Vecteurs alg

1
Vecteurs algébriques
Montage préparé par
André Ross Professeur de mathématiques Cégep de
Lévis-Lauzon
2
Introduction
Létude des combinaisons linéaires de vecteurs
géométriques nous a permis de voir quil est
possible, dans un repère donné, de caractériser
un vecteur par ses composantes.
Lorsque le repère est celui dune droite, il
suffit dune composante pour caractériser un
vecteur de cette droite. Dans un plan de repère
connu, un vecteur du plan peut être caractérisé
par un couple de composantes. Pour caractériser
un vecteur de lespace, il faut trois
composantes.
La description dun vecteur par ses composantes
dans un repère est appelé vecteur algébrique et
cest sur cette représentation des vecteurs que
nous porterons maintenant notre attention. Dans
cette étude, nous considérerons des repères
particuliers du plan cartésien et de lespace
cartésien.
3
Repère orthonormé
DÉFINITION
Repère orthonormé dun plan
Un repère orthonormé dun plan est un ensemble
contenant un point du plan et deux vecteurs de ce
plan, unitaires et perpendiculaires entre eux
(orthogonaux).
On utilise un repère orthonormé dans la
construction du plan cartésien ou plan réel que
lon désigne également par R2. En fait, il y a
plusieurs repères orthonormés possibles, nous
allons en privilégier un.
4
Plan cartésien
DÉFINITION
Plan cartésien
Le plan cartésien (ou plan réel) est un plan de
repère orthonormé O,
,
, où
est
horizontal et orienté vers la droite et
est vertical et orienté vers le haut.
Tout vecteur du plan peut alors sécrire sous la
forme
v1
v2
ou sous la forme
(v1 v2).
En particulier
1
0
(1 0) et
0
1
(0 1)
5
Vecteur algébrique
DÉFINITION
Vecteur algébrique dans R2
Un vecteur algébrique de R2 est un couple
(v1 v2). Il est représenté dans le plan
cartésien par un vecteur dont lorigine coïncide
avec lorigine du système daxes et dont
lextrémité est le point (v1 v2).
Le vecteur algébrique de R2 possède les
caractéristiques suivantes 
une longueur appelée module, notée
v12 v22

et définie par
une direction définie par langle a entre la
droite support du vecteur et la partie positive
de laxe horizontal, où  
v2 v1
a arctan
un sens défini par langle q mesuré dans le
sens antihoraire à partir de la direc-tion
positive de laxe horizontal.
6
Égalité
Nous avons défini de nouveaux objets détudes,
les vecteurs algébriques. Il nous faut maintenant
définir légalité de tels objets.
DÉFINITION
Égalité de vecteurs algébriques dans R2
sont égaux (ou équipol-lents) si et seulement si
leurs composantes respectives sont égales.
Symboliquement
Deux vecteurs
(u1 u2) et
(v1 v2)
Û u1 v1 et u2 v2

On peut maintenant avoir recours à légalité pour
définir les opérations sur les vecteurs
algébriques.
7
Opérations
DÉFINITIONS
Addition de vecteurs algébriques dans R2
Le vecteur somme est défini par légalité
suivante
(u1 u2) (v1 v2) (u1 v1 u2 v2)

Multiplication dun vecteur algébrique par un
scalaire dans R2
La multiplication du vecteur par le scalaire k
donne le vecteur défini par légalité suivante 
k(u1 u2) (ku1 ku2)
k
8
Propriétés des opérations
1. Fermeture de laddition sur lensemble des
vecteurs
2. Commutativité de laddition des vecteurs
3. Associativité de laddition des vecteurs   
4. Existence dun élément neutre pour
laddition des vecteurs
5. Existence dun élément opposé ( symétrique)
pour laddition des vecteurs  
9
Propriétés des opérations
Î R2, lensemble des vecteurs algébriques, et
pour tout scalaire p et q Î  R, les propriétés
suivantes sappliquent 
Pour tout vecteur
et
6. Fermeture de la multiplication par un
scalaire sur lensemble des vecteurs
7. Distributivité de la multiplication dun
vecteur sur une somme de scalaires  
8. Distributivité de la multiplication par un
scalaire sur une somme de vecteurs 
9. Associativité de la multiplication dun
vecteur avec le produit de scalaires 
10. Élément neutre pour la multiplication dun
vecteur par un scalaire
10
Exemple 8.1.2
En effectuant les opérations de multiplication
par un scalaire et daddition des vecteurs, on
obtient
Les composantes sont 6 et 4.
Le module est

62 (4)2
7,211 7,2
4 6
Langle a est
a arctan
33,69
Puisque le vecteur est dans le quatrième
quadrant, on a
q 360 33,69 326,31
11
Exercice
Représenter graphiquement les vecteurs
(2 3) et
(2 1)
Déterminer les composantes, le module et le sens
du vecteur
3
2
En effectuant les opérations, on obtient
2(2 3) 3(2 1) (4 6) (6 3) (2 3)
3
2
Les composantes sont 2 et 3.

