Teor

1
Teoría Axiomática General de Agregados (IV)

• Jorge Baralt-Torrijos
• Universidad Simón Bolívar
• Octubre 2003

2
Contenido

• Pares Ordenados
• Relaciones

3
Pares Ordenados
4
Df. EsParOrd

• EsParOrd(x) a y z u v (x Par(z)(u) ?
  u Par(v)(y) ? z Atm(y)
  )EsParOrd(x) s x es un par ordenado

5
Ts. EsParOrd

• EsParOrd(x) Þ !y !z !u !v (x Par(z)(y)
  ? y Par(v)(u) ? z Atm(u) )

6
Df. Prm

• Prm(x) y a z u v (x Par(z)(u) ? u
  Par(v)(y) ? z Atm(y) )Prm(x) s el
  primer componente del par ordenado x

7
Ts. Prm

• y Prm(x) y ? !y Prm(x) y
• y Prm(x) y ? EsParOrd(x)

8
Df. Sgd

• Sgd(x) y a z u v (x Par(z)(u) ? u
  Par(y)(v) ? z Atm(v) )Sgd(x) s el
  segundo componente del par ordenado x

9
Ts. Sgd

• y Sgd(x) y ? !y Sgd(x) y
• y Sgd(x) y ? EsParOrd(x)

10
Df. ParOrd

• ParOrd(y)(x) z a EsParOrd(z) ? Prm(z)
  x ? Sgd(z) y ParOrd(y)(x) s el par ordenado
  formado por y con xltx,ygt a ParOrd(y)(x)

11
ParOrd(y)(x)
ParOrd(y)(x)
Atm(x) Par(y)(x)
x y
12
Ts. ParOrd

• z ParOrd(y)(x) z ? !z ParOrd(x) z
• EsParOrd(x) Þ x ParOrd(Sgd(x))(Prm(x))
• ParOrd(y)(x) z Þ (ParOrd(v)(u) z ? x u ? y
  v)
• ParOrd(y)(x) z Þ (ParOrd(x)(y) z ? x y)
• x ParOrd(y)(y) Þ x Atm(Atm(y)) ?
  (EsIndivQ(y) Þ x y)
• EsIntegrante(x) ? EsIntegrante(y) Þ z
  ParOrd(y)(x) z
• x ParOrd(b)(a) x

13
Df. ParInv

• ParInv(x) y a EsParOrd(x) ? y
  ParOrd(Prm(x))(Sgd(x))ParInv(x) s el par
  inverso del par ordenado x

14
Ts. ParInv

• y ParInv(x) y ? !y ParInv(x) y
• ParInv(x) y Þ EsParOrd(y) ? ParInv(y) x

15
Df. ParSubyac

• ParSubyac(x) y a EsParOrd(x) ? y
  Par(Sgd(x))(Prm(x)) ParSubyac(x) s el par
  subyacente al par ordenado x

16
Ts. ParSubyac

• y ParSubyac(x) y ? !y ParSubyac(x) y
• ParInv(x) y Þ ParSubyac(y) ParSubyac(x)

17
Relaciones
18
Df. EsRelacion

• EsRelacion(x) a EsAgregado(x) Ù "y (y Î x Þ
  EsParOrd(y)) EsRelacion(x) s x es una relación

19
Ts. EsRelacion

• EsIndividuo(x) Þ EsRelacion(x)
• EsRelacion(0Z)
• EsRelacion(x) ? EsMinimal(x) Þ x 0Z
• EsRelacion(x) ? EsRelacion(y) Þ EsRelacion(Dif(y)
  (x)) ? EsRelacion(Intsc(y)(x))
  ? EsRelacion(UnRel(z)(y)(x))
• EsRelacion(x) ? EsParte(x)(y) Þ EsRelacion(y)

20
Df. PrC

• PrC(y)(x) z a EsAgregado(z) Ù "w
  (w Î z Û EsParOrd(w) Ù Prm(w) Î x
  Ù Sgd(w) Î y )PrC(y)(x) s el
  producto cartesiano por y de x

21
Ts. PrC (1)

• PrC(y)(x) z Þ EsRelacion(z)
• PrC(y)(x) 0Z ? EsMinimal(x) Ú EsMinimal(y)
• PrC(y)(x) z Ù PrC(x)(y) z ? z 0Z Ú x y

22
Ax. de Producto Cartesiano

• z PrC(y)(x) z

23
Resumen de Axiomas

• 1. Extensión (Op. 2)
• 2. Existencia (Op. 2)
• 3. Diferencia
• 4. Apareamiento (Op. 2)
• 5. Producto Cartesiano

