poprzedni%20wyklad:%20Fale

1
poprzedni wyklad Fale

• Fale podluzne a fale poprzeczne
• Równanie falowe, fala harmoniczna
• Predkosc fazowa i grupowa
• Jak pokonac predkosc swiatla
• Opis fal przy pomocy liczb zespolonych
• Fala plaska
• Równania Maxwella
• Fale swietlne
• Fotony
• Spin
• Cisnienie swiatla wiatr sloneczny
• Chlodzenie atomów

2
Fale podluzne a fale poprzeczne

• zaburzenie, które sie rozprzestrzenia sie w
  czasie i przestrzeni.

kierunek drgan jest prostopadly do kierunku
rozchodzenia sie fali (np. fala
elektromagnetyczna)
poprzeczne
drgania odbywaja sie w kierunku równoleglym do
kierunku jej rozchodzenia (np. fala dzwiekowa,
fale gestosci, fale trzesien Ziemi, fale p)
podluzne
http//gcsephysics.com/pwav2.htm
3
Równanie falowe
Jednowymiarowe skalarne równanie falowe
(wyprowadzimy je z równan Maxwella) funkcji f
Skalarne równanie rózniczkowe czastkowe drugiego
rzedu, opisujace propagacje róznorodnych fal
(elektromagnetycznych, dzwiekowych, fal
powierzchniowych).
Fale elektromagnetyczne (w tym pole elektryczne E
fali swietlnej) w prózni sa rozwiazaniem równania
falowego z v c.
4
Fala plaska
Jest to fala o stalej czestotliwosci, której
powierzchnie falowe (powierzchne jednakowej fazy)
tworza równolegle do siebie plaszczyzny.
Wypelniaja one cala przestrzen.
Plaszczyzny frontów falowych fal
elektromagnetycznych wedruja w prózni z
predkoscia swiatla.
Fala plaska niesie wiec nieskonczona energie.
Fala taka nie istnieje realnie!
5
Predkosc grupowa
Dla fali harmonicznej o zmieniajacej sie
(modulowanej) amplitudzie predkosc grupowa jest
predkoscia obwiedni fali nosnej.
Obwiednia rozchodzi sie z predkoscia grupowa.
Fala nosna rozchodzi sie z predkoscia fazowa.
vg º dw /dk
6
Czy mozna

• zatrzymac swiatlo?
• przyspieszyc swiatlo?!?

7
Zadania

• Wykaz, ze gdy funkcja f (x) spelnia równanie
  falowe, funkcja f (x vt) równiez spelnia
  równanie falowe.
• Sprawdz poprawnosc zwiazków miedzy predkoscia
  fazowa i predkoscia grupowa
• Przedyskutuj ten zwiazek dla osrodków
  posiadajacych dyspersje czasowa (w osrodkach
  takich czestosc ? zalezy od dlugosci fali ?).

8
Odpowiedz 1. (z wykladu 02 Fale)

• Zapiszmy f (x vt) jako f (u), gdzie u x
  vt.
•  
•   
• Podstawiajac do równania falowego
• c.b.d.o.

9
Wyklad 3Równania Maxwella a fale swietlne

• Równania Maxwella
• Wyprowadzenie równania falowego z równan Maxwella
  
• Dlaczego fale swietlne w prózni (powietrzu) sa
  falami poprzecznymi
• Gestosc energii fali swietlnej
• Wektor Poyntinga
• Irradiancja (natezenie swiatla)
• Irradiancja superpozycji fal swietlnych
• Skad sie bierze swiatlo?
• Wielkosci czestosci oscylacji atomowych i
  czasteczkowych

Zadania
10
Wektorowe równanie falowe
Teraz mamy strzalke nad E.
Sa to trzy niezalezne równania falowe kazde z
nich dotyczy skladowych x, y, i z wektora E.

• posiada rozwiazanie w postaci

lub
zespolona amplituda
11
Wektorowe równanie falowe (3D)
Teraz mamy strzalke nad E.

