A spasso per la storia

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A spasso per la storia
tra infiniti e infinitesimi
2
La storia del Calcolo SublimeSolo due grandi
protagonisti?
Newton e Leibniz Leibniz e Newton O ANCHE
ALTRI?
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La storia non sequenziale del Calcolo Sublime
Interesse per processi infinitesimali (Anassagora)
Infiniti paradosso di Achille e della tartaruga
(Zenone)
Infinito potenziale, serie (Aristotele)
Metodo di esaustione (Eudosso, Archimede)
Metodi euristici (Archimede)
Serie non convergenti (Oresme, Grandi)
Metodo degli indivisibili (Cavalieri)
Calcolo differenziale e integrale (Newton,
Leibniz)
Infinito attuale e cardinali transfiniti (Cantor)
Concezione assiomatica dei reali. Infinitesimo
attuale (Robinson)
La S.I.A.
4
Radici antichissime locchio di Horus
1/8
1/4
1/16
1/2
1/32
1/64
5
Gli Egiziani e le (prime) potenze di ½

• (1/2) (1/4) (1/8) (1/16) (1/32) (1/64)
  1!
• Il risultato esatto sarebbe
• 63/64
• (cioè 1 1/64)
• È un primo abbozzo di procedimento
  infinitesimale, ma interrotto quando le
  quantità coinvolte diventano troppo piccole
  (minori di 1/64).
• Contesto culturale tutto ciò è in perfetto
  accordo con lo spirito della matematica egizia,
  supporto per gli ingegneri più che ricerca
  teorica vera e propria.

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Il mito dellocchio di Horus consente una
riflessione matematica

• Riprendiamo lesempio senza fermarci ad una
  addizione di infiniti addendi, intuitivamente,
  è sempre associata una somma infinitiamente
  grande.
• Infatti se addizioniamo tutte le potenze di un
  numero positivo (ad esempio 2) 12483264
  superiamo ogni kgt0, qualsiasi sia il k
  considerato.
• Ma se quel numero è invece minore di 1?
  1(1/2)(1/4)(1/8)(1/16)(1/32) (1/64)

7
Riflettiamo sullultimo esempio

• 1(1/2)(1/4)(1/8)(1/32)(1/64)
• supera ogni kgt0, qualsiasi sia il k
  considerato?
• La risposta è no. Basta prendere k 2 la somma
  non supererà mai 2, qualsiasi sia il numero di
  addendi considerati
• 1 per arrivare a 2 dovremmo aggiungere 1
• aggiungiamo la metà di ciò che manca ½
• 1 ½ per arrivare a 2 dovremmo aggiungere ½
• aggiungiamo la metà di ciò che manca ¼
• e via di seguito aggiungiamo sempre la metà
  di ciò che manca quindi non supereremo mai 2.

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Completiamo la scomposizione dellocchio di Horus

• Quello rosso è il triangolo rettangolo isoscele
  con il cateto unitario.
• E proseguendo così?

1/4
1/8
1/16
1/2

• (1/2)(1/4)(1/8)(1/16)(132)(1/64)(1/128)
  lt1
• anzi, più addendi consideriamo, più ci
  avviciniamo a 1.

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Un altro antico esempio

• Per superare lidea (errata!) infiniti addendi,
  somma infinita ci riferiremo a Zenone dElea
  (490 430 a.C.) e al paradosso di Achille e
  della Tartaruga.
• una addizione con infiniti addendi la cui somma
  non supera, per quanti addendi si considerino, un
  numero finito.
• Riflettendo sulla rincorsa di Achille alla
  Tartaruga, infatti , calcoleremo la somma
  (finita) di tutte le (infinite) potenze di 1/10.

10
Zenone, Achille e la Tartaruga

• A. concede 1m di vantaggio a T. ed è 10 volte più
  veloce di essa.
• Quando A. avrà raggiunto la posizione iniziale di
  T., T. avrà percorso nuovamente 0,1 m.
• Raggiunta poi questa seconda posizione, A.
  percorrerà dunque 10,10,001 1,111
• Dopo 1,2 m Achille avrà superato Tartaruga!
• 11/101/1001/1000 10/9
• P.S. A Zenone (scuola eleatica) largomento serve
  per negare la realtà del moto.

