Falowa natura materii

1
Falowa natura materii

• Dualizm falowo-korpuskularny. Fale de Brogliea.
  Funkcja falowa. Zasada nieoznaczonosci. Równanie
  Schrödingera

2
Dualizm
Fizyk francuski Louis de Brouglie wysunal w roku
1923 hipoteze, ze dualizm jest zjawiskiem w
przyrodzie uniwersalnym, a nie osobliwoscia w
dziedzinie zjawisk optycznych. Znany byl efekt
fotoelektryczny juz w wieku XIX. W 1905 roku
Einstein oglosil teorie zjawiska
fotoelektrycznego. Poglady Einsteina byly w
pewnym sensie powrotem do korpuskularnej teorii
Newtona. Einstein zaakceptowal wprowadzona
przez Plancka idee kwantów energii. W
odróznieniu od pogladów Plancka uwazal, ze
energia kwantu pozostaje przez caly czas jego
istnienia skupiona w malym obszarze. Kwanty
(fotony) wedlug Einsteina rozchodza sie w
przestrzeni jak male czastki. Planck sadzil, ze
fotony rozplywaja
3
sie w postaci fali na cala przestrzen. W teorii
korpuskularnej (Einstein) przypisuje sie kazdemu
fotonowi pewna energie ? i ped p.
Energia kwantu
(1)
Ped kwantu
(2)

4
Dualizm falowo - korpuskularny
Wzory (1, 2) Przeliczanie
parametrów falowych na korpuskularne
Parametry falowe ? - dlugosc fali c - predkosc
swiatla ? - czestotliwosc
Parametry korpuskularne ? - energia p - ped
?
5
Zjawisko fotoelektryczne w interpretacji
Einsteina polega na zderzeniu fotonów o
dostatecznie duzych energiach ? z elektronami
swobodnymi w metalu. W jednym akcie zderzenia
elektron absorbuje cala energie jednego fotonu.
Uzyskuje przez to energie na wykonanie pracy
wyjscia.
Natezenie swiatla w teorii kwantowej okresla
liczba kwantów przechodzacych przez jednostke
powierzchni ustawionej prostopadle do kierunku
ruchu kwantów w jednostce czasu.
Kwantowa teoria swiatla nie tlumaczy wszystkich
zjawisk optycznych, w szczególnosci
interferencji, dyfrakcji i polaryzacji swiatla.
Te zjawiska tlumaczy teoria falowa. Z tego
wzgledu powstal dualistyczny poglad na nature
swiatla - niektóre zjawiska tlumaczone za pomoca
modelu kwantowego, inne za pomoca falowego.
6
Rozwiazanie tego dylematu (modele te nawzajem sie
wykluczaja) przyniosla dopiero mechanika kwantowa.
De Brouglie byl przekonany, ze w przyrodzie
panuje symetria. Zgodnie z takim pogladem,
nalezaloby sie spodziewac, ze materia, która
uwazamy za korpuskularna - elektrony, protony,
atomy itd. zachowa sie jak fala.

7
Falowa natura materii
De Broglie zalozyl, ze podobnie jak poprzednio
wzory (1), (2), powinny byc zaleznosci
pozwalajace na przejscie od obrazu
korpuskularnego do falowego.
De Broglie otrzymal parametry falowe ? i ?
obiektów, które maja mase m, ped p i predkosc v
(3, 4).
8
(3)
(4)
h - stala Plancka w przypadku fotonu ped
(5)
9
Fale materii.
De Broglie przypisal kazdej czastce pewna fale o
dlugosci ? i czestotliwosci ?. Na poparcie swojej
tezy nie mial zadnych argumentów doswiadczalnych.