• posiada rozwiazanie w postaci

lub
zespolona amplituda
12
Fale wyrazone przez zespolone amplitudy wektorowe

• Pola zespolone, a wiec i ich amplitudy
  sa teraz wektorami

Zespolone amplitudy zapisane sa wiec przy pomocy
az szesciu liczb, które trzeba znac, by te
amplitudy w pelni okreslic!!!
13
Powtórzenie operatory rózniczkowe

• Rózniczkowy operator wektorowy nabla
•  
•  
• Gradient funkcji skalarnej f
•  - jest wektorem, wskazuje kierunek, w jakim
  wzrost funkcji f jest najwiekszy.
• Dywergencja operator rózniczkowy, który funkcji
  wektorowej przypisuje wielkosc skalarna

14
Powtórzenie operatory rózniczkowe
Laplacian operator rózniczkowy drugiego
rzedu,który mozna zdefiniowac za pomoca
operatorów gradientu i dywergencji

• Laplacian funkcji skalarnej
•   
•  
• Laplacian funkcji wektorowej (dziala na kazda ze
  skladowych funkcji wektorowej)

Laplacian mówi nam o zakrzywieniu funkcji
wektorowej
15
Powtórzenie operatory rózniczkowe
Rotacja funkcji wektorowej
tworzy pole wektorowe wskazujace wirowanie
(gestosc cyrkulacji) pola wyjsciowego. Rotacja
moze byc zapisana przy pomocy wyznacznika
W notacji Einsteina
Jezeli rotacja danego pola wektorowego jest równa
zero (wektorem zerowym), to pole to jest
bezwirowe. Pole bezwirowe posiada potencjal (i
odwrotnie pole posiadajace potencjal jest polem
bezwirowym).
16
Równania Maxwella
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki.
Opisuja wlasnosci pola elektrycznego i
magnetycznego oraz zaleznosci miedzy tymi polami.
W prózni (w powietrzu)
Mozna z nich wyprowadzic znane dawniej prawa
empiryczne takie, jak prawo Faradaya czy prawo
Ampera. Po odpowiednim ich przeksztalceniu
otrzymujemy równanie falowe, a predkosc
opisywanej przez nie fali równa jest predkosci
swiatla w prózni
17
Równania Maxwella
Równania Maxwella opisuja równiez fale
elektromagnetyczne, których nie widzimy.

• telefony komórkowe,
• radio,
• telewizja,
• lacznosc satelitarna,
• nawigacja morska i lotnicza,
• systemy radiolokacji

18
Równania Maxwella
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki.
Opisuja wlasnosci pola elektrycznego i
magnetycznego oraz zaleznosci miedzy tymi polami.
W prózni (w powietrzu)

• - natezenie pola elektrycznego, V / m ,
  
• - indukcja magnetyczna, T Vs /m2 ,
• e0 - przenikalnosc elektryczna prózni,
• m0 - przenikalnosc magnetyczna,
• ?? - operator dywergencji, 1/m,
• ?? - operator rotacji, 1/m.

Z równan Maxwella mozna wyprowadzic równanie
falowe fali elektromagnetycznej.
19
Równania Maxwella
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki.
Opisuja wlasnosci pola elektrycznego i
magnetycznego oraz zaleznosci miedzy tymi polami.
W prózni (w powietrzu)

• - natezenie pola elektrycznego, V / m ,
  
• - indukcja magnetyczna, T Vs /m2 ,
• e0 - przenikalnosc elektryczna prózni,
• m0 - przenikalnosc magnetyczna,
• ?? - operator dywergencji, 1/m,
• ?? - operator rotacji, 1/m.

20
Wyprowadzenie równania falowego z równan Maxwella

• Wezmy
•  
• Zmienmy kolejnosc rózniczkowania zgodnie z regula
  RHS

(RM)
Podstawiajac za
(RM)
0 0
mamy
, lub
0 0
m0 i e0 sa stale w czasie
0 0
21
Wyprowadzenie równania falowego z równan Maxwella

• Wezmy
•  
• Zmienmy kolejnosc rózniczkowania zgodnie z regula
  RHS

(RM)
Podstawiajac za
(RM)
0 0
mamy
, lub
0 0
m0 i e0 sa stale w czasie
0 0
22
Wyprowadzenie równania falowego z równan Maxwella

• Wezmy
•  
• Zmienmy kolejnosc rózniczkowania zgodnie z regula
  RHS

(RM)
(RM)
Podstawiajac za
0 0
mamy
, lub
0 0
m0 i e0 sa stale w czasie
0 0
23
Wyprowadzenie równania falowego z równan Maxwella

