Rappel...

1
Rappel...

• Diagonalisation.
• Transformations linéaires.

2
Aujourdhui

• Systèmes dynamiques
• discrets
• continus.
• (valeurs propres complexes)

3
12. Systèmes dynamiques

• Lapproche moderne en théorie de la commande
  utilise la représentation détats.
• Cette méthode fait beaucoup appel à lalgèbre
  linéaire.
• On y étudie, entre autres, la réponse en
  régime permanent.

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Régime permanent
Le régime permanent est analogue au comportement
à long terme dun système xk1 Axk que nous
avons déjà étudié pour le cas où x0 est un
vecteur propre de A. Note systèmes discrets et
continus.
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Systèmes discrets 2 ? 2
Équations aux différences xk1 Axk avec x0
c1v1 c2v2 où v1 et v2 sont les vecteurs propres
de A avec les valeurs propres ?1 et ?2.
6
Systèmes discrets 2 ? 2 (suite)
x1 Ax0 A(c1v1 c2v2 ) c1?1v1 c2 ?2v2 x2
Ax1 A(c1?1v1 c2 ?2v2) c1 (
?1)2v1 c2 ( ?2)2v2 En général xk c1 (
?1)kv1 c2 ( ?2)kv2
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Systèmes discrets n ? n
On peut généraliser le cas 2 ? 2. x0 c1v1
c2v2 cnvn xk c1 ( ?1)kv1 c2 ( ?2)kv2
cn ( ?n)kvn Note on suppose que Spanv1, ,
vn Rn, i.e. v1, , vn sont
linéairement indépendants.
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Description graphique des solutions

• Systèmes 2 ? 2.
• xk1 Axk
• On cherche à savoir ce qui arrive lorsquek ? ?.

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Changement de variables

• Jusquici on a traité du cas (facile) dune
  matrice diagonale. Quarrive-t-il si A nest pas
  une matrice diagonale?

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Changement de variables (suite)

• Soit xk1 Axk
• On définit une autre séquence yk P-1xk,
• i.e. xk Pyk.
• où A PDP-1 (diagonalisation de A).
• Donc, Pyk1 APyk (PDP-1)Pyk PDyk.
• ? P-1 ? yk1 Dyk

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Valeurs propres complexes

• A nest pas diagonalisable dans Rn.
• On peut quand même illustrer le comportement du
  système.

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Systèmes continus

• Équations différentielles.
• Soit le système déquations suivant
• x1 a11x1 a1nxn
• x2 a21x1 a2nxn
• .
• xn an1x1 annxn

x Ax
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Systèmes continus - solutions

• Une solution de ce système est une fonction
  satisfaisant x Ax pour t ? 0, par exemple.
• x Ax est une équation linéaire, car la dérivée
  et les opérations matricielles sont linéaires.

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Linéarité

• Donc, si u et v sont des solutions de x Ax,
  alors cu dv est aussi une solution
• (cu dv)  cu dv
• cAu dAv
• A(cu dv)
• Superposition des solutions.
• 0 est aussi une solution.

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Linéarité (suite)

• On peut dire que lensemble des solutions est un
  sous-espace de lensemble de toutes les fonctions
  continues dans Rn.
• On peut trouver un ensemble de solutions
  fondamentales.
• Si A est n ? n, on a n fonctions linéairement
  indépendantes dans cet ensemble ?base.

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Conditions initiales

• Si on spécifie x0 (conditions initiales), alors
  le problème se ramène à calculer la fonction
  unique
• x Ax et x(0) x0

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Prochain cours...

• Orthogonalité.
• Produit scalaire, module
• Ensembles orthogonaux.