Teor

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Teoría de Errores

• Topografía

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Introducción

• En la vida cotidiana la mayoría de las personas
  están acostumbradas a contar, pero no así a
  realizar mediciones.
• La cantidad de personas presentes en este salón
  son p. e. 23, 33, 36 y no 32.9
• La topografía se encarga de medir cantidades cuyo
  valor exacto o verdadero no se puede determinar,
  como el caso de distancias, elevaciones,
  volúmenes.

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Principio fundamental de la topografía

• Ninguna medición es exacta y nunca se conoce el
  valor verdadero de la cantidad que se mide.

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• Aunque nunca se conocer el valor exacto de una
  cantidad que se mide, podemos saber de forma
  exacta cual debe ser la suma de un grupo de
  mediciones, p. e. la suma de los 3 ángulos
  internos de un triángulo debe ser igual a 180º, y
  la suma de los 4 ángulos internos de un
  rectángulo debe ser 360º y así sucesivamente.

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• Sin embargo, se debe tener habilidad para
  ejecutar mediciones precisas, esto resulta obvio
  cuando pensamos en largos puentes, túneles,
  edificios altos, etc. pero también es necesario
  la precisión en los levantamientos topográficos.

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Exactitud y Precisión

• Exactitud, se refiere al grado de perfección que
  se obtiene en las mediciones. Representa que tan
  cerca se encuentra una medición determinada del
  valor verdadero.
• Precisión, es el grado de refinamiento con el que
  se mide una determinada cantidad, es la cercanía
  de una medida a otra, si se mide una cantidad y
  los valores son muy cercanos entre sí, la
  precisión es alta.

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Errores y Equivocaciones

• No existe persona que tenga los sentidos tan
  desarrollados para medir cantidades de forma
  exacta y tampoco instrumentos con los cuales
  lograrlo, en consecuencia, todas las mediciones
  son imperfectas.
• De esta forma, las diferencias entre las
  cantidades medidas y sus magnitudes verdaderas se
  conocen como errores o equivocaciones.

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• Equivocaciones, es una diferencia con respecto al
  valor verdadero, causada por la falta de
  atención, pero puede eliminarse haciendo una
  revisión cuidadosa.
• Error, es una diferencia respecto al valor
  verdadero, ocasionado por la imperfección de los
  sentidos de las personas, de los instrumentos
  usados o por efectos climáticos.

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Fuentes de error

• Las personas
• Los sentidos no son perfectos
• Instrumentos
• Los instrumentos no son perfectos
• Naturales
• Ocasionados por cambios de temperatura, viento y
  humedad

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Clasificación de los errores

• Errores groseros
• Producto de la falta de concentración del
  operador del equipo.
• Errores sistemáticos
• Producto de la presencia de errores físicos o
  matemáticos, siempre se conoce su influencia, por
  lo general son pequeños.
• Errores aleatorios o accidentales
• Obedecen a la falta de perfección de los
  elementos que conforman los instrumentos.

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Tipos de errores accidentales

• Error verdadero (Ei)
• Representa la diferencia entre el valor
  verdadero y el error medido.
• Ei x li
• X Valor verdadero
• li Medición

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• Valor más probable ( )
• Se define como la medida entre varias mediciones

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• Error aparente (?i)
• Representa la diferencia entre el valor más
  probable de un grupo de mediciones y la medida en
  sí. Es el residuo de una observación individual
  (grado en que se desvía o aparta del promedio la
  cantidad).
• ?i - li
• Si se tiene l1, l2, l3, l4, l5
• El valor más probable
• ?1 - l1 Error aparente de la primera medición
• ?2 - l2 Error aparente de la segunda medición
• ?3 - l3 Error aparente de la tercera medición
• ?4 - l4 Error aparente de la cuarta medición

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Ejercicio

• Calcular el error aparente de las siguientes
  mediciones .

l110,20m l210,30m
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• Error estándar (s) y varianza (s2)
• Son términos estadísticos que se emplean para
  expresar la precisión de un grupos de medidas. La
  ecuación de la desviación estándar es

s es la desviación estándar error aparente
es la suma de los cuadrados de los residuos
individuales n es el número de observaciones
La varianza es igual a s2, el cuadrado de la
desviación estándar.
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• En topografía se considera a toda desviación
  como un error, y por ello normalmente se usa la
  expresión error estándar en vez de desviación
  estándar

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Interpretación del error estándar

• El error estándar establece los límites dentro
  de los cuales debe esperarse que caigan las
  mediciones 68.27 de las veces. En otras
  palabras, si se repitió 10 veces una medición,
  debería esperarse que aproximadamente 7 de los
  resultados queden dentro de los límites
  establecidos por el error estándar y 3 de ellos
  caerían fuera de dichos límites. Otra
  interpretación es que una medición adicional
  tendría 68.27 de probabilidad de caer dentro de
  los límites establecidos por el error estándar.
  Una tercera deducción es que el valor real o
  verdadero tiene 68.27 de probabilidades de caer
  dentro de los límites del error estándar.