• Wezmy
•  
• Zmienmy kolejnosc rózniczkowania zgodnie z regula
  RHS

(RM)
(RM)
Podstawiajac za
mamy
, lub
0 0
m0 i e0 sa stale w czasie
0 0
24
Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu)
Wyprowadzenie równania falowego z równan Maxwella
Wówczas
            .
0 0
Poniewaz nigdzie nie mamy zadnej gestosci ladunku
(próznia), ?? 0,
(RM)
otrzymalismy równanie falowe, o ile 1/v2
0 0
Fala elektromagnetyczna propaguje sie w prózni z
predkoscia v c
25
Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu)
Wyprowadzenie równania falowego z równan Maxwella
Wówczas
            .
0 0
0 0
Poniewaz nigdzie nie mamy zadnej gestosci ladunku
(próznia), ?? 0,
(RM)
otrzymalismy równanie falowe, o ile 1/v2
0 0
Fala elektromagnetyczna propaguje sie w prózni z
predkoscia v c
26
Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu)
Wyprowadzenie równania falowego z równan Maxwella
Wówczas
            .
0 0
0 0
Poniewaz nigdzie nie mamy zadnej gestosci ladunku
(próznia), ?? 0,
(RM)
otrzymalismy równanie falowe, o ile 1/v2
0 0
Fala elektromagnetyczna propaguje sie w prózni z
predkoscia v c
27
Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu)
Wyprowadzenie równania falowego z równan Maxwella
Wówczas
            .
0 0
0 0
Poniewaz nigdzie nie mamy zadnej gestosci ladunku
(próznia), ?? 0,
(RM)
otrzymalismy równanie falowe, o ile 1/v2
0 0
Fala elektromagnetyczna propaguje sie w prózni z
predkoscia v c
28
Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu)
Wyprowadzenie równania falowego z równan Maxwella
Wówczas
            .
0 0
0 0
Poniewaz nigdzie nie mamy zadnej gestosci ladunku
(próznia), ?? 0,
(RM)
otrzymalismy równanie falowe, o ile
0 0
Fala elektromagnetyczna propaguje sie w prózni z
predkoscia v c
29
Skad wiadomo, ze fala elektromagnetyczna w prózni
jest fala poprzeczna?

• Niech fala rozchodzi sie wzdluz osi x. Pole fali
  jest wówczas funkcja x i t, tak wiec wszystkie
  pochodne wzgledem y i z sa równe zero
•  
•   
• W osrodku bez ladunków swobodnych
•  
• a wiec

Tak wiec mamy
Tak wiec nie ma propagujacych sie fal podluznych.
30
Skad wiadomo, ze fala elektromagnetyczna w prózni
jest fala poprzeczna?
Niech fala rozchodzi sie wzdluz osi x. Pole fali
jest wówczas funkcja x i t, tak wiec wszystkie
pochodne wzgledem y i z sa równe zero      W
osrodku bez ladunków swobodnych   a wiec
Tak wiec mamy
Tak wiec nie ma propagujacych sie fal podluznych.
31
Skad wiadomo, ze fala elektromagnetyczna w prózni
jest fala poprzeczna?

• Niech fala rozchodzi sie wzdluz osi x. Pole fali
  jest wówczas funkcja x i t, tak wiec wszystkie
  pochodne wzgledem y i z sa równe zero
•  
•   
• W osrodku bez ladunków swobodnych
•  
• a wiec

Tak wiec mamy
Tak wiec w prózni 3D nie ma propagujacych sie fal
podluznych.
32
Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji
magnetycznej)?

• Niech fala rozchodzi sie wzdluz osi x i jej pole
  elektryczne skierowane jest wzdluz osi y tak
  wiec Ex Ez 0 i Ey Ey(x,t).
•  
•  
• Tak wiec
  
•  
• Pole indukcji magnetycznej jest prostopadle do
  pola elektrycznego.
• Wektory tworza uklad
  prawoskretny.

(RM)
(istnieje tylko skladowa z obu wektorów)
Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z.
33
Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji
magnetycznej)?

• Niech fala rozchodzi sie wzdluz osi x i jej pole
  elektryczne skierowane jest wzdluz osi y tak
  wiec Ex Ez 0 i Ey Ey(x,t).
•  
•  
• Tak wiec
  
•  
• Pole indukcji magnetycznej jest prostopadle do
  pola elektrycznego.
• Wektory tworza uklad
  prawoskretny.

(RM)
(istnieje tylko skladowa z obu wektorów)
Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z.
34
Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji
magnetycznej)?

