Statistiques, licence

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Statistiques, licence

• Troisième séance

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Techniques alternatives de corrélation

• Pour variables non quantitatives

3
Plan

1. Position du problème
2. Données dichotomiques
3. Corrélation bisérielle de points
4. Coefficient phi
5. Données rangées
6. (Coefficient de Spearman)
7. Coefficient de Kendall
8. Quelques exemples
9. Compléments.

4
1. Position du problème
5

• Il arrive que lon souhaite connaître le lien
  entre deux variables (cas de la régression
  linéaire simple), mais que les variables ne
  soient pas quantitatives.
• On voudrait pouvoir arranger la méthode de
  corrélation linéaire à ces cas.

6
Exemple

• Supposons par exemple quon souhaite connaître le
  QI en fonction de la réussite ou non au
  baccalauréat.
• On posera  échec 0 et  réussite 1
• La variable  réussite éventuelle  est
  maintenant codée. Elle nest pas vraiment
  numérique, mais on peut toutefois appliquer
  formellement les méthodes pour variables
  quantitatives.

7
Exemple

• En réalité, dans cet exemple, il est plus simple
  dutiliser la régression (tout court). Cela
  revient à calculer les moyennes conditionnelles.
• La corrélation est alors mesurée par

8
Exemple
9
Mais

• En revanche, si le facteur est véritablement
  numérique et si la VD est dichotomique, aucune
  méthode élémentaire ne semble convenir.
• On pourra alors utiliser le codage précédent (0
  et 1) et utiliser la corrélation linéaire comme
  si on avait vraiment deux variables quantitatives.

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Données rangées

• Le même type de problème (et de solution)
  apparaît avec les données ordonnées.
• Une variable est ordinale si léchelle de mesure
  est un ensemble ordonné mais que la variable
  nest pas quantitative.
• Cest le cas de variables utilisées dans les
  sondages, comme par exemple
• jamais / rarement / parfois / souvent / toujours

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Les corrélations alternatives

• Les  corrélations alternatives  ne sont bien
  souvent rien dautres que des corrélations
  linéaires appliquées à des variables codées.
• Comme elles ne sont pas automatiquement
  légitimes, on leur donne un nom différent, et on
  les traite autrement.
• Pourtant, le principe est toujours le même.

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2. Variables dichotomiques
13
2.1 Corrélation bisérielle de points

• Une variable dichotomique

14
Exemple

• On relève par un score numérique C la confiance
  en soi chez des chômeurs et des travailleurs en
  activité.
• Le but est de déterminer si la confiance en soi
  dépend du fait davoir du travail
• Ici, la VI (T, travail) est dichotomique. On la
  code par  chômeur  0 et  travailleur  1.
  La VD (C, confiance en soi) est continue.
• On pourrait donc utiliser le test de Student pour
  montrer que les moyennes de C sont différents.
  Cela donnerait une valeur t.

15
Exemple

• On peut aussi, même si cest a priori moins
  naturel, calculer le coefficient de corrélation
  r(T,C), que nous appellerons dans ce cas
• Coefficient de corrélation bisériel de points
• Parce quon considère quil y a deux séries de
  valeurs.
• On le note

16
Exemple
moyenne de C pour les chômeurs
moyenne de C pour les employés
17
Lien entre r et t

• En réalité les deux méthodes (Student et
  corrélation bisérielle) sont liées par une
  relation assez simple
• Avec dl n-1 (n est la taille totale de
  léchantillon).

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Le sens de r

• Le coefficient r prend un sens un peu plus
  concret au carré
• r² (coefficient de détermination) peut être
  compris comme la partie de la variation due au
  facteur. Ainsi, dans notre cas, si r² 0.12,
  cela veut dire que le fait davoir du travail ou
  non explique 12 de la variation constatée des
  scores de confiance en soi.

19
2.2 Coefficient phi

• Deux variables dichotomiques

20
Exemple

• Les enfants uniques sont-ils plus susceptibles
  que les autres de développer des névroses? Sur
  des enfants, on relève le fait dêtre unique ou
  non (variable dichotomique U), et un psychologue
  clinicien qui ne connaît pas U fait un
  diagnostique D.
• La question du lien entre les variables peut se
  résoudre, bien quon soit loin de la situation de
  référence, avec la méthode de régression (adaptée
  aux données numériques)

21
Coefficient phi

• Le coefficient de corrélation se note alors
• Mais on sintéresse surtout à

22
Phi et khi

• Il serait également envisageable de procéder au
  test du khi².
• Le résultat du test du khi² est lié de manière
  très simple au coefficient phi par la relation

Taille de léchantillon
23
Interprétation intuitive de phi

• Le coefficient phi² peut être conçu comme une
  mesure (mais attention il sagit dune
  interprétation assez vague) de limportance de
  leffet dune variable sur lautre. Comme pour le
  r², on raisonne en terme de variations.
• Si par exemple dans notre exemple nous trouvions
• Cela pourrait signifier que le fait dêtre unique
  est une cause possible de névrose, mais non la
  seule. Que leffet de U sur la névrose est réel,
  mais relativement faible.

