Lezione 6 Inferenza statistica

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Lezione 6Inferenzastatistica
2
parte 2Stime per punti e per intervalli della
varianza
3
la varianza
4
la varianza, la tolleranza e lo scarto
5
la varianza , la tolleranza e lo scarto
95 100 105
6
La varianza campionaria correttacome strumento
di inferenza

• Si definiscono stimatori quelle statistiche che
  vengono usate per stimare un parametro o una sua
  funzione.
• I valori ottenuti mediante gli stimatori si
  dicono stime del parametro.
• La varianza campionaria corretta Sn2 può essere
  usata come stimatore della varianza relativa
  allintera popolazione

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Varianza campionaria corretta e stima puntuale
di s 2

• estraendo da una popolazione per cui è definita
  la variabile casuale X avente densità f (x)
  qualsiasi con media m e varianza s2 un campione
  di n elementi a cui corrisponde linsieme di
  variabili casuali X1, X2, , Xn si può usare
  la varianza campionaria corretta per stimare il
  valore del parametro s 2 relativo allintera
  popolazione.

• il valore ottenuto viene indicato come stima
  puntuale di s 2

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Varianza campionaria corretta e stima puntuale
di s 2

• estraendo da una popolazione per cui è definita
  la variabile casuale X avente densità f (x)
  qualsiasi con media m e varianza s2 un campione
  di n elementi a cui corrisponde linsieme di
  variabili casuali X1, X2, , Xn si può usare
  la varianza campionaria corretta per stimare il
  valore del parametro s 2 relativo allintera
  popolazione.

• come tutti gli strumenti di misura, anche gli
  stimatori sono imperfetti e la loro stima del
  parametro presenta unincertezza che deve essere
  quantificata.

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Incertezza dello stimatore Sn2
Ricordiamo che Estraendo da una popolazione
infinita per cui è definita la variabile casuale
X avente distribuzione normale con media m e
varianza s2 un campione di n elementi a cui
corrisponde linsieme di variabili casuali X1,
X2, , Xn , la varianza campionaria corretta
divisa per s2 fornisce una variabile casuale
che segue una distribuzione modificata di
chi-quadro con n - 1 gradi di libertà
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Incertezza dello stimatore Sn2
11
Incertezza dello stimatore Sn2
Chiediamoci ora Qual è la probabilità che,
estraendo a caso un campione di n elementi da
una popolazione su cui è stata definita una X
con distribuzione normale, il rapporto fra la
varianza campionaria corretta e la varianza
relativa allintera popolazione sia compreso
nellintervallo ?
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Incertezza dello stimatore Sn2
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Incertezza dello stimatore Sn2
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Incertezza dello stimatore Sn2
15
Incertezza dello stimatore Sn2

• partendo dallespressione della probabilità
  dellevento

• si sono ottenute le due espressioni equivalenti

• che giustificano la seguente affermazione

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Incertezza dello stimatore Sn2

• Estraendo a caso un campione di n elementi da
  una popolazione infinita per cui è definita una
  variabile casuale X con distribuzione normale,
  media m e varianza s 2, cè una probabilità
  pari a
• che il valore ottenuto della varianza
  campionaria correttasia compreso
  nellintervallo

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Intervallo di confidenza per la varianza
campionaria corretta Sn2

• Per il nostro scopo, cioè per individuare
  lintervallo di confidenza della varianza,
  conviene sviluppare lespressione dellevento in
  modo diverso

si può scrivere la forma equivalente
18
Intervallo di confidenza per la varianza
campionaria corretta Sn2
ricordando che
19
Intervallo di confidenza per la varianza
campionaria corretta Sn2
dalla
si può scrivere la forma equivalente
20
Intervallo di confidenza per la varianza
campionaria corretta Sn2

• si è quindi ricavato che

• è uguale a

• o, in modo equivalente, è uguale a

• è quindi possibile fare la seguente affermazione

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Intervallo di confidenza per la varianza
campionaria corretta Sn2
Estraendo a caso un campione di n elementi da una
popolazione infinita per cui è definita una
variabile casuale X con distribuzione normale,
media m e varianza s2, cè una probabilità a
pari a che lintervallo casualecontenga
il valore della varianza s2 per lintera
popolazione.
Ia è chiamato intervallo di confidenza allo a
per la varianza
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Intervallo di confidenza allo ... ?

• per bassi valori di n la f (C 2 ) non è
  simmetrica pertanto non è agevole individuare il
  valore di ev da cui si ottiene un intervallo
  simmetrico con una prestabilita confidenza

• esempio gdl 10 C2 0,05 0,394 da
  cui ev 0,6

da cui a 0,85 e non 0,90 !!!
23
Intervallo di confidenza allo 0,90

• per bassi valori di n la f (C 2 ) non è
  simmetrica si preferisce pertanto definire un
  intervallo asimmetrico individuato dai due
  quantili C 2a / 2 e C 21- a / 2
• esempio gdl 10 a
  0,90

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Intervallo di confidenza

• varianza campionaria corretta

• Qual è lintervallo di confidenza della varianza
  per la intera popolazione corrispondente ai due
  quantili C 2a/2 e C 21 - a/2 corrispondenti
  alla confidenza scelta?
• corrisponde alla

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Intervallo di confidenza

• varianza campionaria corretta

• Qual è lintervallo di confidenza della varianza
  per la intera popolazione corrispondente ai due
  quantili C 2a/2 e C 21 - a/2 corrispondenti
  alla confidenza scelta? lintervallo cercato è

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Stima intervallo di confidenza con c2

• varianza campionaria

• avendo introdotto la distribuzione chi-quadro
  è stato possibile affermare che la variabile
  aleatoria c2 segue tale distribuzione con
  n - 1 g.d.l..

