Estudo de Pol

1
Estudo de Polígonos
2
Enchendo a piscina

• A piscina de um clube de minha cidade, vista de
  cima, tem formato retangular. O comprimento dela
  é de 18 m. o fundo é uma rampa reta. Vista
  lateralmente, ela tem o formato apresentado na
  figura.

Outro dia, a piscina estava vazia. O funcionário
do clube abriu o registro e começou a enchê-la. A
água jorrava a uma vazão de 4 litros por segundo.
3
Enchendo a piscina

• O gráfico a seguir mostra o nível x da água, em
  metros, na parte mais funda, em função do volume
  V de água despejada, em litros.

Qual é a profundidade da piscina na parte mais
rasa?
x (m)
1,8
E na parte mais funda?
Qual é a capacidade da piscina, em litros?
0,8
Em quanto tempo a piscina ficará cheia?
0
C
43.200
V ( L)
4
Polígonos convexos
5
Definição

• A figura a seguir mostra um conjunto de segmentos
  consecutivos e não-colineares AB, BC, CD, DE,
  EF, FA, contidos num mesmo plano. Chama-se
  polígono união de todos esses segmentos e dos
  pontos da região interior.

B
C
A
D
F
E
6
Elementos

• A figura abaixo, temos o polígono ABCDEF. Nele,
  destacamos

• Os vértices A, B, C, D, E e F.

• Os ângulos internos A, B, C, D, E e F.

• Os lados AB, AC, CD, DE, EF e FA.

• A diagonal BD.

• ? é ângulo externo relativo ao vértice A.

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Nomenclatura

• Os polígonos recebem nomes especiais, de acordo
  com o numero n de seus lados.

Polígono
n
Polígono
n
eneágono
9
triângulo
3
decágono
10
quadrilátero
4
undecágono
11
pentágono
5
dodecágono
12
hexágono
6
pentadecágono
15
heptágono
7
icoságono
20
octógono
8
8
Polígono regular

• Chama-se polígono regular qualquer polígono que
  tem todos os lados congruentes e todos os ângulos
  internos congruentes.

B

• Os ângulos A B C D E F.

• Os lados AB AC CD DE EF FA.

9
Ângulos internos nopolígono regular.
10
Soma dos ângulos internos

• A soma dos ângulos internos de um polígono
  convexo com n lados é dado por Si (n 2).180º.

A4
A3
Si (n 2).180º
A2
A5
A1
An
11
Ângulo interno do polígono regular

• No polígono regular, os n ângulos são
  congruentes. Chamando de i a medida de cada um
  deles, temos

B
i
i
i
i
i
i
12
Ângulo interno e externo

• Medidas dos ângulos internos e externos de alguns
  polígonos regulares.

ângulo externo
ângulo interno
polígono
120º
60º
Triângulo
90º
90º
Quadrilátero
72º
108º
Pentágono
60º
120º
Hexágono
36º
144º
Decágono
18º
162º
Icoságono
3,6º
176,4º
100 lados
13
Exemplo

• Num decágono regular, cada lado mede 3 cm,
  Calcular seu perímetro e a medida de cada um de
  seus ângulos internos.

Decágono regular tem 10 lados (n 10).
P 10 . 3 cm 30 cm
S (n 2).180o
(10 2).180º 8. 180 1440º
1440º
144º
i
10
14
Área de polígonos
15
Definição de área

• A área de um figura plana fechada é a medida da
  extensão de sua superfície.
• A unidade fundamental de medida de áreas é o
  metro quadrado (m2). A área de 1 m2 é a área de
  um quadrado cujo lado mede 1 m.

Quantos m2 tem 1 km2
1 m2
16
Área do quadrado
A L2
L
L
17
Exemplo

• Calcular a medida de cada lado e de cada uma das
  diagonais de um quadrado, cuja área mede 18 cm2.

? L2 18
A L2
? L 3v2
D
D2 L2 L2
? D Lv2
? D 3v2.v2
? D 6 cm
18
Área do retângulo
Altura (h)
Base (b)
A b . h
19
Exemplo

• Calcular o perímetro de um retângulo de 18 m2 de
  área, sabendo que um de seus lados é o dobro do
  outro.

