ENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE et MAITRISE DE L'ESPACE

1
ENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE et MAITRISE DE
L'ESPACEà lECOLE PRIMAIRE et au COLLEGE

• Marie-Hélène Salin
• Des commentaires complètent les diapos.
• Ne pas regarder sous la forme diaporama

2
Partie I

• Que recouvre lexpression  maîtrise de lespace
  ? 
• Une personne manifeste une certaine maîtrise de
  lespace si elle est capable de résoudre
  lessentiel des problèmes spatiaux quelle
  rencontre

3
Problèmes spatiaux

• - leur finalité concerne l'espace sensible
• - ils peuvent porter sur la réalisation
•  d'actions fabriquer, se déplacer, déplacer,
  dessiner, etc..
•  de communications à propos d'actions ou de
  constats. Le langage et les représentations
  spatiales permettent de communiquer des
  informations qui se substituent à la perception.
• - la réussite ou l'échec est déterminée par le
  sujet par comparaison entre le résultat attendu
  et le résultat obtenu.

4
Un exemple dans les métiers du bâtiment les
activités de lecture-tracé
Exemple tiré de la recherche en cours de A.
Bessot et C. Laborde Projet École et sciences
cognitives  Activités et formation
professionnelles simulations informatiques
comme aide à la conceptualisation 
5
Plan de fabrication prédalle 2
6
Quelques questions abordées dans la première
partie

• Dans quelle mesure lenseignement de la géométrie
  dans la scolarité obligatoire participe-t-il au
  développement de la maîtrise de lespace chez les
  élèves ?
• Est-ce une finalité de cet enseignement ?
• Si oui, comment est-elle prise en compte dans les
  programmes ?
• Avec quels résultats ?

7
Les finalités générales de la scolarité
obligatoire

• Deux fonctions de la scolarité obligatoire
• - préparer les élèves aux apprentissages
  ultérieurs, en particulier professionnels et
  scolaires,
• - les préparer à assumer les décisions quils
  doivent prendre dans leurs milieux de vie.
• De ce double point de vue,
• des connaissances et des compétences spatiales
  minimales sont nécessaires

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Les finalités de lenseignement de la géométrie
dans la scolarité obligatoire

• A lécole primaire,
• cet enseignement, qui se nomme  espace et
  géométrie , doit aider lélève à se situer dans
  lespace, à décrire des situations spatiales et à
  pouvoir y agir par la connaissance des notions
  géométriques élémentaires et lusage des
  instruments et du mesurage.

9
Les finalités de lenseignement de la géométrie
dans la scolarité obligatoire

• Par contre, au collège, cest moins clair
• -  lemploi de loutil mathématique est
  précieux dans de multiples circonstances, de la
  gestion familiale à lactivité scientifique ou
  professionnelle .
• - Dans les objectifs généraux pour le collège, la
  priorité semble donnée au raisonnement
  géométrique
• - est notée la familiarisation avec des
  représentations de lespace

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Des programmes à la pratique effective

• En primaire
• Au collège
• La faible place accordée aux connaissances
  spatiales est justifiée si leur acquisition se
  fait quasi-spontanément, dans les interactions
  familières de l'enfant avec le milieu spatial.
• Est-ce bien le cas ? Quelques exemples

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Quelques résultats concernant les compétences des
élèves à l'issue de l'école primaire

• Exemple 1 lorientation dun plan pose problème
  à beaucoup délèves de 11 ans

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Lorientation dun plan

• Nos résultats montrent que les trois-quart de
  ces élèves de 10-11 ans ne maîtrisent pas
  convenablement l'utilisation d'un plan dans une
  activité d'anticipation spatiale, et que 40
  d'entre eux sont même assez loin de la
  compréhension des propriétés spatiales en jeu
  dans une mise en oeuvre correcte

13
Quelques résultats concernant les compétences des
élèves à l'issue de l'école primaire

• Exemple 2
• Les connaissances enseignées en primaire ne
  sont guère disponibles pour résoudre des
  problèmes posés dans un autre espace que la
  feuille de papier

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Résoudre des problèmes posés dans un autre espace
que la feuille de papier
15

• - Presque tous les élèves prennent les mesures
  des (4 ou 2) côtés, placent deux pastilles, et
  ajustent les deux autres par tâtonnement pour que
  les 3 distances restantes correspondent aux
  longueurs.
• - Très peu délèves (moins de 10) recourent à
  une utilisation immédiate de léquerre et font un
  positionnement convenable des quatre coins.
• - Les élèves constatent donc un échec massif à la
  réalisation, lorsquon tente de placer les coins
  du tapis sur les marques faites au sol.