• Niech fala rozchodzi sie wzdluz osi x i jej pole
  elektryczne skierowane jest wzdluz osi y tak
  wiec Ex Ez 0 i Ey Ey(x,t).
• Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji
  magnetycznej)?  
•  
•  
• Tak wiec
  
•  
• Pole indukcji magnetycznej jest prostopadle do
  pola elektrycznego.
• Wektory tworza uklad
  prawoskretny.

(RM)
- istnieje tylko skladowa z wektora
Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z.
35
Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji
magnetycznej)?

• Niech fala rozchodzi sie wzdluz osi x i jej pole
  elektryczne skierowane jest wzdluz osi y tak
  wiec Ex Ez 0 i Ey Ey(x,t).
• Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji
  magnetycznej)?  
•  
•  
• Tak wiec
  
•  
• Pole indukcji magnetycznej jest prostopadle do
  pola elektrycznego.
• Wektory tworza uklad
  prawoskretny.

(RM)
- istnieje tylko skladowa z wektora
Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z.
36
Skad wiadomo, ze fala elektromagnetyczna w prózni
jest fala poprzeczna?
Równania opisujace fale harmoniczna
sa rozwiazaniami równan Maxwella o ile
RELACJA DYSPERSJI
37
Skad wiadomo, ze fala elektromagnetyczna w prózni
jest fala poprzeczna?
Równania opisujace fale harmoniczna
sa rozwiazaniami równan Maxwella o ile
RELACJA DYSPERSJI
38
Skad wiadomo, ze fala elektromagnetyczna w prózni
jest fala poprzeczna?
Równania opisujace fale harmoniczna
sa rozwiazaniami równan Maxwella o ile
RELACJA DYSPERSJI
Zdjecie w czasie t
39
Skad wiadomo, ze fala elektromagnetyczna w prózni
jest fala poprzeczna?
Równania opisujace fale harmoniczna
sa rozwiazaniami równan Maxwella o ile
RELACJA DYSPERSJI
40
Wielkosc pola magnetycznego fali swietlnej

• Niech fala rozchodzi sie wzdluz osi x i jej pole
  elektryczne skierowane jest wzdluz osi y.

i
Startujemy z
Calkujemy
Przyjmijmy Bz(x,0) 0
Otrzymujemy
Poniewaz w / k c
41
Wielkosc pola magnetycznego fali swietlnej

• Niech fala rozchodzi sie wzdluz osi x i jej pole
  elektryczne skierowane jest wzdluz osi y.

i
Startujemy z
Calkujemy
Przyjmijmy Bz(x,0) 0
Otrzymujemy
Poniewaz w / k c
42
Wielkosc pola magnetycznego fali swietlnej

• Niech fala rozchodzi sie wzdluz osi x i jej pole
  elektryczne skierowane jest wzdluz osi y.

i
Startujemy z
Calkujemy
Przyjmijmy Bz(x,0) 0
Calkowanie Ey wzgledem x daje ik, a calkowanie
wzgledem t daje 1/(-iw).
Otrzymujemy
Poniewaz w / k c
43
Wielkosc pola magnetycznego fali swietlnej

• Niech fala rozchodzi sie wzdluz osi x i jej pole
  elektryczne skierowane jest wzdluz osi y.

i
Startujemy z
Calkujemy
Przyjmijmy Bz(x,0) 0
Calkowanie Ey wzgledem x daje ik, a calkowanie
wzgledem t daje 1/(-iw).
Otrzymujemy
Poniewaz w / k c
44
Sila dzialajaca na ladunek w polu fali swietlnej

• Sila Lorentza dzialajaca na ladunek q
•  
•  
•  
• Porównajmy obie sily
• ich stosunek wynosi  
•  
• Poniewaz B E/c

Tak wiec tak dlugo, jak predkosc ladunku jest
duzo mniejsza niz predkosc swiatla, czesc
magnetyczna sily Lorentza jest duzo mniejsza niz
czesc elektryczna i mozna ja zaniedbac.
45
Sila dzialajaca na ladunek w polu fali swietlnej

• Sila Lorentza dzialajaca na ladunek q
•  
•  
•  
• Porównajmy obie sily
•  
• Poniewaz B E/c

gdyz
Tak wiec tak dlugo, jak predkosc ladunku jest
duzo mniejsza niz predkosc swiatla, czesc
magnetyczna sily Lorentza jest duzo mniejsza niz
czesc elektryczna i mozna ja zaniedbac.
46
Sila dzialajaca na ladunek w polu fali swietlnej

