Vecteurs g

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Vecteurs géométriques
Montage préparé par
André Ross Professeur de mathématiques Cégep de
Lévis-Lauzon
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Introduction
Nous présentons ici la notion de vecteur
géométrique ainsi que laddition de tels vecteurs
et la multiplication dun vecteur géométrique par
un scalaire.
Nous utiliserons les opérations et leurs
propriétés pour décrire des lieux géométriques.
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Vecteur géométrique
DÉFINITION
Vecteur géométrique
Un vecteur géométrique est un segment de droite
orienté, noté
, où A est lorigine et B lextrémité du
vecteur.
Il possède les caractéristiques suivantes 
une longueur, appelée le module du vecteur, et
notée

une direction, définie par la droite ?s, qui
lui sert de support, ou par toute droite qui lui
est parallèle, par exem-ple ?d
un sens, indiqué par une pointe de flèche à
lextrémité du segment de droite.
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Équipollence et parallélisme
DÉFINITIONS
Vecteurs équipollents (égaux)
On appelle vecteurs égaux (ou équipollents) des
vecteurs ayant même direction, même sens et même
module. On utilise le signe dégalité usuel

Vecteurs parallèles
On appelle vecteurs parallèles des vecteurs ayant
même direction. On utilise le symbole //
//
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Vecteur nul et vecteur opposé
DÉFINITIONS
Vecteur nul
On appelle vecteur nul tout objet de la forme
. On le note
Ce vecteur na ni direction, ni sens. Son module
est 0 et, par convention, il est parallèle à tout
vecteur
//
pour tout
Vecteur opposé
On appelle vecteur opposé à
tout vecteur de même longueur et de même
direction que
, mais de sens opposé. On le note
En particulier,

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Addition
DÉFINITION
Addition de vecteurs géométriques
Méthode du parallélogramme
Méthode du triangle
Les vecteurs étant libres, on peut faire
coïncider leurs origines. Le vecteur somme est
alors donné par la diagonale du parallélogramme
construit sur les deux vecteurs en partant de
lorigine commune.
Les vecteurs étant libres, on peut faire
coïncider lorigine de lun avec lextrémité de
lautre. Le vecteur somme a alors la même origine
que le premier et même extrémité que le second.

De plus,


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Relation de Chasles
THÉORÈME
Relation de Chasles
Pour tout point A, B et X du plan ou de lespace
, légalité


est vérifiée.
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Exercice
En considérant les sommets de la figure
ci-contre, trouver des vecteurs égaux à
a)


On peut déterminer les vecteurs égaux dans cette
figure



b)

Puisque

, on a







c)
Par légalité des vecteurs, on a






Dans cette figure, il ny a pas dautre vecteur
égal à
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Angle entre deux vecteurs
DÉFINITION
Angle entre deux vecteurs
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Angles et triangles (rappel de trigonométrie)
LOIS
Loi des sinus
Soit ABC, un triangle quelconque de côtés a, b et
c. Alors
a sin A
b sin B
c sin C


Loi des cosinus
Soit ABC, un triangle quelconque de côtés a, b et
c. Alors
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
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Module du vecteur somme
THÉORÈME
Module du vecteur somme
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Exercice
Par la loi des cosinus, on a
2 72 52 275 cos 143 129,90.
Le module du vecteur somme est
129,90 11,40.
sin a 5
sin 143 11,40
5 sin 143 11,40
Par la loi des sinus, on a

, doù sin a
et a arcsin
15,12.
Le module est denviron 11,40 unités et langle
entre les vecteurs est denviron 15,12.
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Multiplication par un scalaire
DÉFINITION
Multiplication dun vecteur géométrique par un
scalaire
dont les caractéristiques sont

• sa direction est la même que

p

• son module est

p

soit le produit de la valeur absolue de p et du
module du vecteur

• son sens est

le même que
, si p gt 0
opposé à celui de
, si p lt 0
pour tout
De plus, p

pour tout p , et 0

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Exemple 7.1.4
15
Exercice
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Multiplication par un scalaire
THÉORÈME
Intégrité de la multiplication par un scalaire
Démonstration
On a
, par la définition de multiplication par un
scalaire
, par lintégrité des nombres réels
, par la définition du vecteur nul.
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Propriétés des opérations
1. Fermeture de laddition sur lensemble des
vecteurs
2. Commutativité de laddition des vecteurs
3. Associativité de laddition des vecteurs   
4. Existence dun élément neutre pour
laddition des vecteurs
5. Existence dun élément opposé ( symétrique)
pour laddition des vecteurs  
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Propriétés des opérations
6. Fermeture de la multiplication par un
scalaire sur lensemble des vecteurs
7. Distributivité de la multiplication dun
vecteur sur une somme de scalaires  
8. Distributivité de la multiplication par un
scalaire sur une somme de vecteurs 
9. Associativité de la multiplication dun
vecteur avec le produit de scalaires 
10. Élément neutre pour la multiplication dun
vecteur par un scalaire
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Parallélisme
Nous verrons maintenant quelques théorèmes
relatifs au paral-lélisme des vecteurs. Dans la
démonstration de lun de ces théorèmes, nous
aurons besoin de la notion de vecteur unitaire
dont voici la définition.
DÉFINITION
Vecteur unitaire
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Vecteurs parallèles
THÉORÈME
Vecteurs parallèles
Démonstration
ont alors même direction et même longueur, car ce
sont des vecteurs unitaires parallèles.
Sils sont de même sens,
, doù
Cela complète la preuve.
Sils sont de sens contraire,
, doù
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Vecteurs parallèles
THÉORÈME
Parallélisme et unicité du scalaire
Démonstration
Supposons quil existe deux scalaires k1 et k2
tels que
Montrons que ces scalaires sont nécessairement
égaux.
, par la définition des opérations
, par la distributivité sur laddition des
scalaires
Doù k1 k2 et le scalaire est unique.
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Conclusion
Nous avons défini de nouveaux objets détude, les
vecteurs géométriques.
Notre premier souci a été de déterminer à quelles
conditions deux vecteurs géométriques sont égaux,
puis, nous avons défini deux opérations sur ces
vecteurs laddition et la multiplication par un
scalaire.
Nous avons également présenté les propriétés des
opérations dont nous nous sommes servies pour
manipuler des expressions algébriques comportant
des vecteurs.
On remarque que les propriétés de ces deux
opérations sont les mêmes que celles des
opérations daddition et de multiplication par un
scalaire dans lensemble des matrices.
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Lecture
Mathématiques pour la chimie et la biologie,
section 7.1, p.199 à 205.
Exercices
Mathématiques pour la chimie et la biologie,
section 7.2, p. 206 et 207.