27
Stima intervallo di confidenza con c2

• varianza campionaria

• se dispongo dei valori della c2

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Intervallo di confidenza per la varianza
campionaria corretta Sn2
Estraendo a caso un campione di n elementi da una
popolazione infinita per cui è definita una
variabile casuale X con distribuzione normale,
media m e varianza s2, cè una probabilità a
pari a che lintervallo casualecontenga
il valore della varianza s2 per lintera
popolazione.
Ia è chiamato intervallo di confidenza allo a
per la varianza
29
(No Transcript)
30
Intervalli di confidenza per media campionaria
standardizzata con n finito e s 2 sconosciuta
E possibile sostenere che estraendo a caso un
campione X1, X2, , Xn con n finito da una
popolazione su cui è definita una variabile
casuale X con distribuzione normale, media m e
varianza s2 incognite, cè una probabilità pari
a 1 - a che lintervallo casuale con T
variabile distribuita secondo la t di Student con
n -1 g.d.l.e con t1-a/2 il valore del suo
quantile (1 - a/2)contenga il valore della media
m della popolazione. I1-a è lintervallo di
confidenza allo 1 - a per la media m
31
parte 4 esercizi su stime per intervalli della
varianza
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Riassunto stimatori campionari

• varianza campionaria corretta

• se si estrae da una popolazione su cui è definita
  la variabile casuale X avente distribuzione
  normale un campione di n elementi con immagini
  X1, X2, , Xn (con n gt 1) ,
• allora la variabile casuale c 2 segue una
  distribuzione di tipo chi-quadro con n -1 gdl.

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La variabile c2
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Riassunto stimatori campionari

• varianza campionaria corretta

• se si estrae da una popolazione su cui è definita
  la variabile casuale X avente distribuzione
  normale un campione di n elementi con immagini
  X1, X2, , Xn (con n gt 1) ,
• allora la variabile casuale C 2 segue una
  distribuzione di tipo modificata di chi-quadro
  con n -1 gradi di libertà.

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La variabile C2
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Riassunto stimatori campionari

• varianza campionaria corretta

• Qual è la probabilità che il rapporto fra i
  valori della varianza campionaria corretta Sn2 e
  della varianza s2 riferita allintera popolazione
  sia compreso nellintervallo 1 - ev , 1 ev
  ?

se la X ha distribuzione normale la probabilità
cercata corrisponde alla
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Riassunto stimatori campionari

• varianza campionaria corretta

• Qual è la probabilità che il rapporto fra i
  valori della varianza campionaria corretta Sn2 e
  della varianza s2 riferita allintera popolazione
  sia compreso nellintervallo 1 - ev , 1 ev
  ?

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Riassunto stimatori campionari

• varianza campionaria corretta

• Qual è la probabilità che il rapporto fra i
  valori della varianza campionaria corretta Sn2 e
  della varianza s2 riferita allintera popolazione
  sia compreso nellintervallo 1 - ev , 1 ev
  ?

39
Riassunto stimatori campionari

• varianza campionaria corretta

• Qual è quindi la probabilità che il valore della
  varianza s2 riferita allintera popolazione sia
  compreso nellintervallo

• la risposta è semplice

40
Riassunto stimatori campionari

• varianza campionaria corretta

• Qual è quindi la probabilità che il valore della
  varianza s2 riferita allintera popolazione sia
  compreso nellintervallo

• la risposta è semplice

41
Riassunto stimatori campionari

• varianza campionaria corretta

• Qual è quindi la probabilità che il valore della
  varianza s2 riferita allintera popolazione sia
  compreso nellintervallo

• con le nostre tavole

42
Riassunto stimatori campionari

• varianza campionaria corretta

• Qual è quindi la probabilità che il valore della
  varianza s2 riferita allintera popolazione sia
  compreso nellintervallo

• con le nostre tavole

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Intervallo di confidenza allo ... ?

• per bassi valori di n la f (C 2 ) non è
  simmetrica pertanto non è agevole individuare il
  valore di ev da cui si ottiene un intervallo
  simmetrico con una prestabilita confidenza

• esempio gdl 10 C2 0,05 0,394 da
  cui ev 0,6

da cui a 0,85 e non 0,90 !!!
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Intervallo di confidenza allo 0,90

• per bassi valori di n la f (C 2 ) non è
  simmetrica si preferisce pertanto definire un
  intervallo asimmetrico individuato dai due
  quantili C 2a / 2 e C 21- a / 2
• esempio gdl 10 a
  0,90

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Intervallo di confidenza

• varianza campionaria corretta

• Qual è lintervallo di confidenza della varianza
  per la intera popolazione corrispondente ai due
  quantili C 2a/2 e C 21 - a/2 corrispondenti
  alla confidenza scelta?
• corrisponde alla

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Intervallo di confidenza

• varianza campionaria corretta

• Qual è lintervallo di confidenza della varianza
  per la intera popolazione corrispondente ai due
  quantili C 2a/2 e C 21 - a/2 corrispondenti
  alla confidenza scelta? lintervallo cercato è

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Stima intervallo di confidenza con c2

• varianza campionaria

• avendo introdotto la distribuzione chi-quadro
  è stato possibile affermare che la variabile
  aleatoria c2 segue tale distribuzione con
  n - 1 g.d.l..

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Stima intervallo di confidenza con c2

• varianza campionaria

• se dispongo dei valori della c2

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Esercizio 6

• Da questi valori si individuano gli estremi
  dell'intervallo di confidenza cercato mediante
  la
• Sostituendo nella espressione i valori della
  varianza campionaria corretta, dei quantili della
  C 2 e dei gradi di libertà si ottiene infine