16

• - parmi les élèves qui échouent, plus de 60 sont
  incapables dentrevoir lorigine de leur échec et
  imputent celui-ci à une erreur de prise des
  longueurs.
• - Pourtant, les évaluations ministérielles
  montrent que les concepts enseignés sont
  relativement bien acquis quand les épreuves sont
  classiques

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Évaluation 6éme

• a. On a commencé le dessin du carré ABCD. Termine
  le dessin de ce carré
• 4èmesommet correctement placé  84,7
•  b. Trace le cercle de centre B passant par A.
• tracé correct 76,2

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Quelques résultats concernant les compétences des
élèves de lenseignement technique

• Exemple 3 Les opérations nécessaires à la
  maîtrise de la représentation des objets de
  l'espace ne sont pas construites chez de nombreux
  élèves de 15 ans

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Représentation des objets de l'espace

• 30 à 40 des élèves narrivent pas à changer de
  point de vue d'observation pour repérer la
  troisième dimension. 
• Toute linformation est demandée à la vue de
  face, stéréotype représentatif,
• De grandes difficultés à sortir du stéréotype
  pour choisir une autre vue de face. 

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Les difficultés des élèves (et des
professionnels) des métiers du bâtiment 

•  un nombre significatif de litiges entre le
  fabricant et le client résultent derreurs
  commises par les ouvriers dans la tâche de
  lecture - tracé (30 de litiges déclarés) .

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Partie II

• Pourquoi lenseignement de la géométrie
  semble-t-il si peu efficace du point de vue des
  compétences spatiales, telles que définies
  ci-dessus ?
• Quelques interrogations plus précises.

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• 1 comment sont liées les connaissances
  spatiales et les connaissances géométriques ?
• 2 les compétences et connaissances spatiales
  ont-elles besoin dêtre enseignées ?
• 3 si on vise une certaine maîtrise spatiale,
  peut-on limiter les rapports avec lespace à des
  rapports avec des représentations (travail sur
  les plans) ou des figures de lespace graphique ?
• 4 au collège, quels peuvent être les effets de
  la centration de lenseignement sur la
  démonstration, du point de vue de la maîtrise de
  lespace ?

23
1. Connaissances spatiales et connaissances
géométriques

• Nous avons pris le point de vue suivant
• d'une part différencier les types de
  connaissances (spatiales / géométriques) par les
  types de situations et de problèmes dans
  lesquelles elles sont mobilisées.
• d'autre part prendre le terme  géométrie  au
  sens strict, c'est-à-dire renvoyant à une branche
  des mathématiques.

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Problème de géométrie

• Les problèmes de géométrie, au sens où ce mot est
  employé en mathématiques
• Résoudre un problème de géométrie est une
  activité qui concerne le caractère nécessaire de
  certaines propriétés des objets de la géométrie.
• Un exemple simple Construire un segment AC de
  5 cm de longueur et un triangle ARC tel que AR
  3 cm et RC 4 cm. Quelle est la nature du
  triangle ARC ?
• Un raisonnement géométrique permet de prévoir que
  le triangle ARC est rectangle en R, en sappuyant
  sur les données et un théorème, la réciproque du
  théorème de Pythagore

25

• Une  figure-dessin  peut soutenir le
  raisonnement, mais le constat des propriétés sur
  la  figure-dessin  ne permet pas de valider la
  proposition mise à l'étude.
• Les situations de géométrie mettent donc en
  interaction un sujet  mathématicien  avec un
  milieu qui n'est plus l'espace physique et ses
  objets mais un espace conceptualisé.
• Les connaissances géométriques (dont sont
  extraites celles enseignées dans le secondaire)
  constituent un savoir la géométrie euclidienne

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Les rapports entre connaissances spatiales et
connaissances géométriques

• leur genèse seffectue différemment 
• ce sont les problèmes spatiaux qui ont donné
  naissance à la géométrie
• Les connaissances géométriques sont des outils
  pour la résolution des problèmes spatiaux 
• Le vocabulaire  points communs et différences
• L'organisation des connaissances

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En conclusion

• Les connaissances spatiales et les connaissances
  géométriques
• - ne sont pas mobilisées dans le même type de
  problèmes,
• - ne se recouvrent pas les unes les autres,
• - on ne peut pas faire de géométrie sans un
  minimum de connaissances spatiales
• - dans notre société, un minimum de
  connaissances géométriques sont nécessaires pour
  résoudre des problèmes spatiaux ordinaires ou
  professionnels.

