CODICI

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CODICI
Si ringrazia il prof. Di Santo per aver
gentilmente messo a disposizione il proprio
materiale per la preparazione di alcune delle
slides presenti in questa dispensa.
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Codici Ridondanti
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Codici Ridondanti

• Per consentire la rilevazione e la correzione di
  errori si ricorre frequentemente a codici
  ridondanti, ovvero che utilizzano un numero
  maggiore di bit rispetto al numero strettamente
  necessario per codificare linsieme sorgente. Ad
  esempio
• m bit di dati (linformazione da trasmettere)
• r bit di controllo (bit ridondanti)
• ciascuna parola codice utilizza n mr bit

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Distanza di Hamming

• La distanza di Hamming di due parole di codice w1
  e w2 è il numero di bit 1 in w1 XOR w2
• Rappresenta il numero di bit da invertire per
  trasformare una parola di codice nellaltra
• Ad esempio, se
• w1 10001001
• w2 10110001
• w1 XOR w2 00111000
• la distanza di Hamming tra w1 e w2 è pari a 3

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Distanza di Hamming (2)

• Se un codice deve rilevare d errori, la sua
  distanza di Hamming deve essere almeno pari a d1
• Se la distanza fosse minore, un burst di d errori
  potrebbe trasformare una parola di codice in
  unaltra parola di codice lerrore non sarebbe
  rilevato
• Se un codice deve correggere d errori, la sua
  distanza di Hamming deve essere almeno pari a
  2d1
• Un burst di d errori al massimo trasforma una
  parola di codice in una sequenza di bit a
  distanza al più d dalla parola di codice corretta
  e a distanza almeno d1 da tutte le altre parole
  di codice

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Distanza di Hamming (3)
Quante sono le parole codice di 8 bit aventi
distanza di Hamming 2 da una parola di codice
assegnata avente la stessa lunghezza?
Occorre numerare tutte le possibili combinazioni
semplici di 2 bit su 8. Combinazione Semplice
(fonte Manabile di Matematica -) Dati n
oggetti distinti e un numero intero positivo
kn,si dicono combinazioni semplici di classe k
tutti i gruppi che si possonno formare con k
degli n oggetti considerando diversi due gruppi
quando differiscono di almeno un
elemento. Numero di combinazioni semplici di k
oggetti su n n n! 8 8!
78
28 k k!(n-k)! 2 2!6! 2
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Codici per la correzione degli errori
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Replicare i bit di controllo

• Un modo semplice per creare codici a correzione
  derrore consiste nel replicare linformazione.
• Dato un messaggio di m bit si costruisce una
  parola di codice con 2d copie di ciascuno dei bit
  del messaggio (r 2dm).
• La distanza di Hamming del codice è 2d1, quindi
  può correggere d errori
• Il codice non è efficiente se d 2, l80 dei
  bit sono ridondanti.

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Codice di Hamming

• Il codice di Hamming (1950) è un particolare
  codice a correzione derrore
• Consente di correggere 1 singolo errore
• Ha un numero di bit di controllo pari al limite
  teorico inferiore (m12r-r)
• Funziona con qualunque dimensione del messaggio m

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Codice di Hamming (2)

• I bit della parola di codice vengono numerati da
  sinistra verso destra cominciando con lindice 1
• I bit di controllo sono quelli aventi come indice
  una potenza di due (1, 2, 4,8, 16, . . . )
• I bit del messaggio sono tutti gli altri bit
  della parola di codice, nellordine il bit di
  controllo con indice 2k è il bit di parità dei
  bit del messaggio i cui indici hanno il termine
  2k nella loro scomposizione in somma di potenze
  di due

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Codice di Hamming (3)

• In ricezione, ciascun bit di controllo viene
  ricalcolato
• Se tutti i valori dei bit di controllo sono
  corretti, la parola di codice viene accettata
• Se alcuni bit di controllo hanno valori non
  corretti, lindice del bit in cui si è verificato
  lerrore è dato dalla somma degli indici dei bit
  di controllo con valore sbagliato

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Codice di Hamming Esempio 1
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Codice di Hamming Esempio 1
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Codice di Hamming Esempio 2
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Codice di Hamming Esempio 3
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Codice di Hamming Esempio 4
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Codice di Hamming Esempio 5
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Codice di Hamming Esempio 6
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Codice di Hamming Esempio 7
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Codice di Hamming per burst di errori
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(No Transcript)
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Codici per il rilevamento degli errori

• I codici per il rilevamento di errori sono in
  pratica più diffusi dei codici per la correzione
  di errori
• i codici per il rilevamento sono molto più
  efficienti dei codici per la correzione (meno
  ridondanza nei bit trasmessi)
• se un codice per la correzione di 1 errore
  indica che un bit è errato, vi è una probabilità
  non trascurabile che si sia verificato un intero
  burst di errori (gli errori tendono ad addensarsi)

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Codici per il rilevamento degli errori
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Bit di parità per burst di errori

• Un metodo per rilevare interi burst di al più k
  errori basato sul bit di parità è il seguente
• distribuire i bit da trasmettere in una matrice
  con righe di k bit
• per ciascuna colonna, calcolare il relativo bit
  di parità
• inviare la prima riga, poi la seconda riga,
  eccetera
• inviare come ultima riga i bit di controllo
• Un burst di al più k errori è sempre rilevato,
  perchè modifica al più un bit per ciascuna
  colonna
• La probabilità che un burst di p errori (p gt k)
  non venga rilevato è 1/2p

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(No Transcript)
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• Il codice fallisce nellinviduare gli errori
  doppi che modificano i bit di parità sulla riga i
  e colonna j, rilevando erroneamente un errore
  singolo in posizione i,j.
• Al contrario consente di
• rilevare errori doppi sulla stessa riga
  (rispettivamente colonna) in tal caso si
  rilevano due errori di parità sulle relative
  colonne (rispettivamente righe).
• correggere errori doppi in posizioni
  appartenenti a righe e colonne differenti 4
  errori di parità