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Anassagora, e i suoi processi infinitesimali

• Nulla nasce e nulla perisce, ma nascita e morte
  sono solo termini convenzionalmente utilizzati
  dagli esseri umani per identificare mescolanza e
  disgregazione delle parti dellEssere. Anassagora
  chiama queste parti semi originari.
• I semi sono caratterizzati dallessere di numero
  infinito, identici tra loro e infinitamente
  divisibili.

Anassagora di Clazomene, (496 a.C. Lampsaco,
428 a.C. circa). Fu il primo filosofo a
"importare" la filosofia nella penisola greca,
più precisamente ad Atene (prima di lui la
filosofia era diffusa solamente nelle colonie
greche dell'Asia Minore e della Magna Grecia).
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Eudosso, i numeri reali e il metodo di

• Secondo Archimede, Eudosso sviluppò la teoria
  delle proporzioni che consentì di superare le
  difficoltà che si incontrano per trattare i
  numeri irrazionali questa teoria sarà ripresa
  negli Elementi di Euclide e in sostanza consente
  di trattare rigorosamente i numeri reali pensati
  come rapporti di grandezze.
• Eudosso sviluppò il metodo di esaustione di
  Antifone, che sarà usato in modo magistrale da
  Archimede e la dimostrazione rigorosa delle
  formule che forniscono i volumi del cono e della
  piramide.

Eudosso di Cnido (408 355 a.C.) matematico e
astronomo, cui sono attribuiti risultati
fondamentali per il costituirsi della matematica
come scienza.
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Aristotele, e lin-finito

• L' infinito è essere in potenza, ed è essere come
  potenza ed essere come atto.
• La caratteristica essenziale dell'infinito è
  proprio quella di essere non finito e dunque
  essere costantemente incompiuto.
• Quindi per l'infinito passare dalla potenza (la
  possibilità di realizzarsi come infinito)
  allatto (quando questa possibilità si è
  realizzata) non comporta nessuna reale
  trasformazione o acquisizione di caratteristiche
  che prima non aveva, come avviene comunemente nel
  passaggio dalla potenza all'atto. Infatti
  infinito era prima (essere come potenza) ed
  infinito è dopo (essere come atto).

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Aristotele, e lin-finito

• Condividendo la concezione pitagorica fondata su
  argomenti etico-estetici più che fisici, ma
  fondati logicamente, anche Aristotele concepisce
  l'idea che l'infinito è equivalente
  all'imperfezione perché mai compiuto, non
  pienamente realizzato, come è invece per il
  finito a cui non manca niente per essere
  completo.

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Archimede, e i suoi processi di esaustione

• Nel breve lavoro La misura del cerchio viene
  dimostrato che un cerchio è equivalente a un
  triangolo con base eguale alla circonferenza e
  altezza eguale al raggio. Tale risultato è
  ottenuto approssimando arbitrariamente il
  cerchio, dallinterno e dall'esterno, con
  poligoni regolari inscritti e circoscritti. Con
  lo stesso procedimento Archimede espone un metodo
  con il quale può approssimare arbitrariamente il
  rapporto tra circonferenza e diametro di un
  cerchio dato, rapporto che oggi si indica con p.
• Le stime esplicitamente ottenute limitano questo
  valore fra 22/7 (circa 3.1429) e 223/71 (circa
  3.1408).

Archimede di Siracusa (circa 287 a.C. 212 a.C.)
matematico, ingegnere, fisico e inventore
siceliota. Uno dei massimi scienziati della
storia. Qui sopra in un dipinto di Domenico Fetti
(1620)
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Archimede, e il metodo

• Il metodo (perduto almeno dal Medioevo, letto per
  la prima volta nel famoso palinsesto trovato da
  Heiberg nel 1906, poi perduto e ritrovato nel
  1998) consente di penetrare nei procedimenti
  usati da Archimede nelle sue ricerche.
  Rivolgendosi ad Eratostene, spiega di usare due
  diversi metodi nel suo lavoro.
• Una volta individuato il risultato voluto, per
  dimostrarlo formalmente usava quello che poi fu
  chiamato metodo di esaustione, del quale si
  hanno molti esempi in altre sue opere. Tale
  metodo non forniva però una chiave per
  individuare i risultati.
• Il metodo meccanico è basato sulla sua statica
  e sull'idea di dividere le figure in un numero
  infinito di parti infinitesime. Archimede
  considerava questo secondo metodo non rigoroso
  ma, a vantaggio degli altri matematici, fornisce
  esempi del suo valore euristico nel trovare aree
  e volumi ad esempio, il metodo meccanico è usato
  per individuare larea di un segmento di parabola.