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2. Les compétences et connaissances spatiales
ont-elles besoin dêtre enseignées ?

• Deux problématiques possibles pour la résolution
  des problèmes spatiaux
• Un exemple hors école, pour comprendre lenjeu de
  cette distinction Le vitrier

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La problématique pratique

• Cest la problématique de la vie courante, des
  problèmes spatiaux  ordinaires . Le sujet tente
  de les résoudre de la manière la plus rapide
  possible. Si la solution n'est pas satisfaisante,
  le sujet va l'ajuster à la solution attendue par
  une suite de corrections immédiates, sans se
  soucier de corriger la méthode utilisée
  initialement pour l'obtenir

30
La problématique de modélisation

• Cest la problématique dans laquelle se situent
  les  professionnels , ingénieurs, techniciens.
• Le problème concerne l'espace sensible. Comme
  pour la problématique pratique, la solution doit
  pouvoir être validée dans l'espace sensible. Mais
  la solution doit être reproductible, dépassant le
  problème immédiat.

31
La problématique de modélisation

• la solution d'un problème par modélisation doit
  être construite dans le système symbolique du
  modèle
• L'interprétation dans l'espace sensible de la
  solution construite dans le modèle permet la
  validation pragmatique de l'ensemble de la
  démarche
• Modélisation spatio-géométrique modélisation
  de l'espace par des connaissances issues du
  savoir géométrique,
• Modélisation analogique modélisation d'un
  espace par un autre  schéma, dessins, plans,
  etc..

32
Retour sur lenseignement des connaissances
spatiales

• La problématique pratique est présente dès la
  naissance. De nombreuses compétences spatiales de
  base se développent, relayées et approfondies par
  certaines situations denseignement à lécole
  maternelle et au cycle 2,
• La problématique pratique ne suffit plus sitôt
  quest visée une certaine modélisation, même très
  élémentaire, des problèmes spatiaux, quils
  relèvent des connaissances  analogiques  ou
   spatio-géométriques .

33
3. Peut-on limiter les rapports avec lespace à
des rapports avec des représentations (travail
sur les plans) ou des figures de lespace
graphique ?
34
Exemple 1  le travail sur le plan
35
Exemple 2 le déplacement du tapis

• Les élèves ont appris à dessiner des rectangles
  sur du papier, et à parler de ses propriétés.
  Mais ils n'ont jamais ressenti la nécessité
  d'utiliser effectivement les propriétés des
  angles droits. Pourquoi ? Parce qu'ils utilisent
  d'autres propriétés pour contrôler leurs dessins
  sur papier. Par exemple, ils peuvent contrôler la
  forme par des moyens perceptifs qui sont très
  efficaces dans ce micro-espace.

36

• Pour résoudre le problème, les élèves doivent se
  transporter dans un espace qui n'est plus
  l'espace symbolique de la géométrie, où ils ne
  peuvent plus contrôler une forme d'un seul coup
  d'oeil (comme sur le papier), et le modifier
  immédiatement. Ils doivent reconstruire tout le
  modèle géométrique lignes joignant deux points
  (places des coins), et contrôler la position
  relative des lignes avec des angles ils doivent
  aussi contrôler les liens entre l'espace et le
  modèle.

37
Pour conclure à propos de lenseignement
primaire

• Les connaissances dont disposent les élèves
  concernent surtout lespace de la feuille de
  papier.
• Lenseignement de lespace et de la géométrie à
  lécole primaire sous-estime la difficulté
  dacquisition des connaissances spatiales.
• Il laisse à lélève la charge détablir des
  rapports adéquats entre lespace et les concepts
  qui lui sont enseignés.

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4. Les effets du changement de rapport aux
figures initié en 6ème

• Depuis vingt ans, les programmes privilégient un
  passage en douceur de la géométrie
   instrumentée  à la géométrie  déductive  et
  évoquent pour la classe de 6ème la mise en place
  de  courtes séquences déductives 
• Dans la plupart des manuels, il y a confusion
  entre séquence déductive et démonstration.
• Pour essayer daider les élèves, des moyens
  différents sont proposés

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Essayer de convaincre les élèves que mesurer ou
utiliser les instruments est imprécis
40
Mesurer ou utiliser les instruments est imprécis

• Il sagit dintroduire la nécessité de la
  démonstration en disqualifiant la mesure, trop
  imprécise, sans prendre en compte le fait que les
  deux méthodes (mesure et logique) pour vérifier
  la vérité dune assertion, sappliquent à des
  objets de nature complètement différente. Une
  personne qui veut savoir si ses murs sont
  déquerre devrait-elle renoncer à lemploi dune
  équerre ou à des mesurages sous prétexte que ces
  mesures peuvent être imprécises ?