24
Ts. PrC (2)

• EsAgrupacion(x) Þ (PrC(y)(x) Í PrC(z)(x) ? y Í z)
• EsAgrupacion(x) Þ (PrC(x)(y) Í PrC(x)(z) ? y Í z)
• PrC(Dif(z)(y))(x) Dif(PrC(z)(x))(PrC(y)(x))
• PrC(Intsc(z)(y))(x) Intsc(PrC(z)(x))(PrC(y)(x))
• PrC(UnEn(u)(z)(y))(x) UnEn(PrC(u)(x))(PrC(z)(
  x))(PrC(y)(x))

25
Df. Rot

• Rot(x) y a EsAgregado(y) Ù"z (z Î y Û u v
  w (ParOrd(v)(ParOrd(u)(w)) z Ù
  ParOrd(w)(ParOrd(v)(u)) Î x )
  )Rot(x) s la rotación de x

26
Ts. Rot

• "y (y Î x Ù EsParOrd(y) Þ EsParOrd(Prm(y))
  Þ Rot(x) 0Z
• "y (y Î x Þ EsParOrd(y)) Þ Rot(x) 0Z
• EsMinimal(x) Þ Rot(x) 0Z
• Rot(x) y Þ EsRelacion(y)

27
Ax. de Rotación

• y Rot(x) y

28
Resumen de Axiomas

• 1. Extensión (Op. 2)
• 2. Existencia (Op. 2)
• 3. Diferencia
• 4. Apareamiento (Op. 2)
• 5. Producto Cartesiano
• 6. Rotación

29
Df. Trp

• Trp(x) y a EsAgregado(y) Ù"z (z Î y Û u v
  w (ParOrd(w)(ParOrd(u)(v)) z Ù
  ParOrd(w)(ParOrd(v)(u)) Î x )
  )Trp(x) s la transposición de x

30
Ts. Trp

• "y (y Î x Ù EsParOrd(y) Þ EsParOrd(Prm(y)) Þ
  Trp(x) 0Z
• "y (y Î x Þ EsParOrd(y)) Þ Trp(x) 0Z
• EsMinimal(x) Þ Trp(x) 0Z
• Trp(x) y Þ EsRelacion(y)

31
Ax. de Transposición

• y Trp(x) y

32
Resumen de Axiomas

• 1. Extensión (Op. 2)
• 2. Existencia (Op. 2)
• 3. Diferencia
• 4. Apareamiento (Op. 2)
• 5. Producto Cartesiano
• 6. Rotación
• 7. Transposición

33
Df. Dom

• Dom(x) y a EsAgregado(y) Ù "z (z Î y
  Û u (u Î x Ù EsParOrd(u) Ù Prm(u)
  z ) )Dom(x) s el dominio de x

34
Ts. Dom

• "y (y Î x Þ EsParOrd(y)) Þ Dom(x) 0Z
• EsMinimal(x) Þ Dom(x) 0Z
• Dom(x) y Þ EsAgregado(y)

35
Ax. de Dominio

• y Dom(x) y

36
Resumen de Axiomas

• 1. Extensión (Op. 2)
• 2. Existencia (Op. 2)
• 3. Diferencia
• 4. Apareamiento (Op. 2)
• 5. Producto Cartesiano
• 6. Rotación
• 7. Transposición
• 8. Dominio

37
Df. Inv

• Inv(x) y a EsAgregado(y) Ù "z (z Î y Û
  EsParOrd(z) Ù ParInv(z) Î x) Inv(x) s la
  inversa de x

38
Ts. Inv

• Inv(x) Dom(Trp(PrC(x)(x)))
• y Inv(x) y
• ?y (y Î x Þ EsParOrd(y)) Þ Inv(x) 0Z
• EsMinimal(x) Þ Inv(x) 0Z
• EsRelacion(Inv(x))

39
Df. Rng

• Rng(x) y a EsAgregado(y) Ù "z (z Î y
  Û u ParOrd(z)(u) Î x)
• Rng(x) s el rango de x

40
Ts. Rng

• Rng(x) Dom(Inv(x))
• y Rng(x) y
• ?y (y Î x Þ EsParOrd(y)) Þ Rng(x) 0Z
• EsMinimal(x) Þ Rng(x) 0Z
• EsAgregado(Rng(x))

41
Df. Cmp

• Cmp(x) y a EsAgregado(y) Ù "z (z Î y
  Û z ? Dom(x) ? z ? Rng(x))
• Cmp(x) s el campo de x

42
Ts. Cmp

• Cmp(x) y Û y Union(Dom(x))(Rng(x))
• ?y (y Î x Þ EsParOrd(y)) Þ Cmp(x) 0Z
• EsMinimal(x) Þ Cmp(x) 0Z
• Cmp(x) y Þ EsAgregado(y)

43
Df. Nucleo

• Nucleo(x) y a EsAgregado(y) Ù "z (z Î y Û
  EsParOrd(z) Ù z Î x) Nucleo(x) s el núcleo de x