1926 r. - Schrödinger podjal i opracowal
matematycznie ide de Brogliea
1927 r. - Amerykanie Davisson i Germer wykonali
doswiadczenie, w którym zauwazono interferencje
fal elektronowych ugietych na sieci krystalicznej
niklu. Detektor ustawiony pod katem do
odpowiednich plaszczyzn atomowych zarejestrowal
maksima ugietej wiazki elektronowej, zgodnie z
wzorem
2dsin? n? n 0, 1, 2,....
(6)
10
? - kat ugiecia ? - dlugosc fali
przewidziana przez de Brogliea, której wartosc
mozna wyliczyc, porównujac energie kinetyczna
elektronów z energia pola przyspieszajacego.
m - masa elektronu e - ladunek elektronu U -
napiecie przyspieszajace v - predkosc elektronów
(7)
(8)
(9)
11
Wiazka elektronów padajacych
Wiazka ugieta
? ? ? ? ? ?
? ?
?
Plaszczyzny sieciowe odlegle o d
d
Wzór (6) jest zgodny z warunkiem Bragga - Wulfa
dla promieni Roentgena, które zostaly ugiete na
plaszczyznach sieci krystalicznej o stalej d pod
katem ?.
Wzór (6) jest przyblizony, nie uwzglednia
zalamania wiazki na granicy krysztal - osrodek
zewnetrzny.
12
Funkcja falowa
Funkcja falowa nazywamy wielkosc fizyczna
bedaca w danym miejscu pola falowego i w danej
chwili miara zaburzenia równowagi jego
elementów. W przypadku fal rozchodzacych sie w
osrodku sprezystym miara zaburzenia, a wiec
funkcja falowa jest chwilowa wartosc wychylenia
drgajacych czasteczek z polozenia równowagi.
Natomiast w przypadku fal elektromagnetycznych
funkcja falowa jest chwilowa wartosc pola
elektrycznego E lub magnetycznego B.
13
Najprostszym typem fali jest harmoniczna fala
plaska, która mozna zapisac w postaci
y - wartosc chwilowa y0 - amplituda t - czas x -
droga T - okres ? - dlugosc fali ? - pulsacja k -
liczba falowa
(10)
lub
(11)
Równania (10, 11) przedstawiaja równiez fale
harmoniczna.
(12)
gdzie
(13)
14
Taka fale przypisano mikroczastce, np.
elektronowi.
Suma fal harmonicznych jest równiez fala
harmoniczna. Poslugujac sie znanym w matematyce
liczb zespolonych wzorem Eulera (eix cosx
isinx) , zapisujemy równanie fali plaskiej w
postaci
(14)
Najprostsza harmoniczna fale plaska materii
przedstawia sie jako
(15)
15
W 1925 r. M. Born zaproponowal nastepujace
znaczenie funkcji falowej fal de
Brogliea Kwadrat modulu funkcji falowej gdzie
? oznacza funkcje zespolona, sprzezona z ?, jest
miara prawdopodobienstwa (W) znalezienia czastki
(elektronu) w danym miejscu, w danej chwili.
(16)
(17)
dW jest prawdopodobienstwem znalezienia czastki
w danej chwili t w elemencie objetosci dV,
otaczajacym dany punkt o wspólrzednych x, y, z
(? ?(x,y,z,t).
16
(18)
w jest gestoscia prawdopodobienstwa w danym
punkcie. Prawdopodobienstwo znalezienia czastki
(elektronu) jest rózne od zera tylko tam, gdzie ?
jest rózne od zera.
Prawdopodobienstwo znalezienia czastki w calym
obszarze jest równe 1 (pewnosc).