3,60555 3,61
Le module est
(2)2 32
3 2
Langle a est
a arctan
56,31
Puisque le vecteur est dans le deuxième quadrant,
on a
q a 180 56,31 180 123,69
12
Localisation dun vecteur géométrique
Pour définir un vecteur géométrique de R2, il
suffit de donner son origine et son extrémité.
Ainsi, le vecteur dont lorigine est le point (5
3) et lextrémité le point (2 9) est
entièrement défini.
On remarque que, à chaque vecteur géométrique
dont lorigine est au point (0 0), on associe un
vecteur algébrique qui est défini en ne donnant
que les coordonnées du point à son extrémité.
Ainsi, au vecteur géométrique
, on associe le vecteur algébrique
(5 3). On dit que ce vecteur algébrique est
le vecteur position du point A.
13
Translation dun vecteur
DÉFINITION
Translation dun vecteur
La translation dun vecteur géométrique libre
dans un repère est un déplacement qui conserve
les caractéristiques du vecteur (module,
direction et sens).
Tout vecteur géométrique de R2 peut être
translaté de telle sorte que son origine coïncide
avec lorigine du système daxes on peut alors
associer un vecteur algébrique au vecteur
géométrique translaté. Pour translater un vecteur
à lorigine, on peut utiliser la relation de
Chasles. Rappelons ce théorème.
THÉORÈME
Relation de Chasles
Pour tout point A, B et X du plan ou de lespace,
légalité


est vérifiée.
14
Translation dun vecteur
Considérons le vecteur dont lorigine est le
point A(a1 a2) et dont lextrémité est le point
B(b1 b2).
Considérons de plus le point O(0 0). Par la
relation de Chasles, on peut écrire que


Doù




Le vecteur géométrique translaté à lorigine est
alors


En considérant les vecteurs positions
(b1 b2) et
(a1 a2),
on a alors
(b1 b2) (a1 a2) (b1 a1 b2 a2).  
Le vecteur géométrique obtenu est un vecteur dont
lorigine est le point O(0 0) et lextrémité le
point (b1  a1 b2 a2). On peut donc lui
associer un vecteur algébrique. Nous le noterons
(b1 a1 b2 a2)
15
Composantes dun vecteur dans R2
DÉFINITION
Composantes dun vecteur dans R2
La longueur dirigée de la projection horizontale,
, est b1 a1,
celle de la projection verticale,
, est b2 a2.
Ces longueurs dirigées sont les composantes
algébriques du vecteur.
16
Exemple 8.1.3
Par la relation de Chasles, on a


Puisque
(5 3), on a
(2 9) et
(2 9) (5 3) (7 6) (a b)


Les composantes sont 7 et 6.
Le module est
(7)2 62

85 9,219 9,22

6 7
Langle a est
a arctan
40,6
Puisque le vecteur est dans le deuxième quadrant,
on a
q a 180 40,6 180 139,4
17
Exercice
Par la relation de Chasles, on a


Puisque
(4 7), on a
(3 2) et
(3 2) (4 7) (7 5) (a b)