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Archimede, e la prima serie

• Nellopera Quadratura della parabola calcola
  larea di un segmento di parabola.
• Si considerano le rette parallele allasse della
  parabola passanti per gli estremi della base.
  Viene poi tracciata una terza retta parallela
  alle prime due e da loro equidistante.
  Lintersezione di questultima retta con la
  parabola determina il terzo vertice del
  triangolo. Sottraendo al segmento di parabola il
  massimo triangolo inscritto si ottengono due
  nuovi segmenti di parabola, nei quali si possono
  inscrivere due nuovi triangoli. Iterando il
  procedimento si riempie il segmento di parabola
  con infiniti triangoli. Larea richiesta è
  ottenuta calcolando larea di tutti i triangoli e
  sommando gli infiniti termini ottenuti. Il passo
  finale si riduce alla somma della serie
  geometrica di ragione 1/4
• È questo il primo esempio conosciuto di somma di
  una serie.
• P.S. Allinizio dell'opera è introdotto quello
  che è ancora oggi chiamato assioma di Archimede.

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Eudosso e Archimede

• Il lavoro di Eudosso e Archimede come precursori
  del calcolo infinitesimale, verrà superato in
  sofisticatezza e rigore matematico solo dal
  matematico indiano Bhaskara II (1114-1185) e da
  Isaac Newton (1642-1727).

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Nicola dOresme, genio

• Inventa un metodo delle coordinate (300 anni
  prima di Cartesio)
• lo applica al movimento di un punto e trova la
  legge del moto (300 anni prima di Galileo)
• Sviluppa il primo metodo di calcolo delle potenze
  frazionarie, la applica ai rapporti musicali e
  inventa la scala temperata (250 anni prima di
  Simon Stevin)
• Si interessa alla somme infinite

Nicole Oresme (1323 11 luglio 1382) fu
matematico, fisico, astronomo e economista,
vescovo, filosofo, psicologo e musicologo. Fu uno
dei più famosi e influenti pensatori del tardo
Medioevo fu inoltre un teologo appassionato,
traduttore competente, influente consigliere di
re Carlo V di Francia e vescovo di Lisieux. Viene
considerato uno dei principali fondatori e
divulgatori delle scienze moderne e uno dei più
originali pensatori del XIV secolo, è considerato
un filosofo della Scolastica.
20
Nicola dOresme, matematico

• Nel Tractatus de configurationibus qualitatum et
  motuum, Questiones super geometriam Euclidis
  elaborò metodi per le somme infinite che
  prepararono la via per il calcolo infinitesimale
  di Cartesio e Galileo.
• Dimostrò la divergenza della serie armonica,
  utilizzando il metodo standard insegnato ancora
  oggi nelle lezioni di calcolo.

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Infinitesimi in geometriaCavalieri e i suoi
indivisibili

• Bonaventura Cavalieri (Milano 1589 ca. - Bologna
  1647). La sua fama è legata soprattutto al
  metodo degli indivisibili rigorosamente
  sviluppato nell'opera Geometria indivisibilibus
  continuorum nova quadam ratione promota (1635)
• Considerò qualsiasi grandezza geometrica linee,
  piani, solidi come linsieme di costituenti
  elementari quali punti, linee e piani che vengono
  denominati infiniti indivisibili.

Gesuita, di formazione umanistica, si dedicò
alla predicazione, ma compì anche studi
matematici a Pisa, dove fu allievo di Galileo
Galilei. Nel 1629 ottenne a Bologna la cattedra
di matematica che conservò fino alla
morte. Cavalieri compì anche importanti ricerche
nei campi della trigonometria piana e sferica,
del calcolo logaritmico, dell'ottica e
dell'astronomia.
22
Infinitesimi in geometriaCavalieri e i suoi
indivisibili

• La teoria sollevò aspre polemiche tra i
  contemporanei, ma influì notevolmente sullo
  sviluppo della geometria e costituì
  unanticipazione dei principi che avrebbero
  ispirato il calcolo infinitesimale.