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(No Transcript)
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Errores de 50, 90 y 95

• Se puede determinar la probabilidad de un error
  de cualquier porcentaje de probabilidad mediante
  la siguiente ecuación general.
• EpCps
• En la cual Ep es el porcentaje de error y Cp es
  un factor numérico.

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• E50 0,6745s
• E90 1,6449s
• E95 1,9599s
• El error de 50 (E50) es el llamado error
  probable. Este valor establece los límites dentro
  de los cuales han de caer las mediciones 50 de
  las veces. En otras palabras, una medida tendrá
  la misma probabilidad de quedar dentro de estos
  límites que de caer fuera de ellos.

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(No Transcript)
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Ejemplo

• Supóngase que se ha medido 10 veces una línea,
  con los resultados a continuación. Se supone que
  estas mediciones ya se han corregido por todos
  los errores sistemáticos.

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(No Transcript)
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• Pueden deducirse las siguientes conclusiones
• La longitud más probable es 1000,45 m.
• El error estándar de una sola medida es 0,08 m.
• La expectativa normal es que 68 de las veces,
  una longitud registrada estaría comprendida entre
  1000,37 y 1000,53 m es decir, que
  aproximadamente siete de los valores estarían
  comprendidos dentro de estos límites. (Realmente
  siete lo están.)
• El error probable (E50) es 0,05 m. Por tanto,
  puede anticiparse que la mitad, o sea cinco, de
  las medidas caerán dentro del intervalo 1000,40 a
  1000,50. (Cuatro valores quedan ahí).
• 90 de las veces una longitud medida no contendrá
  un error mayor de 0,13 m, y su valor estaría
  dentro del intervalo de 1000,32 y 1000,58

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• 6. El error de 95 sería 0,15, y la longitud
  estaría comprendida entre 1000,30 y 1000,60 en el
  95 de las veces. (Nótese que todas las medidas
  están, por cierto, dentro de los límites de ambos
  errores, el de 90 y el de 95.

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Error de una suma

• La expresión para determinar el error de una
  suma de cantidades observadas independientemente
  es
• En la cual E representa cualquier error
  específico a, b y c son las medidas
  independiente.

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Ejemplo

• Se mide una línea en tres partes, siendo los
  errores de éstas iguales a
• 0,012 0,028 y 0,020
• El error de la longitud total es
• Se aplica un cálculo similar al error de
  cualquier producto, y en consecuencia, al error
  de un área.

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• El error en dirección del lado A es Ea y en la
  dirección B es Eb. Por tanto el error ocasionado
  en el área por Ea es BEa, y el debido a Eb es
  AEb. Entonces, la ecuación para el error que
  tiene el área (producto AB) es

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Ejemplo

• Para un lote rectangular de 50,00 0,01 x 100,00
  0,02 metros, el error que hay en el área es

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Error de una serie

• A veces se lee una serie de cantidades
  similares, como los ángulos de una poligonal,
  resultando cada medida con un error de
  aproximadamente la misma magnitud en todos los
  casos. Al error total de la suma de todas las
  cantidades medidas de una serie de esta
  naturaleza se le llama error de la serie, y se le
  designa por Eserie.
• En donde E representa al error en cada medida y n
  es el número de mediciones.

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Ejemplo

• Supóngase que se mide con cinta de 50 m., una
  distancia igual a 1 km, aplicando ciertas
  técnicas, se efectúa cada medición de 50 m con un
  error de 0,005 m. Se desea conocer el error que
  se comete en la medición de 1 km.

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• Error medio (em)
• Ei Error verdadero
• n Número de errores verdaderos

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Error relativo

• Es una manera de expresar el error, con el fin
  de hacerlo más notable, se expresa en forma de
  fracciones.
• Por ejemplo, un error de diez (10) medidas
  cada cincuenta (50) significa que nos hemos
  equivocado 10 veces en 50 medidas realizadas.

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Cifras significativas

• Al registrar medidas, una indicación de la
  exactitud lograda es el número de dígitos (cifras
  significativas) que se registran. Por definición,
  el número de cifras significativas en cualquier
  valor incluye los dígitos positivos más uno que
  es un dígito estimado, y por tanto, cuestionable.