Les composantes sont 7 et 5.
Le module est
74 8,6023 8,60

(7)2 (5)2

5 7
Langle a est
a arctan
35,54
Puisque le vecteur est dans le troisième
quadrant, on a
q a 180 35,54 180 215,54
18
Espace cartésien
DÉFINITION
Espace cartésien
Lespace cartésien est un espace de repère
orthonormé O,
,
.
,
Les vecteurs du repère sont orientés comme dans
lillustration ci-contre.
Tout vecteur de lespace peut alors sécrire sous
lune des formes suivantes
u1
u2
ou
(u1 u2 u3).
u3
En particulier
1
0
(1 0 0)
0
0
1
(0 1 0)
0
et
0
0
(0 0 1)
1
19
Espace R3
On désigne par R3 lespace tridi-mensionnel dans
lequel chaque point est caractérisé par trois
coordonnées qui forment un triplet. Les axes sont
désignés par x, y et z et représentés comme dans
lillustration ci-contre. Pour représenter un
triplet dans cet espace, on procède comme dans
R2, en reportant perpendiculairement les
coordonnées sur les axes.
Représentons les triplets (3 4 4) et (4 3
4).
On peut, tout comme dans R2, considérer un
vecteur dont lorigine est un point A et
lextrémité un point B, et déterminer un vecteur
algébrique égal dont lorigine est au point (0
0 0).
Dans R3, un vecteur algébrique est un triplet de
la forme
(u1 u2 u3)
Il est caractérisé par les coordonnées du point à
son extrémité.
20
Vecteur algébrique dans R3
DÉFINITION
Vecteur algébrique dans R3
Un vecteur algébrique de R3 est un triplet
(u1 u2 u3), où les com-posantes sont toutes des
nombres réels, ce que lon note ui Î R pour tout
i.
Le vecteur algébrique de R3 est représenté par
une flèche dont lorigine coïncide avec lorigine
du système daxes et dont lextrémité est le
point (u1 u2  u3).
Remarque
Pour définir la direction, il nest pas suffisant
de préciser langle que le vecteur fait avec
laxe des x il faut donner les angles que le
vecteur fait avec chacun des axes.
21
Module dun vecteur algébrique de R3
Le module du vecteur est obtenu par une
généralisation du théorème de Pythagore. En
effet, daprès la figure ci-contre, on a

 u32
 (u12  u22)  u32
On a donc

 u12  u22  u32
Cela donne le théorème suivant
THÉORÈME
Module dun vecteur algébrique dans R3
, un vecteur algébrique de R3. Son module (ou sa
norme) est
(u1 u2 u3)
Soit

 u12  u22  u32
22
Angles directeurs
Les angles directeurs dun vecteur algébrique de
R3 sont les angles notés a (alpha), b (bêta) et g
(gamma), que le vecteur fait avec les axes
orientés x, y et z respectivement
On a alors
u1
u2
,
cos a
cos b
u3
cos g
et
où
est le module du vecteur.
Les cosinus directeurs satisfont donc à la
relation suivante
cos2 a cos2 b cos2 g 1
23
Égalité de vecteurs algébriques de R3
La définition de légalité sur les vecteurs
algébriques de R3 est une simple généralisation
de légalité dans R2. Il en est de même pour
laddition et la multiplication par un scalaire.
Ces opérations ont les mêmes propriétés que les
opérations dans R2.
DÉFINITION
Égalité de vecteurs algébriques dans R3
sont égaux (ou équipollents) si et seulement si
leurs composantes respectives sont égales.
Symboliquement
Deux vecteurs de R3,
(u1 u2 u3) et
(v1 v2 v3)
Û u1 v1, u2 v2 et u3 v3

24
Opérations dans R3
DÉFINITION
Addition de vecteurs algébriques dans R3
deux vecteurs algébriques dans R3.
Soit
(u1 u2 u3) et
(v1 v2 v3),
Le vecteur somme est défini par légalité
suivante
(u1 u2 u3) (v1 v2 v3) (u1 v1 u2 v2
u3 v3)

DÉFINITION
Multiplication dun vecteur algébrique par un
scalaire dans R3
(u1 u2 u3) un vecteur algébrique dans R3 et
k un scalaire.
Soit
La multiplication du vecteur par le scalaire k
donne le vecteur défini par légalité suivante 
k(u1 u2 u3) (ku1 ku2 ku3)
k
25
Vecteurs colinéaires
Rappelons la définition de vecteurs colinéaires
avant de voir un critère algébrique pour
déterminer si deux vecteurs de R3 le sont.
DÉFINITION
Vecteurs colinéaires
On dit que des vecteurs sont colinéaires si et
seulement si, ramenés à une origine commune, ils
ont la même droite support.
Deux vecteurs algébriques sont colinéaires si et
seulement si il existe un scalaire k tel que
(u1 u2 u3) k (v1 v2 v3), doù lon tire
THÉORÈME
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs algébriques dans R3,
(u1 u2 u3) et
(v1 v2 v3),
sont colinéaires si et seulement si
u1 v1
u2 v2
u3 v3


k
26
Exemple 8.1.6
Soit
(2 4 6) et
(1 2 0).
a) Déterminer
, la somme des vecteurs.
b) Calculer le cosinus des angles que le vecteur
somme fait avec les axes et vérifier que
cos2 a cos2 b cos2 g 1.
c) Calculer ces angles.
a)

(2 4 6) (1 2 0) (1 2 6)
12 (2)2 62

41

b) On trouve
1
2
6
et cos a
,
cos b
,
cos g
41
41
41
1 41
4 41
36 41
cos2 a cos2 b cos2 g
1
Cela donne
2


