Exerc

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Exercícios de Algoritmos Aproximativos
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Exercício 1

• 1/2 \epsilon1/22 \epsilon ½ - \epsilon
• Sol ótima2. Sol algoritmo 3

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Exercício 1

• b) Assuma que o algoritmo utiliza mais de um
  caminhão. Sejam T(1),...,T(m) os caminhões
  utilizados pelo algoritmo, do primeiro para o
  último.
• Um limite inferior (w(1)...w(n))/K
• Note que não podem haver dois caminhões
  consecutivos com carga menor que K/2, caso
  contrário toda carga deveria estar no primeiro
  deles.
• Seja p m div 2. Somando a carga do caminão 2i-1
  com a do caminhão 2i, para i1,...,p concluímos
  que a carga total é de no mínimo K.p. Logo, pelo
  menos p1 caminhões são necessários, o que
  garante uma aproximação de 2.

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Exercício 2

• Este problema é um caso particular do SET COVER
  apresentado em sala de aula. De fato,
  Up(1),...,p(n) e SS(1),...,S(n), onde Si
  são as proteínas que distam no máximo ? de p(i).

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Exercício 3

• a) B100 a(1)1, a(2)100
• b) Ordene os inteiros do maior para o menor.
• Execute o algoritmo proposto no item (a).

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Exercício 3

• Análise
• Limite superior minB,a(1)...a(n)
• i) a(1)...a(n)ltB gt algoritmo obtém ótimo
• ii) a(1)...a(n)gtB e existe inteiro maior que
  B/2 gt O algoritmo retorna pelo menos B/2
• iii) a(1)...a(n)gtB e todo inteiro é menor que
  B/2.
• Considere o primeiro inteiro j que não é
  incluído em S. Como jltB/2, então neste ponto S
  já acumulou pelo menos B/2

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Exercício 4

• Defina X(i)1 se a(i) pertence a solução e
  x(i)0, caso contrário
• Minimize w(1)x(1) ... w(n)x(n)
• s.a.
• Seja x a solução ótima da Programação Linear.
  Defina o Hitting Set Hi x(i)gt1/b

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Exercício 5

• Seja i a última máquina a terminar j o último
  job processado em i e L(k) o tempo gasto pela
  máquina k
• Temos que L(i)-t(i) lt L(k), para todo k. Somando
  as desigualdades temos que
• L(i) lt (L(1)...L(m))/ m t(i)
• Como t(i)lt50 e (L(1)...L(m))/ m gt300, temos
  que L(i) não excede em 20 a carga média

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Exercício 6

• Estratégia
• Ordene os jobs em ordem decrescentes de tempos.
• Obtenha o escalonamento via List Scheduling
  considerando que todas as máquinas tem a mesma
  velocidade

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Exercício 6

• Análise
• Sabe-se que o algoritmo acima esta a um fator de
  3/2 do ótimo quando todas as máquinas, de fato,
  tem a mesma velocidade.
• Seja OPT o makespan ótimo de nossa instância
• Seja OPTfast o makespan ótimo para uma instância
  com os mesmos jobs mas em que as máquinas lentas
  são substituídas por máquinas rápidas.
  Claramente, OPT gt OPTfast.
• A solução obtida pelo nosso algoritmo esta a um
  fator de 3 de OPTfast , 3/2 da aproximação x 2
  devido ao fato que algumas máquinas são lentas.
  Portanto, esta a um fator de 3 de OPT.

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Exercício 7

• Algoritmo
• Considere um algoritmo que atribui a i-ésima
  pessoa ao anúncio com menor valor agregado no
  momento

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Exercício 7

• Análise
• Defina Vv(1)...v(n)
• Temos que V/m é um limite superior
• Assuma (por contradição) que exista um anúncio i
  com valor menor que V/(2m) ao término do
  algoritmo
• Seja j um anúncio com valor maior que V/m. Este
  tem que exisitir (princípio da casa dos pombos)
• Pela hipótese do enunciado, j esta associado a
  pelo menos duas pessoas. Note que a soma dos
  valores de todas as pessoas associadas a j,
  exceto a última, é maior que V/2m. Portanto, a
  última pessoa associada a j deveria ter sido
  associada a i, o que contradiz o funcionamento do
  algoritmo.

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Exercício 9

• Estratégia
• Encontrar um subconjunto maximal M de T.
• Análise
• Seja M a solução ótima e seja t uma tripla
  pertencente a M. Ou t pertence a M ou t tem
  interseção com alguma tripla de M. Portanto, o
  número máximo de triplas em M-M é 3M. Isso
  garante uma aproximação de 1/3.

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Exercício 10

• a) Seja v pertencente a T
• Caso I) v pertence a S. Ok
• Caso ii) v não pertence a S. O nó v não foi
  escolhido porque foi removido devido a um vizinho
  v em S com peso maior que v.

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Exercício 10

• b) Seja T o conjunto independente de maior peso
• A primeira desigualdade vale porque cada vértice
  de T-S pode ser associado a um vértice vizinho
  de S-T de peso maior. Entretanto, cada vértice
  de S-T esta associado no máximo a 4 vizinhos