Chapitres 5,6,9 : La mesure et la g

1
Chapitres 5,6,9 La mesure et la géométrie
2
Une hypothèse

• Une hypothèse est un énoncé mathématique que nous
  proposons comme vrai sur la base des observations
  faites, mais que personne na pu prouver.
• Une hypothèse est utilisée constamment avec des
  preuves de la géométrie.

3
Les droites sécantes et les segments de droite
sécants

• Quand deux droites se coupent, elles forment
  quatre angles.
• Les angles opposés par le sommet ont la même
  mesure.
• Deux angles dont la somme est de 180 sont
  supplémentaires.
• Deux angles dont la somme est de 90 sont
  complémentaires.

4
Les droites perpendiculaires

• Les droites perpendiculaires sont les droites qui
  coupent à un angle droit (90) vers le haut ou
  vers le bas.
• Les droites perpendiculaires ont des pentes qui
  sont les réciproques négatives aux eux-mêmes
  (voir lexemple au tableau)

5
Les droites parallèles

• Les droites parallèles sont les droites qui ne
  coupent jamais.
• Les droites parallèles ont les mêmes pentes
  (chapitre 2) mais les ordonnées à lorigine
  différentes (des points de départ différents)

6
Des théorèmes des droites parallèles

• Quand une droite coupe des droites parallèles, 3
  relations particulières entre les angles formés
  (voir la page 259)
• Les angles alternes internes (la forme en Z)
• Les angles correspondants (la forme en F)
• Les angles supplémentaires internes (la forme en
  C)

7
Les préfixes communs

• Les préfixes sont toujours attachés au
  commencement du mot et ils veulent dire un sens
  spécifique.

• Tri 3
• Tetra 4
• Penta 5
• Hexa 6
• Hepta 7
• Octa 8
• Nona 9
• Deca 10
• etc

8
Un polygone

• Un polygone a tous des côtés congruents et tous
  des angles congruents.
• Les polygones peuvent être régulier ou
  irrégulier.
• Les polygones régulier ont la symétrie de
  rotation et symétrie de la réflexion.
• Voici la différence principale entre les
  polygones régulier et irrégulier.

9
Les exemples des polygones régulier communs

• Un trigone régulier (un triangle équilatéral
• Un tétragone régulier (un carré)
• Un pentagone régulier (pentagone)
• Une hexagone régulier
• Un octogone régulier

10
Les préfixes du système métrique

• Les préfixes fréquemment utilisés sont

• Kilo- (k) 1000
• Hecto- (h) 100
• Déca- (da) 10
• Base- 1
• Déci- (d) 1/10 0.1
• Centi- (c) 1/100 0.01
• Milli- (m) 1/1000 0.001

11
Convertir des mesures entre unités métriques

• Pour convertir une mesure en une mesure qui
  utilise un préfixe différent, tu peux utiliser
  lescalier métrique.

12
Comment utiliser lescalier métrique 1

• Quand tu descends lescalier, tu convertis une
  unité en une unité plus petite.
• Alors, tu multiplies le nombre donné par 10nombre
  de marches

13
Un exemple de conversion 1

• Pour convertir 6 km en mètres
• 6 km (6 x 103) m
• 6 km (6 x 1000) m
• 6 km 6000 m

14
Comment utiliser lescalier métrique 2

• Quand tu montes lescalier, tu convertis une
  unité en une unité plus grande.
• Alors, tu divises le nombre donné par 10nombre de
  marches

15
Un exemple de conversion 2

• Pour convertir 1200 mL en litres
• 1200 mL (1200 103) L
• 1200 mL (1200 1000) L
• 1200 mL 1.2 L

16
Le périmètre

• Le périmètre est la distance totale autour de la
  figure.
• Le symbole du périmètre est P.
• Le périmètre est une valeur unidimensionnelle
  mesurée en unités linéaires (un exposant de 1)
  comme le millimètre, le centimètre, le mètre ou
  le kilomètre.