(19)
Fale de Brogliea sa falami prawdopodobienstwa
(wg. Maxa Borna), kwadrat modulu funkcji falowej
równa sie gestosci prawdopodobienstwa zastania
mikroczastki w tym obszarze.
17
Interpretacja Borna jest interpretacja
statystyczna. Czastki poruszaja sie w sposób
opisany równaniem Schrödingera. Funkcje falowe
(14, 15) nie sa rzeczywiste, ale opisuja
zachowanie sie czastek lepiej niz mechanika
niutonowska.
Przypisanie poruszajacej sie czastce fali
harmonicznej jest duzym uproszczeniem. Fala
harmoniczna jest procesem nieograniczonym w
czasie i przestrzeni, podczas gdy czastka jest
obiektem zlokalizowanym w czasie i w przestrzeni.
Lepszym opisem fal materii jest przypisanie
poruszajacej sie czastce tzw. paczki fal (grupy
fal), czyli ciagu falowego zlozonego z wielu fal
harmonicznych. Mozna wykazac, ze wszystkie
skladowe fale harmoniczne interferujac ze soba
znosza sie nawzajem wszedzie, za wyjatkiem
pewnego obszaru ?x, w obrebie którego wypadkowa
jest rózna od zera.
18
?x
vg
x
Paczke fal charakteryzuja predkosci fazowe
- predkosci z którymi wzdluz kierunku propagacji
przemieszczaja sie okreslone wartosc fazy kazdej
z harmonicznych, predkosc grupowa -
predkosc przemieszczania sie maksimum amplitudy
paczki fal (vg)

