Statistique, licence

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Statistique, licence

• Sixième séance

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Analyse de variance

• Pour plans à mesures répétées

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Plan

1. Position du problème
2. Utilité des plans à mesures répétées
3. Les conditions dapplication
4. La beauté est-elle une notion universelle?
5. La régression vers la moyenne
6. Évolution
7. Quest ce quune bonne blague?

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1. Problématique

• situation propice à lanova répétée.

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Mesures répétées

• Lorsquon mesure plusieurs fois de suite la
   même  grandeur sur des sujets, on est
  confronté à une incohérence.
• Si par exemple on mesure le QI dans trois
  situations, et que les sujets passent les trois
  situations
• On pourra dire quil y a 3 QI (variables),
  perdant ainsi léquivalence des QI.
• On pourra dire quil y a une variable QI et une
  var situation, mais alors quels sont les
  individus?
• On utilisera une description incorrecte
  mathématiquement, mais facile à comprendre en
  parlant de variable intra-sujets et inter-sujets.

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Utilisation courante

• Cette situation est ce quon appelle un plan à
  mesures répétées pour des raisons évidentes
• On utilise souvent lanova pour plans à mesures
  répétées quand on mesure plusieurs fois une même
  grandeur pour en percevoir lévolution au cours
  du temps ou dans diverses situations , pour
  chaque sujet.
• Là où une une anova simple échouerait du fait de
  la variabilité inter-sujet, celle-ci pourra
  réussir, car on peut dans ce cas supprimer les
  facteurs personnels.

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Décomposition
on peut se débarrasser des variations sujet.
Total
Inter-sujet (facteur sujet)
Intra-sujet
Erreur
Facteur
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2. Utilité

• Des plans à mesures répétées

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Exemple-fiction

• Supposons que lon veuille étudier lévolution
  des opinions vis-à-vis du maoïsme dun groupe de
  jeunes a priori favorables, au cours dune
  semaine de présentation.
• On mesure lopinion par une valeur numérique X.

• Si lon veut utiliser une anova simple, on peut
  interroger un échantillon le premier jour, un
  autre le second jour, et un troisième le dernier
  jour par exemple.
• Si lon trouve des différences, elles seront
  peut-être peu significatives

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Anova simple
les moyennes diminuent au cours du temps, mais
cela pourrait être le fruit du hasard.
les barres derreurs montrent en effet une grande
variation pour chaque groupe (jour).
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Anova simple
lhypothèse dhomogénéité des variances se tient.
la différence entre les groupes nest pas
significative. On ne peut pas conclure.
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Anova répétée

• En fait, on peut imaginer deux cas limites. Lun
  des cas est le suivant les variations prises
  sujet par sujet sont hiératiques et peu
  prévisibles. Dans ce cas, les mesures répétées
  donneront le même résultat.

• Lautre cas limite est celui où, bien quil y ait
  de grandes différences entre les sujets, leffet
  du facteur temps est presque le même sur les
  différents sujets. Dans ce cas, les résultats
  pourraient être très différents!

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Anova répétée
il y a des différences significatives entre les
sujets. Comparez le Scsujet au Sctotal!
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Anova répétée
quand on a annulé le facteur sujet très
important mais pour nous inintéressant on
arrive à conclure à un effet très significatif du
temps.
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Pour conclure

• Dun autre côté, il va de soi que toutes les
  études ne se prêtent pas à ce genre de plan
  dexpérience.
• En particulier, il est parfois gênant de faire
  passer plusieurs fois le même test.
• Dans le cas de situations différentes, on pensera
  à contrebalancer pour lordre.

• Les plans à mesures répétées permettent de
  saffranchir des turbulences de la VD engendrées
  par le fait que les humains diffèrent.
• Ils sont précieux pour détecter un effet un peu
  fin masqué par les différences individuels.

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3. Conditions

• dapplication

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CA

• On dispose de
• Une VD numérique X
• Un facteur intra-sujet F
• Un facteur  sujet .
• On sinterroge sur les effet des facteurs F et
  Sujet sur la VD X.
• On peut également avoir, en plus des facteurs
  déjà mentionnés, des facteurs inter-sujets.

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Conditions dapplications

• Les sujets doivent être indépendants (pas les
  observations !)
• Les écart-types des différents relevés (i.e. de
  la VD pour chaque modalité du facteur F) doivent
  être homogènes
• Les covariances doivent également être homogènes
• Les distributions doivent être normales

Indépendance des sujets
Homogénéité des variances
Homogénéité des covariances
normalité
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4. La beauté

• Universelle, culturelle ou personnelle?

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Présentation

• Chaque sujet a attribué une note de beauté à
  chacun des six visages présentés. Il y a 111
  sujets.
• La note est une valeur comprise entre 0 et 10.
• Parmi les questions que lon peut se poser à
  partir de cette expérience, étudions celle-ci
  dans quelle mesure la notion de beauté est-elle
  personnelle ?