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Por ejemplo.

• Una distancia registrada como 873,52 se dice que
  tiene cinco cifras significativas en este caso,
  los cuatro primeros dígitos son seguros y el
  último es cuestionable.
• Para ser congruentes con la teoría de errores,
  es esencial que los datos se registren con el
  número correcto de cifras significativas, si se
  descarta una cifra significativa al registrar un
  valor, se ha desperdiciado el tiempo empleado en
  lograr exactitud.

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• A menudo, se confunde el número de cifras
  significativas con el número de cifras decimales.
  
• Puede tener que usarse cifras decimales para
  conservar el número correcto de cifras
  significativas, pero aquéllas no indican por sí
  mismas las cifras significativas.

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Ejemplo

• Dos cifras significativas
• 24 2,4 0,24, 0,0024, 0,020
• Tres cifras significativas
• 364 36,4 0,000364 0,0240
• Cuatro cifras significativas
• 7621 76,21 0,0007621 2.400

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• Para hacer una adición o sustracción debe
  redondearse la respuesta, reteniendo como última
  cifra significativa al dígito que se encuentra en
  la columna completa de cifras significativas que
  está más a la derecha.
• 46,4012 57,301
• 1,02 1,48
• 375,0 629
• 422,4 688

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Redondeo de números

• Es el proceso de suprimir uno o más dígitos para
  que la respuesta sólo contenga aquéllos que sean
  significativos o necesarios en cálculos
  subsecuentes. Para tal efecto puede seguirse el
  procedimiento a continuación.
• Cuando el dígito a despreciar sea menor a 5, se
  escribirá el número sin ese dígito. Así, 78,374
  se transforma en 78,37.
• Cuando el dígito a despreciar sea exactamente 5,
  se usará el siguiente número par para el dígito
  precedente. Así, 78,375 se transforma en 78,38 y
  78,385 se redondeará también a 78,38.
• Cuando el dígito a despreciar sea mayor que 5, se
  escribirá el número con el dígito precedente
  aumentado en una cantidad. Así 78,376 se
  convierte en 78,38.

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Aparición de errores aleatorios

• Supóngase que se realiza una medida de distancia
  de 10,46 pulgadas con una escala en la que puede
  estimarse una lectura al centésimo, y que es
  correcta a 0,05. en este caso, el valor real de
  la medida está comprendido entre 10,41 y 10,51
  pudiendo ser
• 10,41 10,42 10,43, 10,44 10,45 10,46 10,47
  10,48 10,49 10,50 ó 10,51.
• En consecuencia hay 11 posibles valores para la
  respuesta correcta. Este análisis puede suponer
  que todas las lecturas tienen la misma
  posibilidad de ser correctas. La probabilidad de
  que cualquier respuesta sea correcta es, por
  tanto, de 1/11 ó 0,0909.

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• Considérese una línea que requiere que se hagan
  dos medidas adyacentes con esta escala, teniendo
  cada una el mismo error posible. La respuesta,
  que es la suma de dos medidas, puede ser el total
  de cualquier par de 11 posibilidades para cada
  medición separada, teniendo todas igual
  probabilidad de ser correctas. Según los
  principios matemáticos, si un evento puede
  ocurrir de n maneras y otro de r modos, los dos
  eventos juntos pueden ocurrir de nr maneras. En
  las condiciones supuestas hay (11x11)121
  posibilidades. Al sumar las dos medidas el valor
  real estará comprendido entre -0,10 y 0,10.
• Sólo un par de posibles valores puede dar una
  diferencia de -0,10, y ese es el par para el cual
  la diferencia en cada medida es -0,05.

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• Puede obtenerse un error de -0,09 en dos formas,
  y es posible que haya una diferencia de -0,05 en
  la primera lectura y una diferencia de -0,04 en
  la segunda lectura, o bien, una diferencia de
  -0,04 en la primera y una diferencia de -0,05 en
  la segunda. Este análisis puede continuarse hasta
  obtener los siguientes resultados.

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(No Transcript)
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• Si se toman tres medidas adyacentes de la misma
  manera, con una diferencia máxima de -0,05 y
  0,05 las tres tendrían que estar fuera de
  realidad en -0,05 ó 0,05 para obtener una
  amplitud de error de -0,15 a 0,15 y por los
  principios matemáticos, el número total de
  probabilidades es 11x11x111331.

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(No Transcript)
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Histograma y curva de probabilidad
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(No Transcript)