• Sila Lorentza dzialajaca na ladunek q
•  
•  
•  
• Porównajmy obie sily
•  
•  
• Poniewaz B E/c

gdyz
Tak wiec tak dlugo, jak predkosc ladunku jest
duzo mniejsza niz predkosc swiatla, czesc
magnetyczna sily Lorentza jest duzo mniejsza niz
czesc elektryczna i mozna ja zaniedbac.
47
Sila dzialajaca na ladunek w polu fali swietlnej

• Sila Lorentza dzialajaca na ladunek q
•  
•  
•  
• Porównajmy obie sily
• ich stosunek wynosi  
•  
• Poniewaz B E/c

Tak wiec tak dlugo, jak predkosc ladunku jest
duzo mniejsza niz predkosc swiatla, czesc
magnetyczna sily Lorentza jest duzo mniejsza niz
czesc elektryczna i mozna ja zaniedbac.
48
Gestosc energii fali swietlnej
(Gestosc energii pola energia pola w jednostce
objetosci)

• Gestosc energii pola elektrycznego
• Gestosc energii pola magnetycznego
• Dla fali B E/c, i , a wiec
  
• Mamy wiec
• Calkowita gestosc energii
• Tak wiec gestosc energii pola elektrycznego i
  magnetycznego fali swietlnej sa równe.

49
Gestosc energii fali swietlnej
(Gestosc energii pola energia pola w jednostce
objetosci)

• Gestosc energii pola elektrycznego
• Gestosc energii pola magnetycznego
• Dla fali B E/c, i , a
  wiec
• Mamy wiec
• Calkowita gestosc energii
• Tak wiec gestosc energii pola elektrycznego i
  magnetycznego fali swietlnej sa równe.

50
Gestosc energii fali swietlnej
(Gestosc energii pola energia pola w jednostce
objetosci)

• Gestosc energii pola elektrycznego
• Gestosc energii pola magnetycznego
• Dla fali B E/c, i , a wiec
  
• Mamy wiec
• Calkowita gestosc energii

Tak wiec udzial gestosci energii pola
elektrycznego i magnetycznego fali EM w
calkowitej gestosci energii pola EM jest taki sam.
51
Wektor Poyntinga
  

• strumien energii przenoszonej przez wiazke
  swiatla (moc przeplywajaca przez jednostke
  powierzchni)

gestosc strumienia energii
gestosc energii x predkosc jej transportu
Energia przeplywajaca przez powierzchnie A w
czasie Dt U V U A c
Dt Energia przeplywajaca w jednostkowym czasie
przez jednostke powierzchni U V / ( A Dt
) U c c e0 E2 c2 e0 E B
52
Wektor Poyntinga
  

• strumien energii przenoszonej przez wiazke
  swiatla (moc przeplywajaca przez jednostke
  powierzchni)

gestosc strumienia energii
gestosc energii x predkosc jej transportu
Energia przeplywajaca przez powierzchnie A w
czasie Dt U V U A c
Dt Energia przeplywajaca w jednostkowym czasie
przez jednostke powierzchni U V / ( A Dt
) U c c e0 E2 c2 e0 E B
53
Wektor Poyntinga
  
V

• strumien energii przenoszonej przez wiazke
  swiatla (moc przeplywajaca przez jednostke
  powierzchni)

gestosc strumienia energii
gestosc energii x predkosc jej transportu
Energia przeplywajaca przez powierzchnie A w
czasie Dt U V U A c
Dt Energia przeplywajaca w jednostkowym czasie
przez jednostke powierzchni U V / ( A Dt
) U c c e0 E2 c2 e0 E B
54
Wektor Poyntinga
  
V

• strumien energii przenoszonej przez wiazke
  swiatla (moc przeplywajaca przez jednostke
  powierzchni)

gestosc strumienia energii
gestosc energii x predkosc jej transportu
Energia przeplywajaca przez powierzchnie A w
czasie Dt U V U A c
Dt Energia przeplywajaca w jednostkowym czasie
przez jednostke powierzchni U V / ( A Dt
) U c c e0 E2 c2 e0 E B
55
Wektor Poyntinga
  

• strumien energii przenoszonej przez wiazke
  swiatla (moc przeplywajaca przez jednostke
  powierzchni)

gestosc strumienia energii
gestosc energii x predkosc jej transportu
Energia przeplywajaca przez powierzchnie A w
czasie Dt U V U A c
Dt Energia przeplywajaca w jednostkowym czasie
przez jednostke powierzchni U V / ( A Dt
) U c c e0 E2 c2 e0 E B
56
Wektor Poyntinga
  

