Teor

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Teoría de Sistemas

• Antonio Pérez C.

2
Introducción

• Qué es una señal?
• Una señal es una función de una o más variables
  físicas que contiene información acerca del
  comportamiento o la naturaleza de algún fenómeno.
• Ejemplos de señales
• Los voltajes en circuitos eléctricos
• Nuestra voz
• Las imágenes
• El índice Dow Jones semanal

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Señales
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Señales
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Introducción

• Propiedades de las señales para su clasificación
• Continuas Se definen para todo tiempo t.
• Periódicas Aquellas que verifican xp(t)
  xp(tnT),
• donde T es el periodo y n es un entero.
• Causales Son 0 para tlt0.
• Se definen sólo para el eje positivo de t.
• Anticausales Son 0 para tgt0.
• Se definen sólo para el eje negativo de t.
• No causales Se definen para todo el eje de t.

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Introducción

• Tipos de señales
• Señales Continuas y Discretas
• Una señal x(t) es una señal continua si está
  definida para todo el tiempo t. Una señal
  discreta es una secuencia de números, denotada
  comúnmente como xn, donde n es un número
  entero. Una señal discreta se puede obtener al
  muestrear una señal continua.

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Introducción

• Transformaciones de variable independiente
• - Corrimiento en el Tiempo.
• - Inversión en el Tiempo.
• - Escalamiento en el Tiempo.

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Transformaciones de variable independiente

• Corrimiento en el Tiempo.
• S. Continuas
• señal retardada.
• señal adelantada.
• S. Discretas
• señal retardada.
• señal adelantada.

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Transformaciones de variable independiente

• Corrimiento en el tiempo
• Retraso y(t) x(t-t0), la forma de onda
• se corre a la derecha
• Adelanto y(t) x(tt0), la forma de onda
• se corre a la izquierda.

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Transformaciones de variable independiente
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Transformaciones de variable independiente
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Transformaciones de variable independiente
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Transformaciones de variable independiente

• Inversión en el Tiempo.
• S. Continuas
• S. Discretas
• La señal invertida se obtiene a partir de la
  señal original

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Transformaciones de variable independiente

• Reflexión
• Inversión en el tiempo de x(t) x(-t)
• Cambios lineales de escala en la variable
  independiente

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Transformaciones de variable independiente
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Transformaciones de variable independiente

• Escalamiento en el Tiempo.
• Si produce un alargamiento.
• Si Produce una compresión.
• Si Invierte en el Tiempo.

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Transformaciones de variable independiente

• Compresión en el tiempo de x(t) x(2t)
• Dilatación en el tiempo de x(t) x(t/2)

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Transformaciones de variable independiente

• Efectos de las transformaciones.
• Calcule

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Transformaciones de variable independiente

• Efectos de las transformaciones.
• Si alt1 expansión
• Si agt1 compresión
• Si alt0 inversión en el tiempo
• Si ß ? 0 desplazamiento en el tiempo
• Reglas
• Primero Desplazar de acuerdo a ß
• Segundo Escalar de acuerdo a a

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Características de las señalesSeñales Periódicas

• Una señal periódica tiene la característica de
  que hay un valor positivo T, para el cual
• No cambia para un corrimiento en el tiempo T
• Entonces decimos que x(t) es periódica con
  periodo T

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Señales Periódica
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Señales Periódica
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Características de las señalesSimetría

• La señal xp(t) es par si xp(t) xp(-t) (simetría
  c/r eje y).
• La señal xi(t) es impar si xi(t) -xi(-t)
  (antisimetría c/r eje y).

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Características de las señalesSimetría

• Toda señal x(t) puede ser descompuesta en una
  señal
• par xp(t) y una impar xi(t), tal que
• x(t) xp(t) xi(t), donde,

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Tipos de señales (Reales vsComplejas)

• Real
• Señal que sólo cotiene una parte real (La
• parte imaginaria es cero, x(t) x1(t)
• Compleja
• Señal que tiene partes real e imaginaria
• X(t) x1(t) jx2(t)

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Índices de Señales

• Son valores numéricos que tratan de describir una
  característica de la señal. Entre los más
  utilizados están

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Señales de Prueba

• Las señales de prueba se utilizan para
  caracterizar los sistemas. La señal se aplica a
  la entrada de éstos para estudiar la respuesta en
  el plano del tiempo como en el de la frecuencia.
• A continuación se introducirán las señales más
  utilizadas en las distintas disciplinas de la
  ingeniería.