17
Laire

• Laire est la mesure de la région que la figure
  contient.
• Le symbole de laire est A.
• Laire est une valeur bidimensionnelle, mesurée
  en unités carrées (exposant de 2) comme le
  centimètre carré, le mètre carré ou le kilomètre
  carré.

18
Laire du rectangle

• Pour calculer laire du rectangle
• Arectangle longueur x largeur

19
Laire du triangle

• Pour calculer laire du triangle
• Atriangle ½ x base x hauteur

20
Une figure composée

• Une figure composée est une figure qui se compose
  de deux ou plus figures communes.
• Par exemple, tu peux décomposer le pentagone en
  un rectangle et un triangle.

21
Un cercle

• A cercle est une figure à 2 dimensions formée de
  tous les points dun plan qui sont équidistants
  dun point fixé.
• Cette distance constante sappelle le rayon du
  cercle.
• Le point fixé sappelle le centre du cercle.
• Il y a 360 dans une rotation complète autour un
  cercle.

22
Quest-ce que cest pi?

• Pi est un nombre irrationnel qui représente le
  rapport du circonférence du cercle à son
  diamètre.
• Le symbole du pi est ?
• Pi égale à 3.1412 (cest un nombre décimal
  illimité et apériodique)
• Pour rendre la vie plus facile, nous allons
  assumer toujours que la valeur de pi est 3.

23
La circonférence dun cercle

• La circonférence dun cercle est la distance
  autour de la figure.
• Alors. la circonférence est le périmètre du
  cercle.
• Le symbole de la circonférence est C.

24
Comment calculer la circonférence

• Pour calculer la circonférence dun cercle
• C (2)(?)(r) ou C(?)(d)
• ? est le symbole de pi (qui est égale environs à
  3), r est le rayon du cercle et d est le diamètre
  du cercle.

25
Comment calculer laire dun cercle

• Pour calculer laire dun cercle
• A (?)(r2)

26
Les termes de géométrie

• Congruent veut dire la même forme et la même
  taille.
• Parallèle veut dire dans le même espace mais pas
  dintersection.
• Un développement peut aider à visualiser les
  faces dune figure à trois dimensions. (voir la
  page 221)

27
Les prismes et les cylindres

• Les prismes et les cylindres ont 2 faces
  congruentes et parallèles.

28
Les exemples des prismes et des cylindres

• Il y a trois exemples communs

• un prisme rectangulaire
• un cylindre
• un prisme triangulaire

29
Laire totale des prismes et des cylindres

• Laire totale dune figure à trois dimensions est
  égale à la somme des aires de toutes les faces.

30
Une figure à trois dimensions composée

• Une figure à trois dimensions composée est formé
  de deux ou de plusieurs figures à trois
  dimensions.

31
Laire totale dune figure à trois dimensions
composée

• Pour déterminer laire totale de ce type de
  figure, tu trouves laire des faces exposées.
• Alors, laire totale dune figure à trois
  dimensions est égale à la somme des aires de
  toutes les faces.

32
Le volume de prismes et de cylindres

• Le volume dun solide est lespace occupé par le
  solide.
• Le symbole du volume est V.
• Le volume est une valeur tridimensionnelle
  exprimée en unités cubiques (un exposant de 3),
  comme les millimètres cubes, les centimètres
  cubes et les mètres cubes.

33
La capacité de prismes et de cylindres

• La capacité est le volume maximal quun récipient
  peut contenir.
• La capacité est exprimé en litres ou en
  millilitres.

34
Comment calculer le volume dun prisme

• Pour calculer le volume dun prisme
• Vprisme aire de la base x hauteur
• Vprisme Abase x h

35
Comment calculer le volume dun cylindre

• Pour calculer le volume dun cylindre
• Vcylindre ?r2 x h

36
Comment calculer le volume de figure à 3-D
composées

• Tu peux trouver le volume dune figure à trois
  dimensions composée par additionner les volumes
  des figures qui forment la figure composée.