Predkosc grupowa równa sie predkosci, z jaka
porusza sie czastka.
19
Zasada nieoznaczonosci Heisenberga
Wyobrazmy sobie, ze dysponujemy doskonale
dokladnymi przyrzadami i wyeliminowane zostaly
wszystkie zródla bledów pomiarowych w trakcie
pomiaru pewnej wielkosci fizycznej x. Okazuje sie
jednak, ze otrzymujemy rozrzut wyników przy
kolejnych pomiarach wykonanych w identycznych
warunkach. Mozemy wtedy powiedziec, ze ta sama
wielkosc fizyczna jest nie do konca okreslona. W
takim przypadku mówimy o pewnej nieokreslonosci
lub nieoznaczonosci.
20
1925 r. - Werner Heisenberg sformulowal jedno z
podstawowych praw - zasade nieoznaczonosci. Prawo
to odnosi sie do sytuacji, w której w jednym
doswiadczeniu chcemy mierzyc jednoczesnie wiecej
niz jedna wielkosc fizyczna.
Jest rzecza niemozliwa równoczesne i dokladne
zmierzenie takiej pary wielkosci fizycznych,
których iloczyn nieoznaczonosci jest staly, nie
mniejszy niz stala Plancka.
(20)
Nieoznaczonosc polozenia i pedu
Nieoznaczonosc energii i czasu
(21)
21
Zaleznosci te (20) i (21) sa zgodne z ogólnymi
wlasnosciami paczek fal. Nieokreslonosc polozenia
elektronu równa sie dlugosci reprezentujacej go
paczki fal. Jest to równiez zgodne ze
statystyczna interpretacja tych fal, wedlug
której prawdopodobienstwo znalezienia elektronu
jest rózne od zera tylko w obrebie paczki. Mozna
obliczyc punkt, w którym gestosc
prawdopodobienstwa jest najwieksza, jest to tylko
prawdopodobienstwo, a nie scisle polozenie
elektronu.
Przyklad 1. Wyznaczyc nieoznaczonosc polozenia
elektronu, jezeli jego predkosc wynosi 300 m/s, z
dokladnoscia 0.010
22
h 6.625 10-34 J s
Traktowanie elektronu jako punktu nie jest
sluszne.
Dla cial makroskopowych zasada nieoznaczonosci
nie odgrywa zadnej roli. Dla poruszajacej sie
czastki o masie 1g, o polozeniu znanym z
dokladnoscia 1?m, nieoznaczonosc jej predkosci
wynosi ?v ? 1.1 10-23 cm/s
23
Równanie Schrödingera
W 1926 roku Schrödinger podal równanie
stanowiace podstawe mechniki kwantowej.
Wykorzystal nie tylko hipoteze de Brogliea, ale
równiez wykorzystal prace angielskiego matematyka
W. R. Hamiltona, który znalazl równanie
rózniczkowe, opisujace powierzchnie stalej fazy
pewnych hipotetycznych fal. Równanie falowe
opisuje proces rozprzestrzeniania sie fal w
danym osrodku. W ukladzie kartezjanskim dla
izotropowego i jednorodnego osrodka ma postac
(22)
24
gdzie u u(x, y, z, t) - funkcja wspólrzednych
przestrzennych oraz czasu, opisujaca zaburzenie
falowe, v - predkosc fal w tym osrodku. Rózniczkow
e równanie falowe stosowane jest tez do opisu
rozchodzenia sie fal elektromagnetycznych.
Równanie falowe dla swiatla w osrodku ma postac
(23)
gdzie D jest wektorem indukcji elektrycznej, uf -
predkoscia fazowa
25