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Impulso

• El impulso d(t) es una función continua
  inventada para apoyar el análisis de sistemas
  lineales. Hay tres formas de definirla.
• El impulso d(t) es una función de valor no nulo
  en t 0 y de área unitaria matemáticamente,

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Impulso

• El impulso d(t) es una función definida en
  función de la función auxiliar dT(t) como,
• El impulso d(t) es una función definida en
  función de sus valores instantáneos como,

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Impulso
Señales de prueba a) impulso, b) función
auxiliar dT(t).
31
Señales básicas

• Impulso unitario de tiempo discreto

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Escalón

• El escalón u(t) es una función continua cuya
  definición se ajusta a la percepción intuitiva de
  ésta. Hay también tres formas de definirla éstas
  son,
• El escalón u(t) se puede definir mediante una
  integral como

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Escalón

• El escalón u(t) se puede definir mediante una
  función auxiliar como
• El escalón u(t) se puede definir por partes como

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Escalón
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Señales básicas

• Escalón unitario discreto

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Rampa

• La rampa r(t) es una función continua que se
  obtiene integrando el escalón. Sin embargo, otras
  definiciones también son válidas. Estas son,
• La rampa r(t) se puede definir mediante una
  integral como,

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Rampa

• La rampa r(t) se puede definir por partes como
• La rampa r(t) se puede definir alternativamente
  como

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Rampa
39
Relaciones
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Exponencial

• La función exponencial se expresa como,
• Dependiendo del valor que posea el parámetro b es
  posible tener, Con b 0
• Con b ? 0

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Exponencial Real
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Exponencial Compleja
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Señales básicas

• Señal exponencial compleja de tiempo
• discreto

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Señales básicas

• Señal senoidal continua
• Señal senoidal discreta

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Señales básicas

• Señal exponencial real de tiempo Discreto
• Caso 0ltrlt1 Decaimiento exponencial
• Caso rgt1 Crecimiento exponencial

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Introducción a los sistemas

• Sistema Es una entidad que manipula
• una o más señales para llevar a cabo
• una función, produciendo de ese modo
• nuevas señales.

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Conexión entre sistemas

• Interconexión en serie
• Interconexión en paralelo

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• Interconexión en serie-paralelo
• Ejemplo Combinación de dos señales
• de audio, una con amp. y otra sin amp.

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• Interconexión con retroalimentación
• Ejemplo Control de velocidad de un
• vehículo

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Representación de sistemas

• Sistemas de control
• El control es empleado en la aplicación de
• señales y sistemas en la industria
• Objetivos Respuesta satisfactoria, desempeño
  robusto.

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Propiedades de los sistemas

• Sistemas con y sin memoria.
• Invertibilidad y sistemas inversos.
• Causalidad.
• Estabilidad.
• Invariancia en el Tiempo.
• Linealidad.

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Propiedades de los sistemas

• Memoria
• Con memoria si la salida depende de entradas
  pasadas (y futuras).
• ejemplos Capacitor, bobina, acumulador, etc.
• Sin memoria si solo depende de la entrada
• presente.
• Ejemplo Resistor, Elevador al cuadrado

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Propiedades de los sistemas

• Invertibilidad
• Invertible si la entrada del sistema puede
• recuperarse de la salida del sistema.
• I es el operador identidad
• H-1 es el inverso del operador H

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Propiedades de los sistemas

• Causalidad
• Causal si la salida presente depende de los
• valores presente y/o pasado de la señal de
  entrada.
• No causal si la salida presente depende de
• los valores futuros de la señal de entrada.