37
Le volume de figures à trois dimensions

• Le volume est lespace quun objet occupe,
  exprimé en unités cubiques.
• Un polygone est une figure fermée à deux
  dimensions dont les côtés sont des segments de
  droite.
• Un polyèdre est une figure à trois dimensions
  dont les faces sont des polygones.

38
Les figures à trois dimensions

• Nous allons calculer le volume de trois figures à
  trois dimensions

1. Un cône
2. Une pyramide
3. Une sphère

39
Un cône

• Un cône est un objet à trois dimensions ayant une
  base circulaire et une face courbe.

40
Comment calculer le volume du cône

• Pour calculer le volume dun cône
• Vcône 1/3 x (le volume de cylindre)
• Vcône 1/3 x ?r2 x h

41
Une pyramide

• Une pyramide est un polyèdre qui a une base
  polygonale et le même nombre de faces que la base
  a de côtés.
• Comme les prismes, les pyramides sont nommées
  daprès la forme de leur base.

42
Comment calculer le volume dune pyramide

• Pour calculer le volume dune pyramide
• Vpyramide 1/3 x(le volume de prisme)
• Vpyramide 1/3 x Abase x h

43
Une sphère

• Une sphère est un objet rond comme une balle.
• Tous les points de la surface dune sphère sont à
  la même distance du point fixe appelé  centre 

44
Comment calculer le volume dune sphère

• Pour calculer le volume dune sphère
• Volume dune sphère 4/3 x ?r3

45
Laire totale de figures à trois dimensions

• Laire totale est la somme des aires de toutes
  les faces dune figure à trois dimensions.
• Laire totale de nimporte quel prisme, pyramide
  ou cylindre est simplement la somme de laire des
  faces exposées.
• Le symbole de laire totale est At

46
Comment calculer laire totale du cylindre

• Pour calculer laire totale du cylindre
• At 2?r2 2?rh

47
Comment calculer laire totale du cône

• Pour calculer laire totale du cône
• Trouve la somme de laire de sa base et laire
  latéral.
• At ?r2 ?ro

48
La génératrice

• La longueur de la génératrice utilise le symbole
  o
• En anglais, la génératrice veut dire  slant
  height 
• La génératrice est calculée en utilisant le
  théorème de Pythagore.

49
Comment calculer laire totale dune sphère

• Pour calculer laire totale dune sphère
• At 4?r2

50
Un cube

• Un cube est le produit de trois facteurs égaux.
• Chaque facteur représente la racine cubique du
  nombre.
• Par exemple, la racine cubique de 8 est 2 parce
  que 23 2 x 2 x 2 8

51
Unique Triangles

• A unique triangle is a triangle that does not
  have an equivalent. (one-of-a-kind)

52
How to create a unique triangle

• These conditions are needed to create a unique
  triangle
• The SSS case means that all three sides are
  given.
• The SAS case means that the measures of two sides
  and the angle between the two sides are given.
• The ASA case means that the two angles and the
  side contained between the two angles are given.
• The AAS case means that the two angles and a
  non-contained side are given.

53
Congruence

• The symbol for congruence, , is read is
  congruent to.
• If 2 geometric figures are congruent, they have
  the same shape and size.

54
How to determine 2 Congruent Triangles

• To determine 2 congruent triangles, we must check
  a set of minimum sufficient conditions
• Measure the lengths of 1 pair of corresponding
  sides and 2 pairs of corresponding angles and
  find them equal.
• Measure the lengths of 2 pairs of corresponding
  sides and the angles included by these sides and
  find them equal.
• Measure the lengths of 3 pairs of corresponding
  sides and find them equal.

55
Similar figures

• The symbol, , means is similar to
• Two figures (polygons) are similar when their
  corresponding angles have the same measure and
  their corresponding sides are in proportion.

56
How to determine 2 Similar Triangles

• To determine 2 similar triangles, we must check a
  set of minimum sufficient conditions
• 2 pairs of corresponding angles have the same
  measure.
• The ratios of 3 pairs of corresponding sides are
  equal (i.e. these 3 pairs are proportional)
• 2 pairs of corresponding sides are proportional
  and the corresponding included angles are equal.
  