23
Infiniti1694 Tacquet tra finito e infinito

• Nel 1694 Andrea Tacquet notava
• Con facilità si passa
• da una progressione finita alla progressione
  infinita.
• E cè da stupirsi che gli Aritmetici che
  conoscevano il teorema sulle progressioni finite
  abbiano ignorato quello sulle progressioni
  infinite, che si deduce immediatamente.

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InfinitesimiNewton e Leibniz

• La messa a punto dei principali concetti e dei
  procedimenti dellanalisi infinitesimale, almeno
  per quanto riguarda la loro interpretazione
  seicentesca, fu opera di Isaac Newton (1642-1727)
  e di Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

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Newton e Leibniz

• Cronologicamente, Newton lavorò sul metodo
  diretto
• e inverso delle flussioni a partire dal 1665,
  ma ritardò
• la diffusione dei propri risultati pubblicò
  Philosophiae
• Naturalis Principia Mathematica (1686-1687) e
• Tractatus de quadratura curvarum (1704).
• Lopera Methodus fluxionum et serieruminfinitarum
  fu
• pubblicata soltanto postuma nel 1736. Con i
  lavori di
• Newton il calcolo poteva essere considerato
• concettualmente a punto.
• Ma sarà Leibniz che darà ordine di metodo ed
• introdurrà una simbologia efficace.

26
Dove porta il metodoNewton fisico e matematico

• Le differenze tra Leibniz e Newton spiegano la
  diversa influenza che i due pensatori hanno
  esercitato sullo sviluppo della scienza. Leibniz
  tende sistematicamente alla generalità, ()
  Newton mente inglese, portata alla
  considerazione del particolare concreto lavora
  di solito sopra esempi tratti dal campo
  algebrico, () ma proprio questi esempi portano a
  questioni che esorbitano dalla generalità
  leibniziana" (Enriques, 1938, p. 63).
• Limpostazione newtoniana del Calcolo superava
  nettamente in flessibilità ed in profondità
  quella attribuita alla matematica greca che
  riguardava questioni statiche e non cinematiche
  

27
Newton e la gravitazione

• Se la vaga concezione di una forza attrattiva
  governatrice dei movimenti celesti, la quale era
  per così dire nellaria durante la seconda metà
  del secolo XVII, poté mutarsi nella solida teoria
  della gravitazione universale, fu perché Newton
  disponeva di un ordigno matematico delicato e
  rigoroso, cioè il calcolo delle flussioni in tal
  modo alla geometria del cielo, in cui
  sillustrarono gli astronomi greci, poté venire
  aggiunta la meccanica celeste, scienza ben
  meritevole dellepiteto di sublime, in quanto
  permette non soltanto di spiegare, ma di
  preannunziare i fenomeni aventi per teatro il
  cielo (Loria, 1938, p. 136).

28
Dove porta il metodoGli infinitesimi di Leibniz
Per Leibniz la derivata è, per definizione, il
rapporto tra linfinitesimo dy e linfinitesimo
dx
Un esempio la funzione yx2
raccogliendo ora a fattore dx nel numeratore si
ottiene
29
La duplice natura degli infinitesimi
A questo punto Leibniz considera dx infinitesimo
e quindi trascurabile rispetto al numero reale
2x, dunque la derivata vale
Tutto ciò lascia quanto meno perplessi
30
La critica di Berkeley
Quando si divide per dx si presuppone che sia
diverso da zero, e quando si elimina il dx si
presuppone che sia uguale a zero gli
infinitesimi sono dunque entità
contradditorie. Berkeley definisce ironicamente
gli infinitesimi ghosts of departed quantities
(fantasmi di entità defunte).
31
Con gli infinitesimi di Leibniz
salta larchimedeità per i reali, in base alla
quale per ogni numero reale a, esiste un numero
naturale n tale che a sia maggiore del reciproco
di n. Questa proprietà non può valere per gli
infinitesimi dato che Leibniz aveva definito gli
infinitesimi come i più piccoli numeri
immaginabili e quindi non potevano esistere
numeri reali minori.
32
Come superare limpasse

• abolire gli infinitesimi e rifondare il calcolo
  su nuove basi (la strada scelta da Cauchy e
  Weierstrass nellOttocento)
• ridefinire in modo rigoroso i concetti di
  infinitesimo e di derivata (è la strada di
  Abraham Robinson negli anni Sessanta del XX
  secolo).

