CALCOLO COMBINATORIO

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CALCOLO COMBINATORIO
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INDICE

• Che cosè il calcolo combinatorio?
• Concetto di raggruppamenti semplici
• e di raggruppamenti con ripetizione
• Disposizioni
• Combinazioni
• Permutazioni

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PROBLEMI

• In quanti modi diversi 3 ragazzi di una compagnia
  di 5 amici si possono sedere su 3 poltrone libere
  di un cinema?
• Quanti numeri di 4 cifre si possono comporre con
  le cifre 1,2,3,4,5,6?
• Quanti anagrammi si possono comporre con le
  lettere della parola ROMA? E con la
  parola ALA?
• Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del
  Lotto?
• In quanti modi diversi 7 caramelle identiche
  possono essere distribuite tra 4 bambini?
  
• E se le caramelle fossero diverse?

PS
PR
CS
CR
DS
DR
4
CHE COSE?

• Il calcolo combinatorio è un particolare ramo
  della matematica applicata avente come scopo la
  costruzione e la misurazione del numero di
  raggruppamenti diversi che si possono comporre
  prendendo una determinata quantità di elementi in
  un assegnato insieme, in modo che siano
  rispettate determinate regole.
• VEDI ESEMPI

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PROBLEMARaggruppare gli elementi a-b-c a
gruppi di 2 con elementi che non si ripetono

• 1 modo
• COPPIE ORDINATE
• ab ac
• ba bc
• ca cb

• 2 modo
• COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA LORDINE
• ab
• ac
• bc

DISPOSIZIONI semplici (D3,2)
COMBINAZIONI semplici (C3,2)
avanti
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PROBLEMARaggruppare gli elementi a-b-c a
gruppi di 2 con elementi che possono ripetersi

• 1 modo
• COPPIE ORDINATE
• aa ab ac
• bb ba bc
• cc ca cb

2 modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA
LORDINE aa ab ac bb
bc cc
COMBINAZIONI con ripetizione (C3,2)
DISPOSIZIONI con ripetizione (D3,2)
indietro
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I RAGGRUPPAMENTI POSSONO ESSERE

• SEMPLICI quando gli oggetti sono tutti diversi
• CON RIPETIZIONE quando gli oggetti vi figurano
  una o più volte

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NOMI DEI RAGGRUPPAMENTI
DISPOSIZIONI quando lordine degli elementi è
importante. COMBINAZIONI quando lordine degli
elementi non ha alcuna importanza .
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TIPI DI RAGGRUPPAMENTI

• 
  semplici
• Disposizioni
• 
  con ripetizione
• 
  semplici
• Combinazioni
• 
  con ripetizione
• 
  semplici
• Permutazioni
• con oggetti
  identici

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COME CALCOLARE IL NUMERO DI DISPOSIZIONI?
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PROBLEMA DATE LE 4 CIFRE 1,2,3,4 QUANTI SONO I
NUMERI DI 2 CIFRE DISTINTE CHE SI POSSONO
FORMARE?

1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2 3
12 13 14
21 23 24
31 32 34
41 42 43
Il n di disposizioni semplici di 4 oggetti
distinti presi a 2 a 2 è D4,2 43 12
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IN GENERALE il n di DISPOSIZIONI SEMPLICI di
n oggetti distinti presi k per volta è Dn,k
n(n-1)(n-2) .. (n-k1) con ngtk (cioè il
prodotto di k numeri naturali decrescenti a
partire da n)

PROBLEMI
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PROBLEMA DATE LE 3 CIFRE 1,2,3 QUANTI SONO I
NUMERI DI 2 CIFRE CHE SI POSSONO FORMARE?

2 1 2 3
3 1 2 3
1 1 2 3
11 , 12 13
21 22 23
31 32 33
Il n delle disposizioni con ripetizione di 3
oggetti a gruppi di 2 è D3,233329
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IN GENERALE il n delle DISPOSIZIONI CON
RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per
volta è Dn,k nk

PROBLEMI
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COME CALCOLARE IL NUMERO DI COMBINAZIONI?
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PROBLEMA DATE LE 4 CIFRE 1,2,3,4 QUANTE SONO
LE COPPIE DI NUMERI DISTINTI CHE SI POSSONO
FORMARE?
1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2 3

1-2 1-3 1-4
2-3 2-4
3-4
Le combinazioni semplici di 4 oggetti presi a 2
a 2 sono C4,2 D4,2 / 2 43 / 2 6
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IN GENERALE il n di COMBINAZIONI SEMPLICI
di n oggetti distinti presi k per volta è Cn,k
Dn,k / k! ( ) con ngtk

n k
PROBLEMI
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PROBLEMA DATE LE 2 LETTERE a,b QUANTE SONO LE
COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE DI TALI OGGETTI
PRESI A 3 A 3?

a a a a a b a b b b b b
Il n di combinazioni con ripetizione di n
oggetti distinti presi a 3 a 3 è C2,3 (
) ( ) 4
23-1 3
4 3
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IN GENERALE il n delle COMBINAZIONI CON
RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per
volta è Cn,k
(cioè è il prodotto di k fattori crescenti a
partire da n, diviso k! )

n(n1).. (nk-1)
K !
PROBLEMI
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CHE COSA SONO LE PERMUTAZIONI?
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PERMUTAZIONI SEMPLICI
ESEMPIO COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI
(anche privi di senso) DELLA PAROLA APE
P E A P
E A
E P A E
P A E
P A E P
E A P E A
A
P E A P E
P A
E P A
Il n delle permutazioni di 3 oggetti distinti è
P3 D3,3 321 6
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Le permutazioni semplici di n oggetti distinti
sono tutti i possibili raggruppamenti contenenti
la totalità degli n oggetti e che differiscono
solo per lordine
Pn Dn,n
Pn n!
PROBLEMI
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PERMUTAZIONI CON OGGETTI IDENTICI
ESEMPIO COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI
(anche privi di senso) DELLA PAROLA ALA
L A A
L A A
A L A A
L A A
L A A L
A A L A A
A
L A A L A
L A
A L A
uguali a 2 a 2
LE PERMUTAZIONI DI 3 OGGETTI , 2 DEI QUALI
IDENTICI, SONO P3(2) P3/2! 3
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IN GENERALE se tra gli n oggetti dati ve ne
sono a uguali tra loro, ß uguali tra loro il
numero delle permutazioni degli n oggetti
assegnati risulta Pn(a, ß )
n!
a! ß!
PROBLEMI
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E ora risolviamo i problemi formulati allinizio
della presentazione !!!!!