FUNCIONES

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FUNCIONES

• Continuas, discontinuas.
• Continuamente diferenciables, no continuamente
  diferenciables (de orden n)
• Unimodales, multimodales.
• Cóncavas, convexas.
• Puntos estacionarios.
• Región convexa.
• Funciones y formas cuadráticas.
• Condiciones necesarias y suficientes de
• Máximos y mínimos.

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FUNCIONES

• Funciones cóncavas y convexas
• Puntos estacionarios (Puntos singulares).
• Región convexa

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FUNCIONES
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FUNCIONES

• Formas cuadráticas

Valores propios de H Menores de H
Estrictamente convexa Definida positiva gt 0
Convexa Semidefinida positiva
Cóncava Semidefinida negativa
Estrictamente cóncava Definida negativa lt0
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Extremos de f(x)

• 1
• 2
• 3
• Las condiciones 1 y 2 son necesarias y la 3
  suficiente para garantizar que x sea un extremo.
• Un máximo o mínimo puede existir aunque no se
  cumplan las tres condiciones.P. ej. Si f(x)x4,
  x0 es un mínimo pero H(0) no está definida en
  x0 y la condición 3 no se satisface.

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REGIÓN FACTIBLE
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REGIÓN FACTIBLE
Si la función f y las restricciones son convexas,
lo que implica que la región factible es convexa,
el problema de programación no lineal general se
transforma en un problema de programación convexa
y se verifica que El mínimo local de f(x) es
también un mínimo global.
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FUNCIONES CONVEXAS CONJUNTOS CONVEXOS
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FUNCIONES CONVEXAS CONJUNTOS CONVEXOS
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OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES.BUSQUEDA
UNIDIMENSIONAL

• A. Métodos directos. No requieren el cálculo de
  la derivada.
• B. Métodos indirectos. Requieren el cálculo de la
  derivada.
• Selección del estimado inicial.
• Procedimientos de búsqueda y partición del
  intervalo.
• Convergencia.

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Métodos directos

• Métodos de eliminación de regiones.
• Búsqueda de dos puntos por intervalos iguales.
• Búsqueda dicotómica.
• Búsqueda de Fibonacci.
• Búsqueda por razón aúrea.

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Métodos directos Búsqueda de Fibonacci.
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Métodos indirectos.

• Método de Newton.
• Método de Quasi-Newton.
• Método de la secante.

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OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES. BUSQUEDA
MULTIVARIABLE.

• Métodos directos.
• Búsqueda aleatoria
• Búsqueda por rejilla
• Método simplex

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OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES. BUSQUEDA
MULTIVARIABLE.

• Método simplex

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MÉTODOS INDIRECTOSPRIMER ORDEN (A)SEGUNDO
ORDEN (B)

• A.-Método del gradiente
• Método del Gradiente conjugado
  (Fletcher-Powell)
• B.- Método de Newton
• Método de la secante
• Método de Davidon-Fletcher-Powell

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MÉTODO DEL GRADIENTE

• Ecuación básica para búsqueda de un mínimo/máximo
  de f(x).El gradiente es un vector que da la
  máxima variación de f(x)
• Steepest ascent (descent)
• Optimizar
• la longitud del paso

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MÉTODO DEL GRADIENTE
19
MÉTODO DEL GRADIENTE
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MÉTODO DEL GRADIENTE.EJEMPLO.
Compresor de tres estados
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MÉTODO DEL GRADIENTE.EJEMPLO.
p2 p3 W
4.00 7.00 2.681
3.56 6.95 2.653
3.12 6.90 2.629
2.68 6.85 2.615
2.24 6.80 2.622
Punto mínimo
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MÉTODO DEL GRADIENTE.EJEMPLO.
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Direcciones conjugadas Gradiente conjugado

• Es un método útil en mejorar la convergencia del
  método del gradiente.
• La matriz Q es el hessiano de la función. objeto.
• La dirección de búsqueda es una combinación
  lineal del gradiente actual con la dirección
  anterior.
• Pequeña información necesaria para realizar el
  algoritmo.
• Paso 1.
• Paso 2.Guardar
• ..........

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PROGRAMACION NO LINEAL CON RESTRICCIONES

• Método de los multiplicadores de Lagrange
• Condiciones necesarias y suficientes para un
  extremo local
• Método del gradiente generalizado
• Programación cuadrática

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PROGRAMACION NO LINEAL CON RESTRICCIONES DE
IGUALDAD Método de los multiplicadores de
Lagrange

• PROBLEMA
• CONDICIONES NECESARIAS. A partir de la función de
  Lagrange,L
• CONDICIONES SUFICIENTES

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PROGRAMACION NO LINEAL CON RESTRICCIONES DE
IGUALDAD

• Matriz de Hancock. Condiciones suficientes con
  restricciones.
• La forma cuadrática Q es definida positiva o
  negativa si las raíces l de la ecuación siguiente
  son positivas o negativas.
• Ejemplo. Encontrar las dimensiones de un depósito
  cilíndrico cerrado hecho de acero que maximice
  su volumen si el área del mismo es de 24p.

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CONTROL ÓPTIMO ESTACIONARIO

• Dinámica
• Estacionario
• Método de los multiplicadores de Lagrange
• Sistema lineal o linealizado en torno a un punto
  estacionario
• Solución

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CONTROL ÓPTIMO ESTACIONARIO

• Condiciones necesarias
• Condiciones suficientes
• Definida positiva lo cual implica que
• Q (nxn) sea simétrica y def. positiva
• P (rxr) sea simétrica y def. positiva

v
v
M
u
u
x
x
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PROGRAMACION NO LINEAL CON RESTRICCIONES DE
DESIGUALDAD

• PROBLEMA
• SOLUCIÓN. Método de los multiplicadores de
  Lagrange
• CONDICIONES NECESARIAS
• Las derivadas parciales de L con respecto a
  x,y,l,igualadas a cero.
• Dan n2m ecuaciones para calcular n2m incógnitas

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PROGRAMACION NO LINEAL CON RESTRICCIONES DE
DESIGUALDAD

• En programación convexa las condiciones
  anteriores se convierten en condiciones
  necesarias y suficientes para un mínimo local. Se
  llaman condiciones de Kuhn-Tucker y se establecen
  como
• Si el problema es de maximizar o si las
  restricciones son del tipo los
• tienen que ser no positivos.Si el problema es de
  maximizar y las restricciones de la forma los
  tienen que ser no negativos.

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PROGRAMACION ENTERA-MIXTA (MIP)

• La función objetivo depende de dos conjuntos de
  variables
• x vector de variables continuas
• y vector de variables enteras
• Ejemplos
• Problema del viajante.
• Problema de la localización de plantas
• En general son problemas de PL o PNL conocidos
  como MILP o MINLP
• Soluciones.- Algoritmo Branch and Bound.
• Son variantes de Programación lineal y no
  lineal.
• Utilizado en EXCEL SOLVER