Geometrijske konstrukcije Iva Jerkovic

1
Geometrijske konstrukcijeIva Jerkovic Maja
Pavic, 3.d
2
Metodika rješavanja konstruktivnih zadataka

• KONSTRUKTIVNA GEOMETRIJA je dio geometrije u
  kojem se proucavaju metode i teorija
  geometrijskih konstrukcija
• KONSTRUKTIVNI GEOMETRIJSKI LIK je osnovni pojam
  konstruktivne geometrije, on se uzima bez
  definicije
• RAVNALO i ŠESTAR su osnovni instrumenti
  geometrijskih konstrukcija
• OSNOVNE KONSTRUKCIJE su niz jednostavnih
  konstrukcija na koje se svode složenije
  konstrukcije

3
Osnovne konstrukcije su........

• Prenošenje dužine
• Prenošenje kuta
• Konstrukcija simetrale i polovišta dužine
• Konstrukcija simetrale kuta
• Konstrukcija paralele s danim pravcem kroz danu
  tocku
• Konstrukcija okomice iz dane tocke na dani pravac
• Dijeljenje dužine u zadanom omjeru
• Konstrukcija S-S-S
• Konstrukcija S-K-S
• Konstrukcija S-K-K
• Konstrukcija S-Sgt-Kgt

4
Konstruktivni zadatak......

• sastoji se u konstrukciji nekog lika s unaprijed
  zadanim instrumentima
• rješenje konstruktivnog zadatka je svaki lik koji
  zadovoljava postavljene uvjete
• riješiti konstruktivni zadatak znaci svesti taj
  zadatak na konacan broj osnovnih konstrukcija ili
  vec riješenih zadataka
• konstruktivni zadatak može biti moguc, nemoguc,
  rješiv, nerješiv, odreden, preodreden,
  jednoznacan, višeznacan

5

• Cetiri koraka rješavanja konstruktivnih zadataka
• 1.Analiza konstruktivnog zadatka...je traženje
  nacina rješavanja toga zadatka tj. proces
  njegovog svodenja na osnovne konstrukcije
• 2.Konstrukcija...izvodi se nakon provedene
  analize
• 3.Dokaz...pomocu njega se prikazuje da nadeni lik
  zadovoljava postavljene uvjete i da je svaki
  korak u konstrukciji moguc
• 4.Rasprava...odgovaramo na pitanja o mogucnosti
  izvodenja konstrukcije na odabran nacin, o broju
  rješenja za svaki izbor danih velicina....

6
Konstruktivne metode......

• postoji niz razvijenih metoda u teoriji
  geometrijeskih konstrukcija
• glavne metode rješavanja konstruktivnih zadataka
  su
• Metoda presjeka
• Metoda pomocnih likova
• Metoda osne simetrije

• Metoda rotacije
• Metoda centralne simetrije
• Metoda translacije
• Metoda homotetije
• Metoda slicnosti
• Metoda inverzije
• Metoda afinosti
• Metoda kolineacije

7
1. Metoda presjeka......

• Osnovna ideja metode presjeka vrlo je jednostavna
• Rezultat su dva skupa tocaka, istaknuta tocka
  traženog lika mora zadovoljavati oba uvjeta
• BIT METODE PRESJEKA...
• Zadaca se svodi na konstrukciju jedne tocke
• Uvjet se rastavlja na dva dijela od kojih svaki
  vodi na jednu krivulju za traženu tocku
• Tražena tocka je sjecište dobivenih krivulja
• Da bi konstrukcija bila elementarna, nužno je da
  svaka od dobivenih krivulja bude pravac ili
  kružnica

8
1. primjer

• Konstruirajmo trokut ABC kojemu su zadane duljine
  a i b dviju njegovih stranica i duljina vc visine
  iz vrha C
• ANALIZA
• Buduci da je zadana duljina a, vrhovi B i C
  lako se konstruiraju. Treci vrh A mora
  zadovoljavati sljedeca 2 uvjeta
• 1. tocka A mora biti udaljena od tocke C za
  duljinu b
• 2. tocka A mora biti udaljena od pravca BC za
  duljinu va
• Skup svih tocaka koje zadovoljavaju prvi uvjet je
  kružnica sa središtem u tocki C i polumjera b
• Skup svih tocaka koje zadovoljavaju drugi uvjet
  su dva pravca paralelna s pravcem BC i od njega
  udaljena za va

9
KONSTRUKCIJA

• Stranica BCB, polupravac BD, CBD?k(B,a)
• Kružnica k (C,b)
• Okomica o tockom C na pravac BCP,Q ? o ? k(C,va)
• Pravci p i q tockama P i Q paralelni s pravcem BC
• Vrh A p ? k(C,b), q ? k(C,b)? A1,A2,A3,A4
• RJEŠENJA trokuti A1BC, A2BC, A3BC, A4BC

10
(No Transcript)
11
DOKAZ

• Dokaz je na temelju analize ocigledan
• RASPRAVA
• zadatak ima 0,2 ili 4 rješenja vec prema tome
  je li b manji, jednak ili veci od va. U slucaju
  kad zadatak ima 2 ili 4 rješenja, po dva su
  rješenja sukldna i ona se obicno ne promatraju

12
2. Metoda pomocnih likova.....

• Cesto se koristi dio crteža kako bi se dobio neki
  pomocni lik ciju konstrukciju na temelju poznatih
  cinjenica nije teško provesti
• Do njih dolazimo produživanjem ili skracivanjem
  nek dužine, povlacenjem dodatnih dužina, paralela
  ili okomica.....
• Nakon konstrukcije pomocnog lika na lako uocljiv
  nacin slijedi konstrukcija traženog lika

13
2. primjer

• Konstruirajmo pravokutan trokut ABC ako je zadan
  njegov kut i zbroj ab duljina a i b njegovih
  kateta
• ANALIZA
• ?neka je ABC traženi pravokutni trokut, trokut
  je potrebno nadopuniti novim elementima tako da
  dobije lik u kojem je jedan element dužina
  duljine ab. Postoje dvije uocljive mogucnosti
  produživanje katete AC i produživanje katete BC.
  Odabrat cemo prvu.
• ?produžimo katetu AC za dužinu CD duljine a.
  Promatrajmodobiveni trokut ABC. On ima s
  pravokutnim trokutom zajednicku stranicu AB i
  može se konstruirati. Nakon toga nije teško
  konstruirati ni pravokutni trokut ABC

14
KONSTRUKCIJA

1. Dužina AD tocka A, polupravac AP, DAP ? k(A,
   ab)
2. Kut DAK a(prenošenje kuta)
3. Kut ADB 45 (simetrala DQ pravog kuta)
4. Vrh B AK ? DQ
5. Okomica iz tocke B na polupravac AP
6. Vrh C presjek okomice i polupravca AP
7. RJEŠENJE trokut ABC

15
(No Transcript)
16
RASPRAVA

• Zadatak ima samo jedno rješenje jer kut a
  jednoznacno odreduje pravac i smjer hipotenuze c.