1
a arccos
b arccos
c)
81,02,
108,20
41
41
2
et g arccos
20,44
41
27
Exercice
Soit
(3 5 3) et
(5 2 4).
a) Déterminer
, la somme des vecteurs.
b) Calculer le cosinus des angles que le vecteur
somme fait avec les axes et vérifier que
cos2 a cos2 b cos2 g 1
c) Calculer ces angles.
a)

(3 5 3) (5 2 4) (8 7 1)
114

82 72 12

b) On trouve
8
7
1
et cos a
,
cos b
,
cos g
114
114
114
64 114
49 114
1 114
cos2 a cos2 b cos2 g
8
7
Cela donne


1
a arccos
b arccos
c)
41,47,
49,03
114
114
1
et g arccos
84,63
114
28
Exemple 8.1.7
Trouver les caractéristiques de
,
où A(2 3 5) et B(3 4 2).
Par la relation de Chasles, on a


Puisque
(2 3 5),
(3 4 2) et
(3 4 2) (2 3 5)


(5 7 3) (a b c)
83 9,11
Le module est

(5)2 72 (3)2

5
7
3
et cos a
,
cos b
,
cos g
83
83
83
5
7
a arccos
b arccos
123,29,
39,79
83
83
3
et g arccos
109,23
83
29
Exercice
Trouver les caractéristiques de
,
où A(7 6 2) et B(1 4 3).
Par la relation de Chasles, on a


Puisque
(7 6 2),
(1 4 3) et
(1 4 3) (7 6 2)


(8 10 1) (a b c)
165 12,85
Le module est

(8)2 102 12

8
10
1
et cos a
,
cos b
,
cos g
165
165
165
8
10
a arccos
b arccos
128,52,
38,88
165
165
1
et g arccos
85,54
165
30
Vecteur algébrique dans Rn
On ne peut donner de représentation géométrique
dun vecteur algébrique de Rn. Cependant, tout
phénomène comportant n variables se traite avec
des vecteurs de Rn.
DÉFINITION
Vecteur algébrique dans Rn
Un vecteur algébrique de Rn est une suite
(u1 u2  un), où les composantes sont toutes
des nombres réels, ce que lon note ui Î R pour
tout i.
Le module ( ou la norme) du vecteur algébrique de
Rn est

 u12  u22  un2
31
Égalité de vecteurs algébriques de Rn
La définition de légalité sur les vecteurs
algébriques de Rn est une simple généralisation
de légalité dans R2 et dans R3. Il en est de
même pour laddition et la multiplication par un
scalaire. Ces opérations ont les mêmes propriétés
que les opérations dans R2 et dans R3.
DÉFINITION
Égalité de vecteurs algébriques dans Rn
sont égaux (ou équipollents) si et seulement si
leurs composantes respectives sont égales.
Symboliquement
Deux vecteurs de Rn,
(u1 u2 . un) et
(v1 v2 vn)
Û u1 v1, u2 v2, et un vn

32
Opérations dans Rn
DÉFINITION
Addition de vecteurs algébriques dans Rn
deux vecteurs algé-briques dans Rn.
Soit
(u1 u2 un) et
(v1 v2 vn),
Le vecteur somme est défini par légalité
suivante
(u1 u2 un) (v1 v2 vn) (u1 v1
u2 v2 un vn)

DÉFINITION
Multiplication dun vecteur algébrique par un
scalaire dans Rn
(u1 u2 un) un vecteur algébrique dans Rn
et k un scalaire.
Soit
La multiplication du vecteur par le scalaire k
donne le vecteur défini par légalité suivante 
k(u1 u2 un) (ku1 ku2 kun)
k
33
Conclusion
Nous avons défini de nouveaux objets détude, les
vecteurs algébriques. Nous avons déterminé à
quelles conditions deux vecteurs algébriques sont
égaux et défini deux opérations sur ces vecteurs
laddition et la multiplication par un scalaire.
Nous avons également présenté les propriétés des
opérations dont nous nous sommes servies pour
manipuler des expressions algébriques comportant
des vecteurs.
On remarque que les propriétés de ces deux
opérations sont les mêmes que celles des
opérations daddition et de multiplication par un
scalaire dans lensemble des matrices et dans
lensemble des vecteurs géométriques.
34
Lecture
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec
applications en sciences de la nature, Section
6.1, p. 147 à 157.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec
applications en sciences humaines, Section 6.1,
p. 147 à 158
Exercices
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec
applications en sciences de la nature, Section
6.2, p. 16, no 1 à 18.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec
applications en sciences humaines, Section 6.2,
p. 159 et 160.