Korzystajac z prac Hamiltona Schrödinger ustalil
rózniczkowe równanie fal materii. Równanie to
opisuje zachowanie znanej juz funkcji falowej ?,
wprowadzonej dla fal materii. Funkcja ? jest
jest skalarem w odróznieniu od funkcji
wystepujacej w poprzednio podanym równaniu
falowym.
Równanie Schrödingera nie jest pelna analogia
poprzednich równan falowych ze wzgledu na róznice
miedzy falami materii a falami opisywanymi przez
poprzednie równania. Równanie to we wspólrzednych
kartezjanskich ma postac nastepujaca
(24)
26
Czastka w mikroswiecie opisana jest za pomoca
funkcji falowej ?(x,y,z,t), która zwiazana jest z
prawdopodobienstwem znalezienia czastki.
Wystepujace w równaniu Schrödingera stale to m
- masa poruszajacej sie czastki, V -
potencjal, h - stala Plancka, i - jest liczba
zespolona.
gdzie
(25)
27
Równanie Schrödingera jest równaniem
operatorowym. Operator - pewien symbol wskazujacy
na sposób postepowania z funkcja, która za nim
wystepuje. W równaniu Schrödingera wystepuje
operator energii kinetycznej oraz operator
energii potencjalnej. Operatory te dzialaja na
funkcje falowa ?(x,y,z,t),
Operator energii kinetycznej dzialajacy na
funkcje falowa
Operator energii potencjalnej dzialajacy na
funkcje falowa
28
Ostatnia postac równania Schrödingera jest
zapisana w sposób poprzednio niedopuszczalny w
matematyce, natomiast wprowadzony dopiero przez
mechanike kwantowa.
Równanie Schrödingera, podstawowe w mechanice
kwantowej, jest w fizyce tej rangi, co klasyczne
równania Newtona i klasyczne równanie falowe. Nie
wystepuja w nim wielkosci kinematyczne, lecz
funkcje pozwalajace wyznaczyc prawdopodobienstwo
znalezienia czastki w pewnym obszarze.
Funkcja ?, stanowiaca rozwiazanie tego
równania, opisuje stan o okreslonej energii
czastki. Znalezienie tej funkcji pozwala
przewidziec skwantowanie energii na przyklad
elektronu w atomie czy skwantowanie energii jader
atomowych.
29
Jezeli wystepujacy w równaniu (23) potencjal V
nie zalezy od czasu, rozwiazanie równania mozna
zapisac w postaci
(26)
Jezeli czastka moze przemieszczac sie wzdluz
jednej tylko osi na przyklad x, niezalezne od
czasu równanie mozna zapisac jako
(27)
30
Wlasnosci funkcji falowej

• Zalezna od czasu i wspólrzednych przestrzennych
  jest wraz ze swymi pierwszymi pochodnymi
  skonczona, ciagla i jednoznaczna
• Wielkosc ?? ?2 jest gestoscia prawdopodobienstwa,
  zatem w calym obszarze V

(19a)
31
Przyklad2. Czastka znajduje sie w nieskonczonej
jamie (studni) potencjalu o szerokosci a. Znalezc
jej funkcje falowa.
? 0
? 0
? ? 0
a
x
0
W przedziale 0 - a potencjal V 0, na zewnatrz
tego przedzialu V ?. Funkcja falowa jest
niezerowa wewnatrz tego przedzialu.
32
Równanie Schrödingera dla przedzialu 0 lt x lt a

