STATISTICA a.a. 2003-2004

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STATISTICAa.a. 2003-2004

• DISTRIBUZIONI DI FREQUENZE
• RAPPRESENTAZIONE DEI DATI
• MISURE DI POSIZIONE MEDIA, MEDIANA, MODA
• MISURE DI DISPERSIONE DEVIANZA,
  VARIANZA,DEVIAZIONE STANDARD

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METODO DELLE DISTRIBUZIONI DI FREQUENZE

• Rappresentazione dei dati per qualsiasi tipo di
  misura
• Serie di rettangoli
• Ognuno una data osservazione
• AREA proporzionale al numero di volte in cui
  losservazione viene registrata

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METODO DELLE DISTRIBUZIONI DI FREQUENZE

• Per dati nominali ed ordinali
• Ogni rettangolo è una classe di osservazione
• (Es. colore nero dei capelli)
• Per dati intervallari e razionali
• Prima si determina lintervallo di variazione
• (differenza fra valore più alto e più basso)
• Poi lo si divide in un certo numero di intervalli
  uguali
• Le basi dei rettangoli sono uguali
• Le aree sono proporzionali alle frequenze
• Quindi le altezze sono proporzionali alle
  frequenze.

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METODO DELLE DISTRIBUZIONI DI FREQUENZE

• Esempio
• Distribuzione di frequenze di 1300 osservazioni
  di neonati
• capelli (scala nominale)
• condizioni di salute (scala ordinale)
• temperatura (scala intervallare)
• peso (scala razionale).

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METODO DELLE DISTRIBUZIONI DI FREQUENZE
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RAPPRESENTAZIONE E SINTESI DEI DATI QUALITATIVI

• Deve essere curata la comprensibilità,
  lindicazione della fonte e la data di
  rilevamento.
• IDEOGRAMMI

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RAPPRESENTAZIONE E SINTESI DEI DATI QUALITATIVI

•  PIE DIAGRAMS

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RAPPRESENTAZIONE E SINTESI DEI DATI QUALITATIVI

• ISTOGRAMMI A CANNE DORGANO

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RAPPRESENTAZIONE E SINTESI DEI DATI QUALITATIVI

• TABELLE DI CONTINGENZA
•  
•  

  E. Coli Klebs S. Aur. Pseud Clostr Bact. Fungi
N 55 12 48 21 5 18 2
34.16 7.45 29.81 13.04 3.11 11.18 1.24
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SINTESI DEI DATI QUANTITATIVI

• Si effettua attraverso misure di posizione e
  misure di dispersione.
•  
• MISURE DI POSIZIONE
• media aritmetica
• media geometrica
• mediana
• moda
•  

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SINTESI DEI DATI QUANTITATIVI

• La media aritmetica rappresenta il valore che
  ogni dato avrebbe se tutti i dati avessero lo
  stesso valore e se la somma dei valori dei dati
  rimanesse la stessa.
• Il valor medio si rappresenta con
• ed è pari alla somma dei valori di tutti i dati
  diviso per il numero dei dati

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SINTESI DEI DATI QUANTITATIVI

• o se i dati sono raccolti in distribuzioni di
  frequenza

fi numero delle osservazioni che cadono
nellintervallino di cui xi è il valore centrale.
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SINTESI DEI DATI QUANTITATIVI
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SINTESI DEI DATI QUANTITATIVI

•  
• o usando la frequenza percentuale
•  
•  
•  

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PROPRIETA DELLA MEDIA
Sommando o sottraendo un valore k da tutti i
dati, la media risulta aumentata o diminuita di
quel valore    

•  
•  
•  

  Moltiplicando o dividendo tutti i dati per un
valore k, la media risulta moltiplicata o divisa
per quel valore
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PROPRIETA DELLA MEDIA
Se chiamiamo scarto di un dato valore dalla media
la differenza tra quel valore e la media, avremo
che la somma degli scarti di tutti i valori dalla
media è uguale a zero        