57
Transformations

• A transformation is a mapping of one geometrical
  figure to another according to some rule.
• A transformation changes a figures pre-image to
  an image.

58
Pre-image vs. Image

• A pre-image is the original line or figure before
  a transformation.
• An image is the resulting line or figure after a
  transformation.
• See page 5 of Math 9 booklet to see the
  difference in notation between these 2 terms.

59
The types of transformations

• There are 4 types of transformations

• Translations
• Reflections
• Rotations
• Dilatations.

60
A translation

• A translation is a slide. It is represented by a
  translation arrow.

61
A reflection

• A reflection is a flip. It is represented by a
  reflection line m (a double arrowed line)

62
A rotation

• A rotation is a turn. It is represented by a
  curved arrow either in a clockwise or counter
  clockwise direction.

63
A dilatation

• A dilatation is an enlargement or reduction.
  Dilatations always need a dilatation centre and a
  scaling factor.
• A scale factor is a ratio or number that
  represents the amount by which a figure is
  enlarged or reduced
• (image measurement) (pre-image measurement)

64
Transformations on a Cartesian Grid

• A map associates each point of a geometric shape
  with a corresponding point in another geometric
  shape on a Cartesian Grid.
• A map shows how a transformation changes a
  pre-image to an image.

65
An example of a map

• (2,3) ? (4,7) means that the point (2,3) maps
  onto point (4,7).
• This implies that there is a relationship between
  the 2 points.
• (2,3) and (4,7) are called corresponding points.

66
Mapping Rule

• The relationship between 2 corresponding points,
  expressed as algebraic expressions, is called a
  mapping rule.
• For example (2,3) ? (4,7) has a mapping rule
  (x,y) ? (x2, y4)

67
Properties of Transformations

• The properties of translations, reflections and
  180 rotations were discussed in Grade 8.
• These properties are summarized on the worksheet
  (GS BLM 6.2 Properties of Transformations Table)

68
Minimum Sufficient Conditions for Transformations

• To be certain that 2 shapes have undergone a
  specific transformation, one must provide a
  minimum sufficient condition (information).

69
The Minimum Sufficient Condition for a Translation

• The line segments joining corresponding points
  are congruent, parallel and in the same
  direction.

70
Minimum Sufficient Condition for a Reflection

• The line segments joining corresponding points
  have a common perpendicular bisector.

71
A perpendicular bisector

• A perpendicular bisector is a line drawn
  perpendicular (at a 90 angle) to a line segment
  dividing it into 2 equal parts.
• The perpendicular bisector always intersects with
  the midpoint of the original line segment.

72
Minimum Sufficient Condition for a 180 Rotation

• The line segments joining corresponding points
  intersect at their midpoints.

73
Regular polyhedron (Grade 7)

• A regular polyhedron is a 3-D figure with faces
  that are polygons.
• Polyhedrons plural is polyhedra.

74
Platonic solids

• The Platonic solids are the 5 regular polyhedra
  named after the Greek Mathematician Plato.

75
The 5 Platonic solids

• The cube
• The regular tetrahedron
• The regular octahedron
• The regular dodecahedron
• The regular icosahedron
• See Page 39 of Math 9 booklet

76
The 3 characteristics of regular polyhedra
(Platonic solids)

1. All faces are 1 type of regular polygon.
2. All faces are congruent.
3. All vertices are the same (i.e. they have vertex
   regularity)

77
What is vertex regularity?

• When all vertices in a polyhedron are the same,
  you have vertex regularity, which can be
  described using notation.
• For example, the notation 5,5,5 represents the
  vertex regularity of a regular dodecahedron
  because there are 3 regular 5-sided polygons at
  every vertex.