41
Développer un apprentissage systématique du
codage et de règles de prélèvement dinformations
sur une figure
42
Introduire en 6ème des figures à main levée,
dès les premiers chapitres de géométrie
43
Quelles conséquences pour le développement des
compétences spatio-géométriques ?

• Les exercices présentés ont toutes chances dêtre
  incompréhensibles pour des élèves de 6ème
  puisquils renvoient à un type de rapport à la
   figure-dessin  spécifique de la géométrie
  mathématique qui leur est étrangère.
• Selon les moments, tantôt le professeur a les
  mêmes exigences en 6ème quau CM2 (géométrie
  instrumentée), tantôt il  démolit  les
  connaissances que lélève a mis plusieurs années
  à acquérir et qui lui permettent davoir prise
  sur le réel. Comment ce dernier pourrait-il sy
  retrouver ?

44

• La disqualification du rapport spatial aux
  figures-dessins, sans justification accessible
  aux élèves, les conduit à adopter des
  comportements incompréhensibles si on ne les
  remet pas dans ce contexte
•  Même quand il sagit de construire un patron de
  cube, dont jai donné les dimensions, les élèves
  ne les respectent pas, ils nassocient
  visiblement pas un patron à un objet précis mais
  plutôt à une famille dobjets  (PLC2, à propos
  de ses élèves de 5ème)

45
Partie IIIA

• Quelques pistes à lécole primaire
• - Introduire, dès l'école primaire, les savoirs
  géométriques de base comme outils pour résoudre
  effectivement des problèmes spatiaux.
• - Utiliser la feuille de papier comme laboratoire
  

46
Exemple 1 Alignement et visée

• Objectifs
• - introduire la notion dalignement dans une
  situation spatiale, en liaison avec la visée et
  le fait que si lœil est dans lalignement
  déterminé par deux objets  quasi ponctuels ,
  lobjet le plus proche de lœil cache lautre.
• - relier alignement-visée et ligne droite
• - travailler simultanément dans le méso-espace et
  dans lespace de la feuille de papier.

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(No Transcript)
48
Le viseur(posé sur une table roulante support de
rétro)
49
Déroulement en 6ème de SEGPA

• Phase 1 jeu par équipes
• Phase 2 jeu par deux puis représentation sur un
  plan
• Phase 3 nouveau jeu par équipes
• Phase 4 institutionnalisation
•  depuis la position où on veut mettre la
  bouteille, regarder le poteau et le viseur. Il
  faut que le poteau cache le trou du viseur. 
• ou   la bouteille, le poteau et le viseur
  doivent être alignés 

50

• Phase 5 plus de viseur
• Il faut aligner sur le sol quatre croix en légos
  avec des contraintes.
• Matériel des ficelles, une règle de maçon

51
Réinvestissement et entraînement
Ex 1 Choisis une place pour le viseur, doù on
ne voit pas la bouteille
52
Exemple 2 (C. Maurin ) Jouer aux maçons en
traçant les contours dune maison de 12 mètres
sur 9 m

• Premier essai en général, fabrication de
  parallélogrammes non rectangles. Quelques-uns
  utilisent léquerre, les résultats ne sont pas
  fameux
• Travail sur le plan à la recherche dautres
  propriétés. Découverte de légalité des longueurs
  des diagonales et de lexistence du centre du
  rectangle
• Les figures qui ont la propriété énoncée
  sont-elles des rectangles ? Recherche sur feuille

53

• Retour sur le terrain recherche dune procédure
  adaptée à la taille de lespace
• Enrichissement de la carte didentité du
  rectangle
• Conclusion de C. Maurin
•  Le fait de poser un problème de construction
  dans lequel les dimensions de la figure dépassent
  largement la taille des élèves peut les amener à
  remettre en cause leur mode de fonctionnement
  spontané et à entrer dans un questionnement de
  nature géométrique. La feuille de papier change
  de statut et devient un laboratoire
  dexpérimentation graphique. 