44
Ts. Nucleo

• Nucleo(x) Inv(Inv(x))
• y Nucleo(x) y
• ?y (y Î x Þ EsParOrd(y)) Þ Nucleo(x) 0Z
• EsMinimal(x) Þ Nucleo(x) 0Z
• EsRelacion(Nucleo(x))
• Inv(x) Inv(Nucleo(x))
• Dom(x) Dom(Nucleo(x))
• Rng(x) Rng(Nucleo(x))
• Nucleo(x) Nucleo(Nucleo(x))
• EsRelacion(x) Û x Nucleo(x)

45
Df. RstrP

• RstrP(y)(x) z a EsAgregado(z) Ù "u (u Î z
  Û EsParOrd(u) Ù u Î x Ù Prm(u) Î y
  )RstrP(y)(x) s la restricción primaria en y
  de x

46
Ts. RstrP

• RstrP(y)(x) Intsc(PrC(Rng(x))(y))(x)
• z RstrP(y)(x) z
• EsMinimal(x) ? EsMinimal(y) Þ RstrP(y)(x) 0Z
• RstrP(y)(x) Í x
• Dom(RstrP(y)(x)) Í y
• RstrP(y)(x) RstrP(y)(Nucleo(x))

47
Df. RstrS

• RstrS(y)(x) z a EsAgregado(z) Ù "u (u Î z
  Û EsParOrd(u) Ù u Î x Ù Sgd(u) Î y
  )RstrS(y)(x) s la restricción secundaria en
  y de x

48
Ts. RstrS

• RstrS(y)(x) Inv(RstrP(y)(Inv(x)))
• z RstrS(y)(x) z
• EsMinimal(x) ? EsMinimal(y) Þ RstrS(y)(x) 0Z
• RstrS(y)(x) Í x
• Rng(RstrS(y)(x)) Í y
• RstrS(y)(x) RstrS(y)(Nucleo(x))

49
Df. Rstr

• Rstr(y)(x) z a EsAgregado(z) Ù "u (u Î z Û
  EsParOrd(u) Ù u Î x Ù Prm(u) Î y Ù Sgd(u) Î
  y )Rstr(y)(x) s la restricción de x
  en y

50
Ts. Rstr

• Rstr(y)(x) RstrS(y)(RstrP(y)(x))
• z Rstr(y)(x) z
• EsMinimal(x) ? EsMinimal(y) Þ Rstr(y)(x) 0Z
• Rstr(y)(x) Í x
• Dom(Rstr(y)(x)) Í y
• Rng(Rstr(y)(x)) Í y
• Rstr(y)(x) Rstr(y)(Nucleo(x))

51
Df. Img

• Img(y)(x) z a EsAgregado(z) Ù "u
  (u Î z Û v (EsParOrd(v) Ù v Î y Ù
  Prm(v) Î x Ù Sgd(v) u
  ) ) Img(y)(x) s la imagen según y de x

52
Ts. Img

• Img(y)(x) Rng(RstrP(x)(y))
• z Img(y)(x) z
• EsMinimal(x) ? EsMinimal(y) Þ Img(y)(x) 0Z
• Img(y)(x) Í Rng(y)
• Img(Nucleo(y))(x) Img(y)(x)

53
Df. ImgP

• ImgP(y)(x) z a EsAgregado(z) Ù "u (u Î z Û
  v (EsParOrd(v) Ù v Î y Ù
  Prm(v) x Ù Sgd(v) u
  ) ) ImgP(y)(x) s la imagen puntual
  según y de x

54
Ts. ImgP

• ImgP(y)(x) Img(y)(Atm(x))
• z ImgP(y)(x) z
• EsMinimal(y) Þ ImgP(y)(x) 0Z
• ImgP(y)(x) Í Rng(y)
• ImgP(Nucleo(y))(x) ImgP(y)(x)

55
Df. PImg

• PImg(y)(x) z a EsAgregado(z) Ù "u (u Î z Û
  v (EsParOrd(v) Ù v Î y Ù
  Prm(v) u Ù Sgd(v) Î x
  ) )PImg(y)(x) s la preimagen según y
  de x

56
Ts. PImg

• PImg(y)(x) Dom(RstrS(x)(y))
• z PImg(y)(x) z
• EsMinimal(x) ? EsMinimal(y) Þ PImg(y)(x) 0Z
• PImg(y)(x) Í Dom(y)
• PImg(Nucleo(y))(x) PImg(y)(x)

57
Df. PImgP

• PImgP(y)(x) z a EsAgregado(z) Ù "u (u Î
  z Û v (EsParOrd(v) Ù v Î y Ù
  Prm(v) u Ù Sgd(v) x
  ) ) PImgP(y)(x) s la
  preimagen puntual según y de x

58
Ts. PImgP

• PImgP(y)(x) PImg(y)(Atm(x))
• z PImgP(y)(x) z
• EsMinimal(y) Þ PImgP(y)(x) 0Z
• PImgP(y)(x) Í Dom(y)
• PImgP(Nucleo(y))(x) PImgP(y)(x)