Nel frattempo però
33
Serie con somma infinitaGuido Grandi

• Nel 1703 pubblicò il libro La quadratura del
  cerchio e delliperbole, al cui interno scoprì lo
  stesso paradosso matematico intuito anche da
  Leibniz, ossia che la somma di una serie a segni
  alterni di numeri può non convergere (serie di
  Grandi)

Luigi Guido Grandi, al secolo Francesco Lodovico
Grandi (Cremona, 1º ottobre 1671 Pisa, 4 luglio
1742). Compì i suoi primi studi di grammatica
sotto la guida del giovane letterato Giambattista
Canneti e poi nel locale Collegio dei Gesuiti,
dove ebbe come maestro il futuro matematico
Giovanni Girolamo Saccheri. Alletà di 16 anni
entrò nel monastero camaldolese di Classe in
Ravenna, assumendo il nome Guido in sostituzione
degli originari Francesco Lodovico, e qui ritrovò
lantico maestro divenuto padre Pietro Canneti.
Proseguiti gli studi teologici a Roma e quelli
geometrici e matematici a Firenze, nel 1700
divenne professore di filosofia nel monastero
camaldolese di Firenze.
34
Serie di Grandi

• La somma infinita 1 - 1 1 - 1 ... (simile
  alla serie 1 - 2 3 - 4 ) non si può
  sommare. Essa si può rappresentare con la
  formula
• Con linguaggio moderno diremmo la successione
  delle sue somme parziali non possiede limite.
• In un senso esteso però si può dire che la sua
  somma di Cesàro (limite del valor medio delle
  somme parziali) è 1/2.

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Contare senza sommareCantor e linfinito attuale

• Alla fine dellOttocento il matematico tedesco
  George Cantor, studiando il possibile numero di
  discontinuità nella convergenza delle serie di
  Fourier si imbatte ne il numero dei naturali1
• Nellintrodurre linsieme derivato, ossia
  linsieme dei punti di accumulazione di un
  insieme dato, scopre e costruisce insiemi che
  spariscono dopo essere stati derivati tante
  volte quanti i numeri naturali 1!
• È la nascita degli ordinali transfiniti ?1,
  ?2, ?3

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Cantor e i suoi ordinali

• Per gli ordinali di Cantor non vale la proprietà
  commutativa ?1gt1?.
• Invece 1 ? ?.
• Cantor delinea lalgebra degli ordinali
  transfiniti.

37
Contare e sommareCantor dagli ordinali ai
cardinali

• Se si prescinde dallordine allora gli insiemi
  hanno un loro CARDINALE, che definisce la
  numerosità dellINSIEME.
• EQUIPOTENZA due insiemi sono equipotenti se
  possono essere messi in corrispondenza biunivoca
  tra di loro.
• Naturali, interi, razionali hanno la stessa
  potenza, quindi lo stesso cardinale.
• I reali non sono equipotenti ai naturali devono
  avere un altro cardinale.
• Si lavora con gli INFINITI

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Il recupero degli infinitesimiRobinson e
lanalisi non-standard

• Intorno agli anni 60 del XX secolo Abraham
  Robinson, un logico matematico tedesco emigrato
  negli USA, scoprì che tutti gli insiemi numerici
  potevano essere estesi con numeri non standard
  che ne ereditavano le proprietà.
• Per linsieme dei numeri reali questi altro non
  erano che gli infinitesimi di Leibniz, definiti
  questa volta in modo assolutamente rigoroso
  diventava così possibile fondare nuovamente
  l'Analisi sul concetto di infinitesimo, cosa che
  Robinson fece nel suo libro Non standard Analysis
  (1966).
• Analisi non standard è il nome dato a questa
  nuova formulazione dellAnalisi. Definizioni e
  dimostrazioni ritrovano la semplicità e la
  linearità che era del calcolo di Leibniz.

