La sym

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La symétrie
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La symétrie
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NON
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NON
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SONOS
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SONOS
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Définitions

• Symétrie (symmetry)
• Du grec (sun) "avec" (metron) "mesure"
• Même étymologie que "commensurable"
• Jusqu'au mi-XIXe symétrie "gauche-droite"
• Transformation, Groupe
• Évariste Galois 1831, 1846.

Symétrie Propriété d'invariance d'un
objet sous une transformation de l'espace.
8
Définitions
Symétrique Invariant par au moins
deux transformations de l'espace.
Asymétrique Invariant par une transformation
de l'espace. Dissymétrique
9
Transformation

• Bijection (dune partie) dun ensemble
  géométrique dans lui-même

M f(M)M

• Transformation affine deux points (P,P) et O
  linéaire

f(M) P O(PM)
P
P
P
f positions O vecteurs
10
Transformation affine
Conserve droites, plans, parallélisme

• Translation O identité
• Homothétie O(PM)k.PM
• Affinité Homothétie une direction
• Isométrie Conserve les distances
• Similitude Conserve les rapports

P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
11
Translation

• Réseaux périodiques infinis

12
Homothétie

• Objets auto-similaires
• Fractals infinis

13
Similitude
Fractals infinis Spirale logarithmique (raebq)
14
Les isométries

• Isométrie de l'espace
• Isométrie O(u) u

• Deux types dopération de symétrie
• Symétries de position
• Agissent sur de points.
• Propriétés microscopiques des cristaux
  (structure électronique)
• Symétries dorientation
• Agissent sur des vecteurs (directions)
• Propriétés macroscopiques des cristaux
  (fonctions de réponse)

• Hélice de pas P
• (a, Pa /2p)

• Translation
• Rotations
• Réflexions

60
E ?

• Rotations
• Réflexions

15
Symétrie dorientation - 2D

• Transformation linéaire
• O(u) u

• Dans le plan (2D)

• Rotations

• Symétries orthogonales
• (réflexions par rapport à une droite)

q
q/2

• Déterminant -1
• Valeurs propres -1, 1

• Déterminant 1
• Valeurs propres eiq, e-iq

16
Symétrie dorientation - 3D

• O(u) l u
• Valeurs propres l 1
• l équation 3e degré à coefficients réels
• 1, eiq, e-iq (dét. 1)

• Dans lespace (3D)

• dét. 1
• Symétrie directes

• dét. -1
• Symétrie indirectes

Rotations
Réflexions rotatoires
a) Rotation dangle q b) Réflexion rotatoire q
q
q
c) Inversion (p) d) Inversion rotatoire (pq ) c)
Réflexion (0)
q
17
Projection stéréographique

• Représentation des directions
• Conservation des angles sur la sphère

N
N
Direction OM
M
O
P
P
P
M
P
P, projection de OM Intersection de SM et
léquateur
S

• Transformation conforme (conserve les angles)
  mais pas affine

18
Les opérations de symétrie principales

• Conventionnellement
• Rotations (An)
• Réflexions (M)
• Linversion (C)
• Inversions rotatoires (An)

• Directes
• Rotation An dordre n (2p/n)
• Représentée par un polygone de même sym.

_
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A2 vertical
A2 horizontal
A5
A3
A4

• Indirectes
• Réflexions rotatoires (An)
• Réflexion (M)
• Inversion (C)
• Inversions rotatoires (An)

• Élément de symétrie
• Ensemble des points invariants

_
.
.
.
.
.
.
.
.
.
M horizontal
M vertical
M de biais
A4
Inversion
19
Composition de symétries

• Produit de deux réflexions faisant un angle a
  rotation 2a

M
2a
MMA
M
a

• Construction dEuler

• Produit de deux rotations
• rotation

AN2AN1AN3

• Ne donne pas de relations entre N1, N2 et N3

20
Les groupes ponctuels définition

• Lensembles des éléments de symétrie dun objet
• muni de la loi de composition des symétries
• possède une structure de groupe G
• Si A et B à G, AB à G (ensemble est fermé)
• La loi produit est associative (AB)CA(BC)
• Il existe un élément neutre E (rotation d ordre
  1)
• Chaque élément A à un inverse A-1
• Pas de commutativité en général (rotation 3D)

1
2
?
2
1

• Exemple groupe de symétrie dune table
  rectangulaire 2mm

Mx
My
A2
2mm

• Multiplicité du groupe nombre déléments

21
Composition de rotations
Contraintes
AN2
AN3
AN1
p/N2
p/N1
234
Triangle sphérique, vérifie linégalité
22N (N qcq), 233, 234, 235 Groupes diédraux
Groupes multiaxiaux
22
Les groupes ponctuels


...
Orthorhombique
Groupes limites
Monoclinique
de Curie
Triclinique
Tétragonal
Hexagonal
Trigonal
Cubique

• Classés par
• degré de symétrie
• Groupes limites de Curie
• Chiraux, propres
• Impropres
• Centrosymétriques

A
n

3
4
6
2
1
A
A
n
2
32
422
622
222

2
_
A
n
_
_
_
_
_
3
4
63/m
2m
1

/m
A
/M
n
4/m
6/m
2/m
A
M
n
3m
4mm
6mm
2mm

m
_
A
M
n
_
_
_
_
_
3m
42m (4m2)
62m (6m2)

/mm
A
/MM
n
4/
mmm
6/
mmm
mmm
A
A
n
n
432
23



_
A
A
n
n
_
_
_
m3
43m
m3m


/m
/m
23
Les groupes multiaxiaux
532
23
432
_
_
_
_
_
m3
43m
m3m
53m
Icosaèdre
Tétraèdre
Octaèdre
Cube
Dodécaèdre
24
Groupes ponctuels Notations

• Hermann-Mauguin
• (Notations internationales)
• Donne les éléments générateurs du groupe (pas le
  mini.)
• Notion de direction de symétrie
• Direction dune réflexion ( _ ) normale au
  plan de réflexion

Direction primaire de plus haute symétrie
Direction secondaire de degré inférieur
4 2 2
4
Notation réduite
m
m
m
m
m
m
Direction tertiaire de degré inférieur

• Schönflies Cn, Dn, Dnh

25
Les 7 groupes limites de Pierre Curie
Cône tournant
Vecteur axial polaire
Cylindre tordu
Tenseur axial dordre 2
Cylindre tournant
Vecteur axial (H)
Cône
Vecteur polaire (E, F)
Cylindre
Tenseur polaire dordre 2 (susceptibilité)
Sphère tournante
Scalaire axial (chiralité)
Sphère
Scalaire polaire (pression, masse)