• strumien energii przenoszonej przez wiazke
  swiatla (moc przeplywajaca przez jednostke
  powierzchni)

gestosc strumienia energii
gestosc energii x predkosc jej transportu
Energia przeplywajaca przez powierzchnie A w
czasie Dt U V U A c
Dt Energia przeplywajaca w jednostkowym czasie
przez jednostke powierzchni U V / ( A Dt
) U c c e0 E2 c2 e0 E B
57
Wektor Poyntinga
Podstawiajac i do
wyrazenia na wektor Poyntinga   Srednia z
cos2 jest równa 1/2
wielkosc szybkozmienna w czasie!
58
Irradiancja (lub nieprawidlowo, choc czesto
uzywane natezenie) wiazki swiatla
sredni strumien energii   Podstawiajac i
do wyrazenia na wektor Poyntinga
  Srednia z cos2 jest równa 1/2
wielkosc szybkozmienna w czasie!
59
Irradiancja (lub nieprawidlowo, choc czesto
uzywane natezenie) wiazki swiatla

• Poniewaz pola elektryczne i magnetyczne fali sa
  wzajemnie prostopadle, oraz B0 E0 / c, oraz
  , w kierunku propagacji irradiancja I
  (natezenie) fali wyraza sie

gdzie
60
Irradiancja (lub nieprawidlowo, choc czesto
uzywane natezenie) wiazki swiatla

• Poniewaz pola elektryczne i magnetyczne fali sa
  wzajemnie prostopadle, oraz B0 E0 / c, oraz
  , w kierunku propagacji irradiancja I
  (natezenie) fali wyraza sie

gdzie
Pamietajmy rozwazania nasze sa poprawne dla fali
harmonicznej rozchodzacej sie w prózni. Fale
opisalismy
61
Irradiancja (lub nieprawidlowo, choc czesto
uzywane natezenie) wiazki swiatla
?
62
Irradiancja (lub nieprawidlowo, choc czesto
uzywane natezenie) wiazki swiatla
?
63
Irradiancja (lub nieprawidlowo, choc czesto
uzywane natezenie) wiazki swiatla
?
Zwierciadlo Archimedesa
Giulio Parigi (1571-1635) Galleria degli Uffizi
(Florencja)
64
Swiatlo jako bron (?)
Wczesni historycy greccy i rzymscy donosza, ze
Archimedes wyposazyl setki ludzi w metalowe
zwierciadla by zogniskowac swiatlo sloneczne na
rzymskich statkach wojennych w bitwie pod
Syrakuzami (213 -211 BCE).
Jest to historia apokryficzna
65
Podsumowanie

• Wektory sa wzajemnie prostopadle.
• Wektory drgaja w zgodnej fazie.
• Fala EM jest fala poprzeczna
• W prózni (w osrodku izotropowym) fala
  elektromagnetyczna transportuje energie
  prostopadle do swojego czola.
• Fala elektromagnetyczna w prózni (powietrzu)
  rozchodzi sie z predkoscia

66
Sumowanie pól elektromagnetyzm jest teoria
liniowa, zasada superpozycji obowiazuje.

• Jesli E1(x,t) and E2(x,t) sa rozwiazaniami
  równania falowego, wówczas E1(x,t) E2(x,t) jest
  tez jego rozwiazaniem.
• Oznacza to, ze wiazki swiatla moga przechodzic
  jedna przez druga.  
• Oznacza to równiez, ze moga one konstruktywnie
  lub destruktywnie interferowac

67
Irradiancja sumy dwóch fal

• Jesli obie sa proporcjonalne do
  , irradiancja wynosi

68
Irradiancja sumy dwóch fal

• Jesli obie sa proporcjonalne do
  , irradiancja wynosi

Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x
Wyraz krzyzowy !
Tak wiec
Wyrazenie krzyzowe zwiazane jest z interferencja!
69
Irradiancja sumy dwóch fal

• Jesli obie sa proporcjonalne do
  , irradiancja wynosi

Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x
Wyraz krzyzowy !
Tak wiec
Wyrazenie krzyzowe zwiazane jest z interferencja!
70
Irradiancja sumy dwóch fal

• Jesli obie sa proporcjonalne do
  , irradiancja wynosi

Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x
Wyraz krzyzowy !
Tak wiec
Wyrazenie krzyzowe zwiazane jest z interferencja!
71
Zadanie

