Exerc

1
Exercícios PAA- Grafos

• Eduardo Laber

2
Cap 3-Tardos

• Exercício 2
• Modifique o pseudo-código da busca em
  profundidade da seguinte forma.
• Ao visitar um vértice v a partir de u
• Se v não foi visitado faça
• u?pai (v)
• Se v já foi visitado
• Se vltgt pai(u)
• Ciclo existe (uv caminho de u a v na árvore)

3
Cap 3-Tardos

• Exercício 3
• Execute uma ordenação topológica no Grafo. Se em
  algum ponto não houver uma fonte, quer dizer que
  o grafo contém ciclos.
• Execute uma busca em profundidade no grafo
  anotando, para cada vértice v,
• o pai de v
• o momento que a busca em v começa pre(v)
• o momento que a busca em v termina pos(v)
• Ao tentar visitar um vértice v a partir de u tal
  que a busca em v já começou mais ainda não
  terminou podemos obter um ciclo da seguinte
  forma.
• Caminhe pelos pais de u até encontrar v. O ciclo
  é formado por este caminho o arco (u,v)

4
Cap 3-Tardos

• Exercício 4
• Construa um grafo em que cada aresta corresponde
  a uma observação. Uma aresta pode ter um rótulo S
  (same) ou D (different).
• Faça uma busca no grafo rotulando os vértices em
  classes A e B
• Ao visitar um vértice v (pela primeira vez) a
  partir de um vértice u, atribua uma classe
  consistente com a aresta uv
• Ao visitar um vértice w, já visitado, a partir de
  x, verifique se as classes de w e x são
  consistentes com a aresta wx. Caso não sejam, o
  algoritmo deve indicar que não é possível a
  divisão em duas classes.

5
Cap 3-Tardos

• Exercício 7
• Seja v um nó do grafo. Se u não é vizinho de v
  então existe um nó, digamos w, que é vizinho de
  de u e de v. Caso contrário o grafo teria mais de
  n vértices (n/2 vizinhos de u, n/2 outros
  vizinhos de v, u e v). Contradição
• Portanto, v?w?u é um caminho de v para u

6
Cap 3-Tardos

• Exercício 8
• Para um contra exemplo considere uma clique K com
  n- n0.5 e um único vértice desta clique ligado a
  um caminho de n0.5 vértices.

7
Cap 3-Tardos

• Exercício 9
• Considerar a árvore gerada a partir de uma busca
  em largura começando em s.
• Como a altura desta árvore é maior que n/2 então
  existe um nível nesta árvore ( gt 1 e lt nível t)
  com apenas um nó.
• Como toda aresta de G liga vértices da mesma
  camada ou de camadas adjacentes, ao remover este
  vértice desconectamos o grafo.

8
Cap 3-Tardos

• Exercício 9
• Algoritmo
• Faça uma busca em largura calculando a distância
  de s a cada nó e preencha um vetor (de listas)
  indicando, na posição i, os vértices que distam i
  de s. Retorne o primeiro nó diferente de s que se
  encontra sozinho em uma lista

9
Cap 3-Tardos

• Exercício 10
• Utilizar uma busca em largura para decompor a
  árvore em camadas. Marcar em cada nó a sua
  distância a v.
• Em uma segunda passada acumular em cada nó w um
  contador num(w) indicando o número de caminhos de
  v a w.
• Inicialmente os contadores são 0, exceto
  Num(raiz)1.
• Ao tentar visitar um nó, digamos y, da camada
  i1, a partir de um no x da camada i fazer
• num(y)? num(y)num(x)

10
Cap 3-Tardos

• Exercício 11
• Manter um vetor de bits indicando se um programa
  foi infectado ou não
• Construir um grafo não direcionado para cada
  tempo t e processar os grafos em ordem crescente
  de tempo
• Processamento do grafo correspondente ao tempo t
• De duas passadas no grafo
• A primeira para marcar as componentes que tem um
  computador infectado e a segunda para marcar
  todos os computadores da componente como
  infectados.

11
Cap 3-Tardos

• Exercício 12
• Construa um grafo direcionados G da seguinte
  forma
• a) Para cada pessoa P(i) crie dois vértices B(i)
  data de nascimento e D(i), data de morte
• b) Para todo i, crie uma arco de B(i) para D(i)
• c) Se nos dados coletados, P(i) morre antes de
  P(j) nascer crie um arco de D(i) para B(j)
• d) Se nos dados coletados, a vida de P(i) tem
  interseção com a vida de P(j), crie um arco de
  P(i) para B(j) e um arco de B(i) para P(j)
• Se G tem uma ordenação topológica os dados são
  consistentes, caso contrário não

12
Papadimitriou-Cap 3

• Exercício 9
• Duas passadas no grafo
• A primeira calcula o grau de cada vértice
• For each v in Adju
• d(u) ? d(u)1
• Na segunda, acumulamos em twodegreeu, para cada
  u, a soma dos graus dos vizinhos de u.
• For each v in Adju
• Twodegreeu ? Twodegreeud(v)

13
Papadimitriou-Cap 3

• Exercício 13
• a) Defina um vértice s em G e execute uma DFS a
  partir de s. Seja T a árvore obtida. Qualquer
  folha de T satisfaz a propriedade desejada
• b) Qualquer Ciclo
• c) Se G dois ciclos disjuntos

14
Papadimitriou-Cap 3

• Exercício 15
• Seja G(V,E) o grafo direcionado em que V é o
  conjunto de interseções de ruas e E representa o
  conjunto das ruas
• Verifique se o grafo é fortemente conexo
  utilizando o algoritmo ensinado em sala com
  complexidade O(mn)

15
Papadimitriou-Cap 3

• Exercício 15
• Seja v o nó correspondente a Town Hall. Seja S o
  conjunto de nó alcançáveis a partir de v. S pode
  ser obtido em O(mn) através de uma DFS( BFS).
• Seja G o grafo reverso de G. Seja T o conjunto
  de nós obtidos a partir de v em G. Se T for um
  subconjunto de S então a propriedade é
  verdadeira. Caso contrário, é falsa.

16
Papadimitriou-Cap 3

• Exercício 18
• Execute uma DFS em G a partir de r e armazene os
  contadores pre e post para cada vértice do grafo.
  
• u é ancestral de v se e somente se
• preu prevlt postvltpostu

17
Papadimitriou-Cap 3

• Exercício 22
• Execute uma DFS em G e armazene os contadores pre
  e post para cada vértice do grafo. Seja v o
  vértice com maior post. Sabemos que ele pertence
  a um source node em G (aula de componentes
  fortemente conexos).
• Execute uma DFS começando em v. Se apenas uma
  árvore for gerada então existe o nó desejado.
  Caso contrário, não.

18
Papadimitriou-Cap 3

• Exercício 24
• Execute o algoritmo linear para ordenação
  topológica.
• Se em algum ponto o conjunto S dos vértices com
  grau de entrada igual a 0 tiver mais de um
  elemento, então G não possui o caminho desejado.
  Caso contrário G possui o caminho.