54
Partie IIIB

• Quelques pistes en 6ème pour introduire au
  raisonnement déductif en confortant un juste
  rapport à lespace

55
Elaborer un raisonnement déductif est possible
dès la fin du cycle trois

• Un exemple de test réussi, après un certain type
  travail. Le texte est donné sans figure
• On a donné à un enfant une figure qui
  ressemble beaucoup à un carré, en lui disant de
  vérifier si c'est bien un carré. Il a mesuré les
  quatre côtés et trouvé qu'ils étaient de même
  longueur. Il a vérifié ensuite un angle avec son
  équerre. Il a trouvé qu'il n'était pas droit. Il
  a alors dit  Ce n'est pas la peine que je
  vérifie les autres angles, je suis sûr que cette
  figure n'est pas un carré.  Es-tu d'accord avec
  lui? Justifie ta réponse.

56
Des conditions favorablessinon nécessaires

• Le raisonnement est nécessaire pour anticiper la
  solution dun problème spatial.
• Des contextes différents sont accessibles aux
  élèves
• - espace de la feuille de papier mais avec des
  limitations (ex 1. M. Le Berre)
• - prévoir des mesures dun espace effectif à
  laide dun raisonnement sur un schéma (ex 2)
• - prévoir des propriétés à partir de la
  représentation en perspective dun solide
   existant  (ex 3)

57
Parallèles et perpendiculaires.Introduction du
théorème
58
Adaptation dun item de lévaluation 5ème
59
Adaptation dun item de lévaluation 5ème
(envisageable après lintroduction de schémas
comme moyen de communication dinformations
spatiales)

• Consigne   je vous donne un schéma qui décrit
  la figure que jai dessinée, mais je ne vous la
  montre pas ! Vous devez être capables de trouver
  la mesure du segment EB à laide des informations
  écrites sur le schéma. Quand vous aurez tous fait
  votre prévision, je relèverai les résultats, nous
  essaierons de comprendre comment vous avez trouvé
  et nous vérifierons ensuite sur mon dessin. 

60
Prévoir des propriétés sur une
représentationavant de vérifier sur le solide

• Essaie de prévoir à partir du dessin en
  perspective
• - Quelle est la nature des triangles EFG, BFG,
  AFB ?
• Quelle est la nature du quadrilatère EIJF ?
• Vérifie sur ton cube

61
En guise de conclusion

• On ne peut espérer enrichir lexpérience spatiale
  des élèves de lapport de la géométrie
  mathématique si dans lenseignement, dès le
  départ, on ne leur permet pas dexpérimenter son
  intérêt en tant que moyen danticipation, dans
  des situations bien choisies.
• Dans ces situations, le problème doit être posé
  de telle manière que la problématique pratique ne
  puisse être mobilisée.

62

• Cette façon de travailler suscite des questions
• - dordre matériel comment sorganiser ?
• - dordre conceptuel, en particulier, comment
  aider les élèves à différencier la qualité dune
  production et la qualité dune démarche de
  résolution ?
• - dordre pédagogique combien de situations
  de ce type ? comment mener les mises en commun,
  institutionnaliser, construire des exercices ?
  etc..

63
Cest pour cela que la retraitée que je suis dit
aux plus jeunes, enseignants et chercheurs
 Continuez les recherches . 
64
Bibliographie

• BERTHELOT R. et SALIN M.H. (1994), Lenseignement
  de la géométrie à lécole primaire, Grand N n 53
  IREM de Grenoble
• BERTHELOT R. et SALIN M.H. (1999), L'enseignement
  de lespace à lécole primaire Grand N n 65
• BERTHELOT R et SALIN M.H.(2001), L'enseignement
  de la géométrie au début du collège Comment
  concevoir le passage de la géométrie du constat à
  la géométrie déductive ? Petit x n 56 IREM de
  Grenoble

65

• Bessot A. Laborde C.( 2005)
•  Vers une modélisation dune géométrie en actes
  dans les activités de lecture-tracé du bâtiment 
  Actes du séminaire national de didactique des
  mathématiques Année 2005 ed IREM Paris 7
• brochure inter-IREM (2001)  Articulation
  Ecole-Collège des activités géométriques 
• IREM Paris 7

66

• I.N.R.P. (1984) L'apprentissage de la géométrie
  du dessin technique Des constats d'échec et des
  moyens de réussite. Collection "rapports de
  recherche" 1984 n9
• Jaffrot Al (1997) Lire et écrire en
  mathématiques Des mathématiques au cycle central,
  Editions IREM de Nantes
• Revue Grand N de nombreux articles traitent de
  lenseignement de la géométrie en cycle 3