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Propiedades de los sistemas

• Estabilidad
• Es estable si a una entrada acotada,
• genera una salida acotada, en otras palabras,
  su salida no diverge si su entrada no diverge.

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Propiedades de los sistemas

• Invariancia en el tiempo
• Las características de entrada y salida del
  sistema no cambian con el tiempo
• Al aplicar una entrada desplazada en el tiempo
  (retraso o adelanto) al sistema, se produce una
  salida con el mismo desplazamiento
• Cuando no se cumple el comportamiento anterior,
  el sistema es variante en el tiempo

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Propiedades de los sistemas

• Linealidad
• Un sistema es lineal si satisface el principio
• de superposición.
• Si una entrada consiste en la suma ponderada de
  varias señales, entonces la salida es simplemente
  la superposición (es decir, la suma ponderada de
  las respuestas del sistema a cada una de estas
  señales.

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Ecuaciones de Estado ... Cont.

• Sistema

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Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI)

• A los sistemas que son lineales y al mismo tiempo
  invariantes en el tiempo nos referiremos a ellos
  como sistemas LTI (Linear Time-Invariant) o SLTI.
• Como los sistemas LTI son subconjuntos de los
  sistemas lineales, estos obedecen al principio de
  superposición

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Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI)

• El principio de superposición aplicadado a un
  sistema LTI

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Sistemas LTI en Series

• Si dos o mas sistemas están en serie uno con
  otro, el orden puede ser intercambiado sin que se
  vea afectada la salida del sistema. Los sistemas
  en series también son llamados como sistemas en
  cascada
• El orden de los sistemas LTI en cascada pueden
  ser intercambiado sin verse afectado el
  resultado.

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Sistemas LTI en Paralelo

• Si dos o mas sistemas LTI están en paralelo con
  otro, un sistema equivalente es aquel que esta
  definido como la suma de estos sistemas
  individuales.
• Los sistemas de paralelo pueden ser resumidos en
  la suma de los sistemas.

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Sistemas LTI

• Los SLIT son sistemas que cumplen con los
  propiedad de superposición , entonces podemos
  representar este sistema como una combinación
  lineal de un conjunto de señales básicas,
  entonces podemos utilizar la superposición para
  calcular la salida del sistema en términos de sus
  respuestas básicas.

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Representación de señales Discretas en términos
de impulsos
La señal xn puede representarse como una
combinación lineal de impulsos unitarios
desplazados
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(No Transcript)
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Representación de señales Discretas en términos
de impulsos
Para cualquier valor de n, solo uno de los
términos del miembro derecho de la ecuación es
diferente de cero, y el escalamiento asociado
con ese termino es precisamente el valor de xn.
67
Representación de señales Discretas en términos
de impulsos

• Al escribir la sumatoria de una forma mas
  compacta, tenemos
• A esta ecuación se llama propiedad de
  selección del impulso unitario discreto

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Respuesta al impulso unitario y la representación
de la suma de convolución de SLIT
Si designamos como la respuesta del sistema
lineal al impulso unitario desplazado
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Al resultado anterior se le conoce como la
suma de convolución o suma de superposición y a
la operación del lado derecho de la ecuación se
le llama convolución de las secuencias xn y
hn. Representaremos la operación convolución de
manera simbólica como
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(No Transcript)
71
Convolución

• La convolución nos ayuda a determinar el efecto
  que tiene el sistema en la señal de entrada.
• Conociendo como un sistema afecta un impulso
  simple, y entendiendo la manera en que una señal
  es abarcada por impulsos escaldos y sumados, es
  razonable pensarque sea posible escalar y sumar
  la respuesta al impulso a un sistema en para
  poder determinar que señal de salida resultara de
  una entrada en particular.
• La convolución determina la salida del sistema
  por medio conocimiento de la entrada y la
  respuesta al impulso del sistema.