•  
•  
•  

 
La somma dei quadrati degli scarti dei valori
dalla media è sempre minore della somma dei
quadrati degli scarti dei valori da un qualsiasi
altro valore v
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MEDIA GEOMETRICA
Altro tipo di media è la media geometrica, ossia
la radice ennesima del prodotto degli n dati  
     

•  
•  
•  

 
 
Limportanza della media geometrica emerge nel
caso di grandezze che non seguono progressioni
lineari ma geometriche.  
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MEDIA GEOMETRICA
     
  Progressione aritmetica è una serie di numeri
per cui la differenza fra due numeri contigui (d,
ragione) è sempre la stessa   an d
an-1   Una progressione geometrica è una serie di
numeri per cui il rapporto fra un numero e il
precedente (q, ragione) è sempre uguale   an
q ? an-1  

•  
•  
•  

 
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MEDIA GEOMETRICA
 Esempio. Il farmaco A e il farmaco B servono ad
aumentare un certo valore fisiologico. Per
ambedue i farmaci quanto più alta è la dose tanto
maggiore è laumento del valore
fisiologico FARMACO A FARMACO B
     

•  
•  
•  

 
Mg somm. Aumento ott. Mg. Somm. Aumento ott.
15 1U 3 1U
30 2U 9 2U
45 3U 27 3U
60 4U 81 4U
75 5U 243 5U
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MEDIA GEOMETRICA
     
 Per il farmaco B i migliori effetti si hanno a
basse dosi, mentre ad alte dosi laumento è
minimo.   Quanti mg di A occorrono per far salire
di 3.5 U il valore fisiologico ? Il rapporto
dose/effetto è costante, per cui la dose da
somministrare sarà la media fra 45 e 60 mg, ossia
52.5 mg.

•  
•  
•  

 
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MEDIA GEOMETRICAfarmaco A
     

•  
•  
•  

 
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MEDIA GEOMETRICA
     
  Per il farmaco B vediamo che leffetto di B
varia come il logaritmo della dose, ossia gli
effetti di B seguono una progressione aritmetica
mentre le dosi seguono una progressione
geometrica. Quindi volendo ottenere un effetto
pari a 3.5 U (media fra 3 e 4 U), dovremo usare
una dose pari a 46.76 mg (media geometrica fra 27
e 81 mg.    

•  
•  
•  

 
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MEDIA GEOMETRICA
  farmaco B
     

•  
•  
•  

 
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MISURE DI POSIZIONE
La mediana è quella misura di posizione il cui
valore è inferiore al valore del 50 dei dati, e
superiore al valore dellaltro 50. Divide i dati
in due metà numericamente uguali. Non è precisa
come la media perché valori estremi molto grandi
o molto piccoli non ne modificano il valore Il
valore è determinato solo dai valori
centrali.   Se il numero delle osservazioni è
dispari, il valore della mediana coincide con il
valore del dato (n1)/2. Se il numero delle
osservazioni è pari, viene assunto come valore la
media aritmetica dei valori dei dati n/2 e
(n2)/2.
     

•  
•  
•  

 
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MISURE DI POSIZIONE
Se il campione è più numeroso (es.
3500) Vogliamo trovare il valore della
1750esima osservazione. Costruiamo una tabella
che riporti frequenze e frequenze cumulative
delle varie classi (somma della frequenza di una
classe e delle frequenze di tutte le classi
precedenti)  
     

•  
•  
•  

 
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MISURE DI POSIZIONE
Se il campione è più numeroso (es. 3500)
     

•  
•  
•  

 
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MISURE DI POSIZIONE
Valore Frequenza Freq. Cum.
160-180 106 106
180-200 271 377
200-220 317 694
220-240 450 1144
240-260 683 1827
260-280 648 2475
280-300 395 2870
300-320 291 3161
340-360 96 3500
     

•  
•  
•  

 
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MISURE DI POSIZIONE
La 1750esima osservazione sta nella classe
240-260. Se supponiamo le osservazioni
uniformemente distribuite della classe,      
     

•  
•  
•  

 
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MISURE DI POSIZIONE
La 1750esima osservazione sta nella classe
240-260. Se supponiamo le osservazioni
uniformemente distribuite nella classe,  dovrà
valere la seguente proporzione   (1750 1144)
(1827 1144) (x 240) (260 240)   dove x
è il valore della 1750esima osservazione. Risulta
x 257.74.
     