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Portrait A
Portrait B
Portrait C
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Portrait D
Portrait E
Portrait F
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Présentation

• Dans la pratique, on procède ainsi pour
  simplifier la présentation
• On dit que les individus sont les sujets.
• Que la VD est  la note  X.
• Il y a deux facteurs catégoriels
• Le visage V, variable intra-sujet
• Le facteur  sujet  S

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Formalisation de la question

• Notre question était la note est-elle le
  résultat dun processus personnel ou plutôt
  universel/culturel ?
• Pour y répondre, nous réécrirons la question de
  cette manière
•  La note dépend-t-elle principalement du facteur
  sujet ou du facteur visage ? 

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Formalisation de la question

• Si la beauté est essentiellement personnelle, la
  note doit dépendre presque uniquement du facteur
   sujet , et les variations de X peuvent alors
  sexpliquer presque entièrement par la variation
  due à S.
• Dans le cas contraire, elle doit dépendre du
   vrai  facteur V.
• Pour le savoir, nous utilisons une anova
  particulière, dont le principe est le même que
  pour lanova simple lanova pour plans à
  mesures répétées.

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Tableau des données brutes
A B C D E F
S1 10 2 0 9 6 0
S2 10 5 4 10 8 2
S3 9 8 3 9 7 1
S4 10 5 1 9 5 2
S5 8 6 1 8 4 5
S6 8 5 0 10 8 1
S7 9 5 0 10 3 0
S8 10 3 2 8 5 0
S9 7 1 1 7 9 1
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Tableau
Source SC dl CM F
S 14124 110 128 128
Intra 4816 555
Erreur 554 550 1
V 4262 5 852 852
Total 18940 665
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Interprétation

• Les F se comparent à ceux de la table.
• Pour le F (S), il faut lire 110 et 550 dl (soit
  1.57)
• Pour le F (V), il sagira de 5 et 550 dl (soit
  3.05)
• Dans les deux cas, les F observés sont
  significatifs à 1 (et même, en fait, à 0.01)

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Interprétation

• On en déduit tout naturellement que
• La note dépend  certainement  (et non pas
   fortement ) du visage présenté
• Elle dépend également du sujet (juge)
• Il faudra affiner pour pouvoir répondre à la
  question de départ

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Remarques

• On ne teste habituellement pas TOUT.
• En général, il faut bien réfléchir avant
  lexpérience à ce qui sera nécessaire et ce qui
  ne le sera pas. Plus on calcule de statistiques
  F, moins le résultat final est fiable, pour un
  risque par test fixé.
• Dans notre cas, il faut calculer les deux F
  possibles, mais on ne calcule habituellement que
  le F (facteur), car la variation inter-sujet ne
  nous intéresse pas.

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Grandeur des effets

• Comme dans le cas général, on peut affiner la
  compréhension des effets en calculant les
  grandeurs des effets.
• Par exemple SC(S)/SC(total)75, ce qui indique
  que 75 de la variation totale (sur
  léchantillon) pour les notes est attribuable au
  facteur sujet
• Dautre part, SC(V)/SC(total)23, si bien que
  23 de la variation totale est attribuable au
  facteur visage.

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Grandeur des effets

• Cela laisse penser que la notion de beauté est
  avant tout personnelle, car les facteurs
  individuels expliquent une plus grande partie de
  la variation.
• Mais il faudrait en réalité étudier les rangs
  plus que les notes.
• Les différences inter-sujet observées sont en
  effet en partie dues à linterprétation des codes
  de jugement. (notes attribuées).
• Létude avec les rangs constituent le test de
  Friedman, et il montre que la beauté est plutôt
  culturelle ou universelle.

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5. Régression

• Vers la moyenne

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Eau et fièvre

• Sélectionnons un échantillons de patients ayant
  de la fièvre (au moins 38).
• Donnons-leur de leau de source. Nous les
  informons quils boivent de leau de source (il
  nest pas ici question deffet placebo).
• Reprenons, deux jours plus tard, leur
  température.
• Dans la plupart des cas, la température a baissé!
  Halte aux coûteuses aspirines! Sus au paracétamol!

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Eau et fièvre

• Comment expliquer ce résultat surprenant, déjà
  constaté pour les tailles par Galton?
• Il sagit de la régression vers la moyenne, un
  phénomène purement mécanico-statistique.

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Eau et fièvre

• Explication intuitive
• La température dépend de plusieurs facteurs
  (virus, etc.) dont la plupart sont aléatoires et
  varient au cours du temps.
• En sélectionnant des personnes ayant de la
  fièvre, on choisit un moment où ces facteurs vont
  tous dans le sens dune augmentation de
  température. Il est probable que quelques heures
  plus tard, certains auront changé.