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Integral de Convolución

• La integral de convolución nos da una manera
  matemática fácil de expresar la salida de un
  sistema LTI basado en una señal arbitraria, x(t)
  ,y la respuesta al impulso, h(t)

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Concepto y Definición Convolución

• Mediante la convolución calcularemos la
  respuesta de un sistema (y(t)) a una entrada
  arbitraria (x(t)).
• Dos condiciones para realizar la convolución
• Sistema LTI.
• La respuesta al impulso del sistema es h(t).
• Basándonos en el principio de superposición y en
  que el sistema es invariante en el tiempo

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• Una señal arbitraria de entrada x(t) puede
  expresarse como un tren infinito de impulsos.
  Para ello, dividimos x(t) en tiras
• rectangulares de anchura ts y altura x(k ts).
  Cada tira la reemplazamos por un impulso cuya
  amplitud es el área de la tira

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(No Transcript)
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• La función xs(t) que aproxima x(t) es
• x(t) es el límite cuando ts ? d? ? 0, k ts ? ?
  

77

• Y aplicando el principio de superposición

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• Mediante convolución hemos sido capaces de
  determinar la respuesta del sistema a una señal
  de entrada a partir de la respuesta del sistema a
  una entrada impulso.
• La función h(t) se define para t ?0 y decrece
  cuando t?? para la mayoría de los sistemas
  físicos. Por tanto,
• La respuesta en t0 depende de los valores actual
  y pasados de la entrada y de la respuesta al
  impulso.
• Los valores más recientes de x(t) son
  multiplicados por sus
• correspondientes más antiguos (y más grandes)
  valores de h(t).

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• Convolucion discreta

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(No Transcript)
81
(No Transcript)
82
(No Transcript)
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Introducción .... Cont.

• Ventajas del uso de la Técnica de Variables de
  Estado.
• La formulación mediante variables de estados es
  natural y conveniente para soluciones por
  computador.
• Permite representación unificada de sistemas.
• Permite representación unificada de sistemas de
  una o múltiples variables.
• Aplicable a sistemas invariantes en el tiempo.

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Introducción .... Cont.

• Sistema Contínuo
• Ecuaciones de Estado Conjunto de ecuaciones
  diferenciales de primer orden.
• Sistema Discreto
• Ecuaciones de Estado Conjunto de ecuaciones de
  diferencias de primer orden

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Ecuaciones de Estado

• Sea un sistema contínuo de
• p entradas
• q salidas.
• Caracterizado completamente por n ecuaciones de
  primer orden.
• Es decir.

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Ecuaciones de Estado ... Cont.

dx1(t)
f1x1(t), x2(t), ...xi(t), .. xn(t), u1(t),
..., up(t), t)

dt
. .
dxi(t)
f1x1(t), x2(t), ...xi(t), .. xn(t), u1(t),
..., up(t), t)

dt
. .
dxn(t)
f1x1(t), x2(t), ...xi(t), .. xn(t), u1(t),
..., up(t), t)

dt
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Ecuaciones de Estado ... Cont.

• De aquí.
• x1(t),...,xi(t),...,xn(t) Variables de Estado.
• u1(t),...,xi(t),...,xn(t) Variables de Entrada.
• fi función relacional (lineal o no-lineal)

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Ecuaciones de Estado ... Cont..
u1 u2 . . up
y1 y2 . . uq
Sistema Lineal x1,...,xi,...,xn
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Ecuaciones de Estado ... Cont.

• Así,

g1x1(t), x2(t), ...xi(t), .. xn(t), u1(t),
..., up(t), t)

yi(t)
En términos generales. Ecuación de Estados
dX(t)
fX(t), U(t), t)

dt
Ecuación de Salida.
gX(t), U(t), t)

Y(t)
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Ecuaciones de Estado ... Cont.
x1(t) x2(t) xn(t)

• X(t) Vector de Estados.
• U(t) Vector de Entrada.
• Y(t) Vector de Salida.

u1(t) u2(t) up(t)
y1(t) y2(t) yq(t)
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Ecuaciones de Estado ... Cont.

• Para un Sistema Lineal.

.
X(t) AX(t) BU(t) Y(t) CY(t) DU(t)
Si A A(t), BB(t), CC(t), DD(t) Entonces se
dice que el sistema es variante en el tiempo.