Wprowadzmy oznaczenie
Ogólne rozwiazanie tego równania ma postac ?
Aeikx Be-ikx lub ? A1sinkx B1coskx
Funkcja falowa jest równa 0 na zewnatrz
przedzialu, stad wspólczynnik B1 0, a
odpowiadajace nam rozwiazanie ma postac
33
? A1sinkx
Dla x a mozna napisac warunek ka n?
dla n 1, 2,....... z tego wynikaja warunki
skwantowania energii czastki
Czastka w studni potencjalu ma energie
skwantowana.
34
Stala A1 mozna wyznaczyc na podstawie wzoru (19)
przyjmujac obszar calkowania od 0 do a,
gdzie
wiadomo, ze
stad
ostatecznie
35
Stany kwantowe czastki w jamie potencjalnej dla
liczb kwantowych n 1,2, 3
?(x)
???x??2
Energia
Gestosc prawdopodobienstwa
Funkcja falowa
n 1
n 2
n 3
36
Dozwolone wartosci energii jamy potencjalu
nazywamy poziomami energetycznymi, a liczbe
naturalna n, wyznaczajaca poziomy energetyczne,
liczba kwantowa. Kazdej wartosci liczby kwantowej
odpowiada okreslony stan kwantowy
scharakteryzowany funkcja falowa ?(x).
Wnioski z przedstawionego modelu
1) Energia w jamie potencjalnej jest skwantowana,
a najmniejsza jej wartosc jest wieksza od zera
(wedlug mechaniki klasycznej energia przyjmuje
dowolne wartosci, w tym równiez wartosc zero.
2) Gestosc prawdopodobienstwa oscyluje miedzy
wartoscia maksymalna a zerem (wedlug mechaniki
klasycznej gestosc prawdopodobienstwa powinna byc
stala w przedziale 0, a).
37
Przyklad 3. Na próg potencjalu pada czastka o
energii E mniejszej od wysokosci progu V energii
potencjalnej. Obliczyc wspólczynnik odbicia od
progu. Na jaka odleglosc xef czastka wnika w glab
progu? Przyjac, ze xef odpowiada odleglosci, na
jakiej amplituda funkcji falowej maleje e razy.
I
II
U
U - energia
V
E
x
0
Klasyczna czastka nie mogla pokonac bariery
potencjalu w przypadku E lt V. Mechanika kwantowa
dopuszcza sytuacje taka, ze czastka o energii
mniejszej od wysokosci bariery energetycznej
wnika w glab takiej bariery.
38
Aby to pokazac rozwiazujemy równanie Schrödingera
niezalezne od czasu, które ma postac dla obszarów
I i II odpowiednio
I x lt 0
II x gt 0
Rozwiazanie równania w obszarze I bedzie mialo
postac
gdzie
39
Rozwiazanie równania w obszarze II ma postac
gdzie
Moduly stalych A, B i C nie moga przekraczac
jednosci ze wzgledu na to, ze kwadrat modulu
funkcji falowej oznacza gestosc
prawdopodobienstwo znalezienia czastki,
natomiast stala D musi byc równa zero (e?x ?
?). Ostatecznie mamy rozwiazania
Fala odbita
Fala padajaca
Fala wnikajaca w glab bariery
40
Zwiazki miedzy stalymi A, B i C mozna wyznaczyc z
warunku ciaglosci funkcji falowej i jej pierwszej
pochodnej.
stad
Nastepnie obliczamy wspólczynnik odbicia R jako
kwadrat modulu stosunku amplitudy fali odbitej do
padajacej.
41
Glebokosc wnikania fali materii w bariere
wyznaczamy z warunku
ostatecznie
42
Wspólczynnik odbicia R 1 oznacza, ze fala
materii na pewno sie odbije. Istnieje jednak
niezerowe prawdopodobienstwo wnikniecia fali do
wnetrza bariery, mimo energii kinetycznej czastki
mniejszej od energii bariery. Takiego efektu
mechanika klasyczna nie przewidywala.
Istnienie niezerowego prawdopodobienstwa
wnikania fali stwarza mozliwosc przenikania
czastki przez wysokie bariery o skonczonej
grubosci, czyli tunelowego przejscia czastek
przez bariery. Mechanika kwantowa przewiduje
takie zjawiska i potwierdza to eksperyment.
Istnieje w przyrodzie szereg zjawisk tunelowych,
na przyklad emisja czastek alfa, przechodzenie
swobodnych nosników w pólprzewodnikach z pasma
podstawowego do pasma przewodnictwa bez zmiany
energii itp. Niektóre z nich znalazly praktyczne
zastosowania. Dzieki nim powstaly takie przyrzady
jak dioda tunelowa, czy dioda Zenera.
43
Model atomu Bohra
Demokryt, 460 - 370 p.n.Chr. Atomos -
niepodzielny, najmniejszy skladnik
materii Thomson, 1904 r. - model w postaci
dodatnio naladowanej kuli (10-9 m), wewnatrz
której znajduja sie elektrony Rutheford, 1909 r.
- atom sklada sie z dodatnio naladowanego jadra
(10-15 m), wokól, którego kraza elektrony po
orbitach rzedu 10-9 m. Model wzorowany na budowie
Ukladu Slonecznego, którego stabilnosc zapewnia
równowaga miedzy silami grawitacyjnymi a
dosrodkowymi. W przypadku elektronów krazacych
wokól jadra wystepuje sprzecznosc z
elektrodynamika, wedlug której kazdy ladunek
poruszajacy sie z przyspieszeniem,
wypromieniowuje energie. Atom powinien byc
niestabilny.
44
Model kwantowy (1913). Postulaty Bohra