•  
•  
•  

 
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MISURE DI POSIZIONE

• Analogamente alla mediana si definiscono e si
  calcolano
• quartili
• decili
• percentili
•  
• 1 quartile superiore o uguale al 25 delle
  osservazioni
• inferiore al restante 75
• 2 quartile coincide con la mediana
• 3 quartile inferiore o uguale al 25 delle
  osservazioni e superiore al 75
• 1 decile superiore o uguale al 10 e inferiore
  al 90 delle osservazioni
• 1 percentile inferiore o uguale al 99 e
  superiore all1 delle osservazioni,
• ecc.

     

•  
•  
•  

 
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MISURE DI POSIZIONE
 La moda è il valore più frequente di una
distribuzione. Nella distribuzione precedente
lintervallo con il maggior numero di
osservazioni era 240-260. Il valore centrale
dellintervallo (media aritmetica degli estremi)
viene assunto come valore della moda, in questo
caso 250.  La media della distribuzione sarà  
     

•  
•  
•  

 
quindi i tre valori mediana (257.74), moda (250)
e media (258.24) sono molto vicini. Questo vale
solo quando la distribuzione è approssimativamente
normale (v. avanti).    
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MISURE DI DISPERSIONE
 

•  
• Le misure di posizione danno unidea del valore
  centrale di una popolazione
• Le misure di dispersione danno unidea di quanto
  i dati si scostano dal valore centrale.
•  
• RANGE o intervallo di variazione differenza fra
  valore massimo e minimo.
• Se il range è elevato la media non dà una buona
  indicazione.
• Tuttavia se anche un solo bambino ha unaltezza
  molto bassa il range risulta molto grande ma la
  media è ancora una buona stima il range non è
  una misura affidabile.
• SOMMA DEGLI SCARTI dei valori della media. E
  sempre uguale a zero.
•  

     
 
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MISURE DI DISPERSIONE
 

• DEVIANZA o somma dei quadrati degli scarti dalla
  media.
•  

Ma la devianza è influenzata dalle dimensioni del
campione (quanto più grande il campione tanto
più numerosi gli scarti) E impossibile
confrontare due campioni di dimensioni diverse
attraverso la devianza.   VARIANZA è la devianza
divisa per il numero di osservazioni.  
 
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MISURE DI DISPERSIONE
 

• In genere la si calcola con
•  

 
C termine di correzione perché in questo modo
non richiede la conoscenza della media.   Ma la
varianza deve misurare la variabilità dei
dati   Vanno escluse tutte le costanti.  
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MISURE DI DISPERSIONE
Chiamiamo GRADI DI LIBERTA il numero di dati
significativi di un campione. Conoscendo la media
e n-1 dati, ln-esimo è ricavabile. Quindi il
numero di gradi di libertà è n-1 e la formula
corretta è  
 
 
Quando il campione è numeroso la variazione è
minima.
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MISURE DI DISPERSIONE
 
DEVIAZIONE STANDARD è la radice quadrata della
varianza  

•  In questo modo ds ha le stesse dimensioni
  fisiche delle osservazioni.
•  In genere si scrive la media di un campione
  seguita dalla sua deviazione standard, es. 14 ?
  3.
• La deviazione standard della popolazione si
  indica con s , la varianza con s2 .
• La deviazione standard del campione si indica con
  s , la varianza campionaria con s2 .
•