Explication mathématique On note T la température
en début dexpérience, et T en fin
dexpérience. Lévolution de température est
évidemment liée négativement à T, surtout si T et
T sont indépendants
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6. A la main

• Évolution de la dépression en cure

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Présentation

• Des patients dépressifs suivent une thérapie. On
  relève chaque mois un score X de gravité de la
  dépression
• Le but est de savoir si lévolution est plutôt
  positive au cours du temps
• On a une VD numérique X
• Un facteur S (sujet) et T (temps) catégoriel (on
  mesure X quatre fois, T a donc quatre modalités)
• Chaque patient passe plusieurs fois le test
  donnant X.

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Question

• Nous sommes dans le cadre dune anova pour plans
  à mesure répétées.
• La question est de savoir si T a un effet sur X.
• Lhypothèse nulle serait  X ne présente en
  moyenne aucune modification au cours du temps 
• Lhypothèse alternative  X varie au cours du
  temps 

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Données brutes
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Mieux vaut répéter

• Si on étudiait seulement les moyennes de la VD
  chaque mois, sans tenir compte du facteur sujet,
  on aurait à comparer les moyennes de
  distributions très étalées
• En effet, les valeurs diffèrent beaucoup dun
  sujet à lautre
• Grâce à lanova pour plans à mesures répétées, on
  peut annuler la variation sujet
• Intuitivement, on peut comprendre les choses de
  la manière suivante

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Méthode simple
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Méthode répétée
Chaque courbe représente un sujet. On suit
lévolution pour chaque sujet
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Conditions

• On supposera
• Lindépendance des sujets
• La normalité
• Lhomogénéité des covariances et des variances

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Plan

• Le but est de calculer F pour le facteur temps
  (T)
• Notre question est en effet de savoir si T a un
  effet sur la VD X.
• Pour cela, on doit faire presque tous les
  calculs, en commençant par les SC

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FC

• Commençons par calculer le facteur de correction
  FC.

47
SC total

• On peut ensuite calculer SC total

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SC inter-sujet

• Le SC inter-sujet se calcule facilement

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SC(T)

• Un autre SC est facile le SC entre les mois
  SC(T)

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Autres SC

• Les autres SC se déduisent par différences.

51
Degré de libertés

• Il est clair que
• dl(tot) 39
• dl(S) 9
• dl(T) 3
• Les autres sen déduisent par différence

52
Tableau
53

• Le F est calculé avec 3 et 27 dl.
• La table donne 4.64
• On peut donc conclure et rejeter H0 pour H1 au
  risque de 1.
• Ainsi, les patients présentent une évolution.
• Sur léchantillon, lévolution semblant positive
  (baisse du score de gravité), on pense que la
  thérapie est efficace.

54
Remarques

• En réalité, il faudrait comparer à un groupe
  témoin, à cause de leffet de régression vers la
  moyenne.
• On peut préciser la grandeur de leffet du
  facteur en calculant
• SC(T)/SC(tot) 2
• La thérapie explique seulement 2 des variations
  observées.

55
Remarques

• On peut vouloir supprimer leffet sujet, dû au
  fait que certains patients sont plus gravement
  dépressifs que dautres.
• Pour cela, on peut calculer SC(T)/(SC(tot)-SC(S))
  53 et dire que  la thérapie explique 53 des
  variations de score indépendamment du sujet 

56
7. Un bonne blague

• Cest quoi?

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Présentation

• On demande à des chercheurs en mathématiques,
  lettres, ou musicologie, de noter sur 10 la
  qualités de 3 blagues.
• On a ainsi une variable  note , un facteur
  intra-sujet blague (1,2, ou 3)

• Mais également un facteur inter-sujet groupe
  (maths, lettres, musicologie)
• On peut traiter ces données dun coup par
  ordinateur, ici SPSS.

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Si on suppose la normalité, le reste des
conditions dapplication est justifié par le test
de Mauchly.
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Il semblerait y avoir des blagues de matheux (1),
de musiciens (2) et de lettreux (3). Cela devrait
se traduire par une interaction entre le groupe
et la blague.
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on ne sintéresse pas aux variations dues aux
facteur sujet.
il ny a pas de différence significative entre
les blague. Linteraction a en revanche un effet
significatif sur la note, ce qui confirme notre
diagnostique.
61
leffet principal du groupe est peu significatif
compte tenu du nombre de F calculés
ici, on fait une anova simple sur les moyennes
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Conclusion

• Il y a des blagues pour matheux, dautres pour
  lettreux, dautres pour musiciens.
• Les différentes blagues ne sont ni plus drôles ni
  moins drôles dans labsolu, mais elles
  correspondent plus ou moins bien à lauditeur.
• Enfin, les trois groupes semblent juger
  globalement les blagues de la même manière les
  matheux, les lettreux, les musiciens ne sont ni
  meilleur ni moins bon public les uns que les
  autres.