• Elektrony w atomie moga krazyc tylko po pewnych
  dozwolonych orbitach, dla których moment pedu
  jest calkowita wielokrotnoscia stalej Plancka h,
  czyli mvr n?
• Atom moze absorbowac albo emitowac promieniowanie
  w postaci kwantów energii E h?
  przechodzac z jednej orbity dozwolonej na druga,
  przy czym
• E En1 - En2

(20)
(21)
45
gdzie En1, En2 - energie elektronu na
odpowiednich orbitach n 1, 2..., m - masa
elektronu, v - jego predkosc, r - promien orbity
elektronu, ? - stala Plancka podzielona prze z
2?
Model Bohra usunal sprzecznosci z prawami
elektrodynamiki. Kwantowa teoria Bohra stala sie
punktem zwrotnym w opisie procesów wewnatrz
atomów. Kwantowa teoria Bohra dawala wyniki
zgodne z doswiadczeniem, zwlaszcza dla wodoru,
ale nie wyjasniala faktu, dlaczego pojec
mechaniki klasycznej nie mozna stosowac dla
mikroczastek.
46
Równanie Schrödingera dla atomu wodoropodobnego
Liczbe elektronów w atomie danego pierwiastka
nazywamy liczba atomowa i oznaczamy litera Z.
Atom jako calosc jest elektrycznie obojetny, a
ladunek jadra jest równy Ze.
Opis budowy atomu na podstawie równania
Schrödingera w przypadku atomów
wieloelektronowych (Z gt 1) jest trudny, poniewaz
kazdy elektron pozostaje pod dzialaniem ze
strony jadra (przyciaganie) i ze strony
pozostalych elektronów (odpychanie). Ograniczymy
sie do przypadku atomu wodoropodobnego, w którym
wokól jadra o ladunku Ze, krazy tylko jeden
elektron.
47
Z 1 atom wodoru Z 2
jednokrotnie zjonizowany atom helu Z 3
dwukrotnie zjonizowany atom litu
Energia potencjalna dwóch ladunków punktowych q1,
q2 odleglych o r wyraza sie wzorem
(22)
Dla rozpatrywanego atomu wodoropodobnego energia
ta moze byc zapisana jako
(23)
48
Podstawiajac to wyrazenie do równania
Schrödingera, niezaleznego od czasu, otrzymamy
(24)
? -masa elektronu Równanie to rozwiazuje sie
zwykle we wspólrzednych sferycznych r, ?, ?.
r - promien wodzacy, ? - kat biegunowy, ? - kat
azymutalny.
49
Zwiazek miedzy wspólrzednymi sferycznymi a
kartezjanskimi
P
z
?
r
y
(25)
x
?
50
Funkcje falowa mozna przedstawic jako iloczyn
dwóch fukcji
(26)
(27)
We wspólrzednych sferycznych
Zastepujac funkcje ? iloczynem R Y, równanie
(24) mozna napisac w postaci
(28)
51
Mnozac to równanie przez r2/RY i przenoszac czesc
wyrazów na prawa strone, otrzymujemy
(29)
Lewa strona równania zalezy tylko od r, prawa od
? i ?. Kazda ze stron musi byc równa pewnej
stalej np. ?
(30)
52
(31)
Równanie (31) nazywane jest równaniem funkcji
kulistych. Równanie to ma rozwiazanie
jednoznaczne, skonczone ciagle tylko wtedy, jezeli
(32)
? l(l 1) l 0, 1, 2,........
Czesc katowa funkcji falowej jest opisana
funkcjami kulistymi Ylm(?, ?), których ilosc jest
okreslona wskaznikami l i m, nazywanymi liczbami
kwantowymi. Przyjmuja one wartosci l 1, 2,
3,... Liczba kwantowa orbitalnego momentu
pedu m 0, ?1, ?2,..?l
Magnetyczna liczba kwantowa
(33)
53
Ogólne wyrazenie na funkcje kuliste jest
skomplikowane, przykladowe funkcje sa podane nizej
(34)
(35)
Podstawiajac do równania czesci radialnej funkcji
falowej wyrazenie (32) otrzymamy
(36)
54
Równanie to mozna zapisac jako (40), wprowadzjac
podane nizej oznaczenia. Podane sa równiez
wartosci wprowadzonych parametrów.
(37)
(38)
(39)
55
(40)
Równanie to ma rozwiazanie jednoznaczne,
ciagle i skonczone pod warunkiem, ze
(41)
n jest liczba naturalna spelniajaca warunek
(42)
56
Ogólne rozwiazanie równania (40) ma postac
skomplikowana. Przykladowo dla n 1 i l 0 mamy
(43)
Stale E i E1 w równaniu (40) maja wymiar
energii, natomiast warunek (41) wskazuje na to,
ze równanie Schrödingera dla elektronu zwiazanego
ma tylko wtedy rozwiazanie, gdy energia elektronu
En jest skwantowana.
n 1, 2, .. Glówna liczba kwantowa
(44)
57
Energia elektronu zwiazanego jest skwantowana i
przyjmuje wartosci ujemne.
Najnizszy poziom energii (n 1) nazywany jest
podstawowym, wszystkie poziomy, dla których n gt1
- poziomami wzbudzonymi. W stanie wzbudzonym
atom przebywa krótko, rzedu 10-8 s, nastepnie
elektron wraca do swego stanu podstawowego,
bezposrednio, lub poprzez poziomy posrednie.
Nadmiar energii zostaje wypromieniowany w postaci
jednego, lub wiecej fotonów.
Energia emitowanego fotonu
(44)
Pobranie duzej porcji energii przez atom moze
spowodowac jonizacje - oderwanie sie elektronu od
atomu.
58
Serie widmowe wodoru (nie pokazano poziomów o n
gt 6)
?
E eV
5
4
3
Seria Paschena
2
Seria Balmera
1
Seria Lymana