39
Robinson e linfinitesimo attuale

• Secondo Robinson un infinitesimo è un numero e
  minore in valore assoluto di qualsiasi 1/n per
  ogni n.
• A differenza di Leibniz, egli attribuisce a tali
  e la dignità di numeri.
• La categoria dei NUMERI IPERREALI è linsieme dei
  reali, degli infinitesimi, dei reciproci degli
  infinitesimi (numeri infiniti) e di altri numeri
  infinitamente vicini ai reali.
• Un numero iperreale non infinito è, pertanto,
  della forma ae dove a è un numero reale ed e
  un infinitesimo. Di conseguenza, attorno ad un
  numero reale, esiste un intorno di numeri
  iperreali a distanza infinitesima da esso, i
  quali costituiscono l'insieme degli a e tale
  insieme viene detto monade e viene indicato con µ
  (a).
• Si dimostra che e è minore di ogni numero reale
  positivo.

40
La derivata secondo Robinson
A questo punto la nuova definizione di derivata
è semplicemente
Nellesempio della funzione y x 2
leliminazione finale dellinfinitesimo dx è
ora pienamente giustificata.
41
La derivata secondo Robinson

• Per Robinson quindi gli infinitesimi sono
  definitivamente diversi da zero e la loro
  eliminazione è giustificata dalluso della
  funzione st(_).
• Anche la definizione di integrale e la
  dimostrazione del teorema fondamentale del
  calcolo integrale risultano molto semplificate
  usando questa impostazione.

42
Si moltiplicano le rifondazioni dellanalisi

• Negli anni 70 il matematico inglese John Conway
  inventa i numeri surreali, unestensione degli
  iperreali. Sarebbero piaciuti a Dalì e a De
  Chirico, se avessero capito qualcosa di
  matematica

43
La Smooth Infinitesimal Analysis (SIA)

• Sempre negli anni 70 si sviluppa la SIA, che
  porta alle estreme conseguenze il concetto di
  continuità con il principio di microlinearità.
• Conseguenza di questo principio è lesistenza di
  numeri non nulli a quadrato nullo Linsieme
  delle grandezze dx diverse da zero per le quali è
  dx20 è non vuoto.
• Si rinuncia al principio del terzo escluso due
  numeri o sono esattamente uguali, o differiscono
  per un infinitesimo e quindi sono indistinguibili
  o differiscono per un numero finito e quindi sono
  diversi.

44
Lalgebra degli infinitesimi nella SIA
Poiché dx20 lalgebra degli infinitesimi risulta
semplificata

• (xdx)2 x22xdxdx2 x22xdx
• (xdx)3 x33x2dx3xdx2dx3 x33x2dx
• (xdx)n xnnxn-1dx

45
E i limiti nella SIA?
Il numero di Nepero e diventa
diventa
diventa
46
La derivata nella SIA?

• La derivata viene definita in maniera implicita
  f(xdx)f(x)f(x)dx
• Si evita la definizione esplicita che comporta la
  divisione per un infinitesimo, indistinguibile da
  zero.

47
Alcuni esempi

• Se f(x)x2 allora (xdx)2x2f(x)dx porge
  x22xdx x2f(x)dx da cui 2xf(x)
• Se f(x)sin(x) allora sin(xdx)sin(x)f(x)dx
  porge sin(x)cos(dx)cos(x)sin(dx)sin(x)f(x)dx
  da cui sin(x)cos(x)dxsin(x)f(x)dx da cui
  cosxf(x)
• Se f(x)ex allora e(xdx)exf(x)dx porge
  exedxexf(x)dx da cui ex(1dx)exf(x)dx da
  cui exf(x)

48
Dovè il trucco?

• Come può essere tutto così semplice? È il ritorno
  a Leibniz la chiave di tutto?
• Robinson mantiene gli infinitesimi e giustifica
  leliminazione del dx con la regola della parte
  standard.
• Nella SIA leliminazione del dx è preventiva, si
  fa dallinizio ponendo dx20.
• Sono solo trucchi?

49
Conclusione

• Sarebbe ipotizzabile un percorso didattico che
  approdi allo studio di funzioni reali di
  variabile reale passando per gli infinitesimi di
  Robinson o per la SIA?
• Quali sarebbero le conseguenze a livello
  didattico?