TD
Démonstration en TD
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II-Généralités sur les méthodes de descente
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(No Transcript)
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Démonstration
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Remarques
Egalité utilisée dans la mise en oeuvre des
méthodes de descente
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(No Transcript)
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Démonstration
Ce résultat sera utilisé dans la suite pour
létude de la convergence du gradient conjugué.
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Interprétation géométrique dans le cas n2
Les équations q(x)constante sont celles dune
famille dellipses concentriques autour du point
x .
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III Méthode de la plus profonde descente III-1
Description et programmation
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Algorithme de la méthode de la plus profonde
descente
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Remarque
Cest une itération linéaire dite méthode de
Richardson dont la convergence sera étudiée en
TD.
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III-2 Etude de la convergence a)Conditionnement
dune matrice symétrique définie positive
Pour A s.d.p., les valeurs propres sont
strictement positives .
Si A et B sont 2 matrices s.d.p , A est dit mieux
conditionnée que B si K(A)ltK(B).
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Remarques
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Exemple
Plus le maillage est fin, plus la matrice est mal
conditionnée
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b) Résultats de convergence
Démonstration en TD
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Conséquences du théorème 2
Le nombre ditérations est proportionnel à K(A)
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IV Méthode du gradient conjugué IV-I Description
et programmation
On cherche p(k1)dans le plan engendré par les
vecteurs orthogonaux r(k1) et p(k) sous la forme
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(No Transcript)
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On montre les résultats suivants
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Algorithme de la méthode du gradient conjugué
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IV-2 Résultats de convergence
La méthode du gradient conjugué converge en un
nombre fini de pas au plus égal à n.
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En théorie La méthode du gradient conjugué est
donc une méthode directe comme Gauss.
En pratique En raison des erreurs darrondi, la
convergence nest pas assurée au bout de n pas.
La méthode se programme donc comme une méthode
itérative comme il est fait dans lalgorithme
précédent.
Pour évaluer les performances du gradient
conjugué il est nécessaire de connaître des
informations supplémentaires sur le comportement
de lerreur.
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(No Transcript)
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Remarques
a) La borne derreur na dintérêt que pour k
assez  grand  (donc n  grand ). En effet
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Exemples
Le coût dune itération du gradient conjugué sur
ces 2 matrices est en O(N). On peut alors donner
un tableau comparatif des performances des
méthodes de résolution étudiées depuis le début
de ce cours
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(No Transcript)
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Illustration numérique