• Zapisz pole E i B plaskiej fali monochromatycznej
  o czestotliwosci ?, która porusza sie
• a) w kierunku ujemnym osi x i jest spolaryzowana
  w kierunku osi z,
• b) porusza sie w kierunku wyznaczonym przez
  poczatek ukladu wspólrzednych i punkt (1,1,1) i
  jest spolaryzowana równolegle do plaszczyzny xz.
• ) Fala elektromagnetyczna jest spolaryzowana w
  danym kierunku (lub w danej plaszczyznie) gdy jej
  wektor elektryczny oscyluje zgodnie z tym
  kierunkiem (lub w tej plaszczyznie).

72
Równania Maxwella
Widzielismy, ze w pustej przestrzeni równania
Maxwella (równanie falowe) opisuje propagacje
swiatla.
Ale skad sie pochodzi swiatlo, co jest jego
pierwotnym zródlem? Musi nim byc materia.
73
Równania Maxwella
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki.
Opisuja wlasnosci pola elektrycznego i
magnetycznego oraz zaleznosci miedzy tymi polami.
W osrodkach liniowych
sformulowanie makroskopowe

• - natezenie pola elektrycznego, V / m ,
  
• - indukcja magnetyczna, T Vs /m2 ,
• - indukcja elektryczna, C / m2
• - natezenie pola magnetycznego, A / m
• er - przenikalnosc elektryczna osrodka,
• mr - przenikalnosc magnetyczna osrodka,
• - gestosc pradu swobodnego, A/m2,
• ? - gestosc ladunku swobodnego, C / m3
• ?? - operator dywergencji, 1/m,
• ?? - operator rotacji, 1/m.

74
Równania Maxwella
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki.
Opisuja wlasnosci pola elektrycznego i
magnetycznego oraz zaleznosci miedzy tymi polami.
W osrodkach liniowych

• - natezenie pola elektrycznego, V / m ,
  
• - indukcja magnetyczna, T Vs /m2,
• - indukcja elektryczna, C / m2
• - natezenie pola magnetycznego, A / m
• er - przenikalnosc elektryczna osrodka
  (wzgledna),
• mr - przenikalnosc magnetyczna osrodka
  (wzgledna),
• - gestosc pradu, A/m2,
• ? - gestosc ladunku, C / m3
• ?? - operator dywergencji, 1/m,
• ?? - operator rotacji, 1/m.

75
Równania Maxwella
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki.
Opisuja wlasnosci pola elektrycznego i
magnetycznego oraz zaleznosci miedzy tymi polami.
W osrodkach liniowych

• - natezenie pola elektrycznego, V / m ,
  
• - indukcja magnetyczna, T Vs /m2,
• - indukcja elektryczna, C / m2
• - natezenie pola magnetycznego, A / m
• er - funkcja dielektryczna ??r ??r(?),
• mr - przenikalnosc magnetyczna osrodka,
• - gestosc pradu swobodnego, A/m2,
• ? - gestosc ladunku swobodnego, C / m3
• ?? - operator dywergencji, 1/m,
• ?? - operator rotacji, 1/m.

76
Zródla swiatla
przyspieszane ladunki niezwiazane
Liniowo przyspieszane ladunki
Promeniowanie synchrotronowe - promieniowanie
emitowane przez naladowane czastki przyspieszane
po krzywoliniowych torach np.. w polu magnetycznym
Promieniowanie hamowania (niem. Bremsstrahlung) -
promieniowanie powstajace podczas hamowania
czastki obdarzonej ladunkiem elektrycznym
(np. w trakcie hamowania w zderzeniu z inna
czastka naladowana).
77
Osrodek spolaryzowany(obojetny elektrycznie jako
calosc)
Zródla swiatla polaryzacja
Gdy drgania ladunków (elektronów) sa skorelowane,
osrodek jest spolaryzowany. Polaryzacja osrodka
moze sie zmieniac harmonicznie w czasie.
78
Osrodek spolaryzowany
Gdy drgania ladunków (elektronów) sa skorelowane,
osrodek jest spolaryzowany. Polaryzacja osrodka
moze sie zmieniac harmonicznie w czasie.