A 18
? x.2x 18
x
? x2 9
? 2x2 18
? x 3
2x
Os lados medem 3 m e 6 m.
P 2.3 2.6 18 m
20
Área do Paralelogramo
h
base (b)
A b . h
21
Exemplo

• Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e
  formam, entre si, ângulo de 60º. Obter a sua área.

h
h
v3
v3
? h 2
?
h 4. sen 60º
4.
sen 60º
4
2
? A 12v3
A b . h
6. 2v3
22
Área do Losango
L
L
d2
L
L
d1
23
Exemplo

• O perímetro de um losango é 52 cm e a menor de
  suas diagonais mede 10 cm. Achar sua área.

x
P 4.x
? 4.x 52
5
? x 13
y
x2 52 y2
? y2 169 25
? 132 25 y2
? y2 144
? y 12
d1 . d2
10 . 24

A
? A 120 cm2
2
2
24
Área do Trapézio
base (b1)
h
base (b2)
25
Exemplo

• Uma caixa de papelão tem altura constante, e as
  duas bases têm forma de trapézios isósceles
  congruentes. As medidas, em centímetros, são as
  da figura. Obter a área total externa da caixa.

27
6
10
15
26
Exemplo

• Uma caixa de papelão tem altura constante, e as
  duas bases têm forma de trapézios isósceles
  congruentes. As medidas, em centímetros, são as
  da figura. Obter a área total externa da caixa.

Cálculo da altura do trapézio
h2 62 102
27
? h2 36 100
6
15
6
? h2 100 36
h
h
10
10
? h2 64
15
? h 8
27
Exemplo

• Uma caixa de papelão tem altura constante, e as
  duas bases têm forma de trapézios isósceles
  congruentes. As medidas, em centímetros, são as
  da figura. Obter a área total externa da caixa.

Área do trapézio
27
(15 27).8
A
6
15
6
2
8
8
10
10
A 168
15
28
Exemplo

• Uma caixa de papelão tem altura constante, e as
  duas bases têm forma de trapézios isósceles
  congruentes. As medidas, em centímetros, são as
  da figura. Obter a área total externa da caixa.

27
6
10
15
A 15 . 6 90
Área da face da frente
A 27 . 6 162
Área da face de trás
A 2. 10 . 6 120
Área das faces laterais
29
Exemplo

• Uma caixa de papelão tem altura constante, e as
  duas bases têm forma de trapézios isósceles
  congruentes. As medidas, em centímetros, são as
  da figura. Obter a área total externa da caixa.

27
6
10
15
Área total da superfície da caixa
A 336 90 162 120 708 cm2.
30
Área do Triângulo
h
base (b)
31
Exemplo

• Calcular a área de um triângulo cujos lados medem
  10 cm, 10 cm e 16 cm.

10
10
h2 82 102
h
? h2 64 100
8
8
? h2 36
? h 6
16 . 6
b . h
A

48 cm2.
2
2
32
Área do Triângulo Eqüilátero
L
L
h
Lv3
h
2
L
33
Exemplo

• Calcular a área de um triângulo eqüilátero cujo
  perímetro é 18 cm.

P 18
? 3L 18
? L 6 cm
L2v3
62v3
A

A 9v3 cm2
?
4
4
34
Área do Hexágono regular
L
L
L
L
L
L
35
Exemplo

• Achar a área do hexágono regular em que cada
  apótema mede 6 cm.

x/2
tg 30º
6
O
v3
x
v3

? x 4
3
12
6
?
x
x/2
3x2v3
3.48.v3
A

2
2
? 30º
A
72v3 cm2
36
Área do triângulo em função da medida de dois de
seus lados e do ângulo compreendido por esses
lados
h
sen a
c
c
h
? h c. sen a
a
b
b . h
?
A
2
37
Exemplo

• Num hexágono regular ABCDEF, a diagonal AC mede 6
  cm. Calcular a área do hexágono.

B
C
6
D
A
E
F
38
Exemplo

• Na figura, ABCE é um quadrado, CDE é um triângulo
  retângulo em D e ABF é um triângulo eqüilátero.
  Obter a área da região sombreada.

D
2v3
2
C
E
F
A
B
39
Exemplo

• (UEMS) Une-se um dos vértices de um quadrado aos
  pontos médios dos lados que não contêm esse
  vértice, obtendo-se um triângulo isósceles, como
  mostra a figura abaixo. A área desse triângulo,
  em relação à área do quadrado, é

1. 0,355
2. 0,365
3. 0,375
4. 0,385
5. 0,395