78
Circle Geometry

• In this section of circle geometry, we will be
  introduced to these new terms

• Central angles
• Inscribed angles
• Tangent of a circle
• Circumscribed angle

79
Central angle

• A central angle is an angle formed by 2 radii of
  a circle. (page 42)

80
Inscribed angle

• An inscribed angle is an angle that has its
  vertex on a circle and is subtended by an arc of
  the circle. (page 42)
• What does subtended mean geometrically?

81
Tangent of a circle

• A tangent of a circle is a line that touches a
  circle at only 1 point, the point of tangency.
  (page 43)

82
Circumscribed angle

• A circumscribed angle is an angle with both arms
  tangent to a circle. (page 44)

83
A polygon

• A polygon has all sides congruent and all angles
  congruent.
• Polygons can be both regular and irregular.
• Regular polygons have both reflective and
  rotational symmetry. (Major difference between
  regular and irregular polygons)

84
Regular polyhedron

• A regular polyhedron is a 3-D figure with faces
  that are polygons.
• Polyhedrons plural is polyhedra.

85
Polyhedra with regular polygonal faces

• In grade 9 Geometry, there are several types of
  polyhedra

• The 5 Platonic solids
• A uniform prism
• An antiprism
• A deltahedron
• A dipyramid
• The Archimedean solids

86
The 5 Platonic solids

• The cube
• The regular tetrahedron
• The regular octahedron
• The regular dodecahedron
• The regular icosahedron
• See Page 39 of Math 9 booklet

87
Uniform prism

• A uniform prism is a prism having only regular
  polygonal faces. (page 50)

88
Antiprism

• An antiprism is a polyhedron formed by 2
  parallel, congruent bases and triangles.
• Each triangular face is adjacent (next to) 1 of
  the congruent bases.
• Page 51

89
Deltahedron

• A deltahedron is a polyhedron that has only
  equilateral triangle faces.
• The deltahedron is named after the Greek symbol
  delta (?)
• The plural is deltahedra.
• Page 51

90
Dipyramid

• A dipyramid is a polyhedron with all triangle
  faces formed by placing 2 pyramids base to base.
  
• Page 52

91
Archimedean solids

• The Archimedean solids are the 13 different
  semi-regular polyhedra.
• The Archimedean solids have vertex regularity and
  symmetry (reflective and rotational)

92
13 Archimedean solids (page 53)

• Cuboctahedron
• Great rhombicosidodecahedron
• Great rhombicuboctahedron
• Icosidodecahedron
• Small rhombicosidodecahedron
• Small rhombicuboctahedron
• Snub cube

93
13 Archimedean solids (page 53) continued

• Snub dodecahedron
• Truncated dodecahedron
• Truncated icosahedron
• Truncated octahedron
• Truncated tetrahedron
• Truncated cube

94
What is a vertex?

• A vertex is a point at which 2 or more edges of a
  figure meet.
• The plural is vertices.

95
Vertex configuration

• Vertex configuration is the arrangement of
  regular polygons at the vertices of a polyhedron.
  (page 50)
• Vertex configuration notation refers to the types
  of regular polygons around a vertex.
• For example, the notation 3,4,5,4 means that a
  vertex has an equilateral triangle, a square, a
  regular pentagon and a square around it in that
  order.

96
Plane of symmetry

• A plane of symmetry is a plane dividing a
  polyhedron into 2 congruent halves that are
  reflective images across the plane.
• Page 53

97
Axis of symmetry

• An axis of symmetry is a line about which a
  polyhedron coincides with itself as it rotates.
• The number of times a polyhedron coincides with
  itself in 1 complete rotation is its order of
  rotational symmetry.

98
The properties of regular polyhedra

1. All faces are regular polygons.
2. All faces are the same type of congruent polygon.
3. The same number of faces meet at each vertex.
4. Regular polyhedra have several axis of symmetry
   (rotational symmetry)
5. Regular polyhedra have several planes of symmetry
   (reflective symmetry)

99
The difference between semi-regular and regular
polyhedra

• Regular polyhedra Platonic solids, etc.
• Semi-regular polyhedra Archimedean solids
• All faces of a semi-regular polyhedron are not
  the same type of regular polygon.