• Indukowana polaryzacja osrodka jest zawarta w
  równaniach Maxwella (przyjeto, ze ?r1)

79
Równania Maxwella w osrodku materialnym

• Indukowana polaryzacja osrodka i jest
  zawarta w równaniach Maxwella (przyjeto, ze
  ?r1)

Ten dodatkowy czynnik dodaje sie do równania
falowego, które zwane jest jako niejednorodne
równanie falowe
Polaryzacja jest czlonem zródlowym i mówi nam o
tym, jakie swiatlo zostanie wyemitowane.
Zauwazmy, ze indukowana polaryzacja, a wiec
wychylenie ladunku , jest dwukrotnie
rózniczkowane. jest
przyspieszeniem ladunku! Tak wiec to
przyspieszane ladunki (elektrony) osrodka sa
zródlami swiatla.
80
Równania Maxwella w osrodku materialnym

• Indukowana polaryzacja osrodka i jest
  zawarta w równaniach Maxwella (przyjeto, ze
  ?r1)

Ten dodatkowy czynnik dodaje sie do równania
falowego, które zwane jest jako niejednorodne
równanie falowe
Polaryzacja jest czlonem zródlowym i mówi nam o
tym, jakie swiatlo zostanie wyemitowane.
Zauwazmy, ze indukowana Polaryzacja, a wiec
wychylenie ladunku , jest dwukrotnie
rózniczkowane. jest
przyspieszeniem ladunku! Tak wiec to
przyspieszane ladunki zwiazane (elektrony)
osrodka sa zródlami swiatla.
81
Rzedy wielkosci czestosci oscylacji atomowych i
czasteczkowych

• Oscylacje elektronów wynikajace z ich ruchu
• wokól jader atomowych
• Duza czestosc 1014 - 1017 cykli na sekunde.
• Oscylacje jader czasteczek
• wzgledem siebie
• Posrednie czestosci 1011 - 1013 cykli na
  sekunde.
• Rotacja jader czasteczek
• Niskie czestosci 109 - 1010 cykli na
  sekunde.

Energiom zwiazanym z oscylacjami przypisac mozna
poziomy energetyczne
82
Oscylacje atomowe i czasteczkowe obrazu
klasycznego odpowiadaja przejsciom miedzy
poziomami energetycznymi w opisie kwantowym.
Stan wzbudzony
DE hn
Energia
Stan podstawowy
Atom oscylujacy miedzy stanem wzbudzonym i
podstawowym.
Atom oscylujacy z czestoscia n.
83
Wzbudzone atomy spontanicznie emituja fotony.
Kiedy atom wraca do stanu o nizszym poziomie
energii, emituje foton.
Stan wzbudzony
Energia
Stan podstawowy
Czasteczki na ogól pozostaja dluzej wzbudzone (?
kilka nsek). Emisja fotonu fluorescencja lub,
dla dluzszych czasów zycia fosforescencja.
84
Czasteczki posiadaja znacznie bardziej
zróznicowane poziomy energetyczne niz atomy.

• Przyklad poziomów energetycznych czasteczki

E Eel Evib Erot
2gi wzbudzony stan elektronowy
Energia
1szy wzbudzony stan elektronowy
Wzbudzony poziom rotacyjno-oscyalcyjny
Przejscie miedzy stanami elektronowymi
Dodatkowo widmo komplikuje sie wskutek sprzezenia
spin-orbita, obecnosci spinu jadrowego etc.
Podstawowy stan elektronowy
Tak wiec czasteczki maja zwykle dosc zlozone
widma.
85
Dziekuje za uwage
86
Lemma

• Proof Look first at the LHS of the above
  formula
•  
•  
•  
• Taking the 2nd yields
•  
• x-component
•  
• y-component
•  
• z-component

87
Lemma (contd)

• Proof (contd)
•  
• Now, look at the RHS

88
Sumowanie pól elektromagnetyzm jest teoria
liniowa, zasada superpozycji obowiazuje.

• Jesli E1(x,t) and E2(x,t) sa rozwiazaniami
  równania falowego, wówczas E1(x,t) E2(x,t) jest
  tez jego rozwiazaniem
•  
•  
•  
• Oznacza to, ze wiazki swiatla moga przechodzic
  jedna przez druga.  
• Oznacza to równiez, ze moga one konstruktywnie
  lub destruktywnie interferowac

89
1. Proof that f (x vt) solves the wave equation
(z wykladu 02 Fale)

• Write f (x vt) as f (u), where u x vt.
  So and
•  
• Now, use the chain rule
•  
• So Þ and
  Þ
•   
• Substituting into the wave equation