24
3. Variables ordinales
25
Problème

• Dans le cas où les variables sont ordinales mais
  pas réellement numériques, lidée est toujours de
  travailler sur les rangs dans léchantillon
• Le rang est le numéro dordre.
• Le rang dans léchantillon nest pas la
  restriction dune variable sur la population
  entière.
• Cependant, on peut utiliser le coefficient r,
  calculé sur léchantillon

26
Problème

• Par exemple, dans la série 0,4,3, les rangs sont
  respectivement 1,3,2.
• Le problème des ex æquo est important. Trop dex
  æquo rend toujours les procédures impossibles.
• On saffranchira des cas où il y a quelques ex
  æquo par contre assez facilement en prenant la
  moyenne des rangs prévus.

27
3.1 Coefficient de Spearman

• Application directe de la corrélation

28
Définition

• Lorsquon calcule le coefficient de corrélation
  sur les rangs dans un échantillon de taille n, on
  parle de coefficient de corrélation de Spearman
  pour données rangées (ou coefficient de
  Spearman).
• On le note habituellement

29
Calcul

• Il se calcule très facilement grâce à la formule
  (d est la différence des rangs)

30
Exemple

• La même série de 10 copies de philosophie des
  sciences est proposée à un professeur de
  philosophie et à un enseignant de mathématiques,
  qui doivent les classer.
• On a donc deux rangs M (maths) et P(philo). La
  question est de savoir si les deux juges évaluent
  de la même manière les copies.

31
Exemple

• Sils ont les mêmes critères de jugement, on doit
  avoir à peu près le même classement, et donc MP,
  soit r1
• Sils ont des critères contradictoires, on
  sattend à avoir rlt0
• Sils notent indépendamment lun de lautre, on
  devrait avoir r0 (à peu près)

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Données
M 1 4 3 6 7 5 2 10 9 8
P 6 7 8 10 9 1 2 3 4 5
d 5 3 5 4 2 4 0 7 5 3
33
Données
M 1 4 3 6 7 5 2 0 9 8
P 6 7 8 0 9 1 2 3 4 5
d 5 3 5 4 2 4 0 7 5 3

• On a donc

34
Interprétation

• Ce qui laisse penser que les deux juges notent
  sur des critères indépendants.
• Si les données proviennent de variables
  continues, rs mesure le lien monotone entre les
  variables.
• On notera cependant que la significativité de rs
  est difficile à déterminer. Comme les
  échantillons sont souvent petits (un juge
  classant mal un grand nombre ditems), nous
  prendrons toujours rs comme une indication.

35
3.2 Tau de Kendall

• Une alternative au coefficient de Spearman

36
Principe

• Le coefficient  tau  de Kendall est équivalent
  au rs pour ce qui est de linterprétation.
• Il est plus facile à tester (on connaît mieux la
  loi de distribution de t), ce qui en fait une
  alternative plus agréable.
• Il nest pas fondé sur le coefficient de Pearson
  (rs) contrairement à ses concurrents.

37
Calcul
tau
taille de léchantillon
38
Calcul

• Où K est le nombre dinversions (nombre de couple
  (i,j) qui ne sont pas dans le même ordre pour les
  deux variables.
• On peut déterminer simplement K en comptant le
  nombre de croisements dans le dessin qui suit.

39
K
1 2 3 4 5
K 3
3 1 2 5 4
40
3. Exemples
41
Attention et alcoolisme

• Ya t-il un lien ?

42
Situation

• Howell, p 336, 10.11. Les données sont les mêmes
  que dans lexercice
• On souhaite étudier le lien éventuel entre les
  troubles de lattention dans lenfance et
  lalcoolisme à lâge adulte. On note 1 en cas de
  présence du problème, et 0 sinon.
• Des psychologues déterminent si le problème est
  présent ou non.

43
Situation

• Les variables sont donc
• Lalcoolisme, codé par une valeur A (variable
  dichotomique)
• Les troubles de lattention T, codés de la même
  manière (variable dichotomique également)
• On cherche le lien entre ces deux variables
• A est ici la VD, car les troubles de lattention
  T de létude datent de lenfance.

44
Données
T A 0 1
0 20 3
1 2 7
45
Données
Effectif observé
T A 0 1 Total
0 20 15.8 3 7.2 23
1 2 6.2 7 2.8 9
Total 22 10 32
Effectif théorique
46
Calculs
20 15.8 3 7.2
2 6.2 7 2.8

• On peut calculer le khi² correspondant à
  lexemple

Attendu (expected)
Observé (observed)
47
Calculs
20 15.8 3 7.2
2 6.2 7 2.8

• Ce qui donne

48
Calculs
20 15.8 3 7.2
2 6.2 7 2.8

• Il sagit ici dun coefficient significatif.
• Méfions-nous toutefois du résultat lun des
  effectifs théoriques est inférieur à 5.
• Pourtant, il semble bien que le lien entre les
  variables soit réel. Il va dans le sens dun lien
  positif.
• Les cases 00 et 11 sont en effet plus
   remplies  que ce que prévoit lindépendance.
• Il y a donc un lien positif entre les deux
  variables (au moins sur léchantillon)

49
Difficulté langagière

• Double classement

50
Situation

• daprès Howell, p 336, 10.12
• Un chercheur a classé 10 mots selon leur
  difficulté. Peu sûr de son classement, il demande
  à un collègue de classer à son tour les 10 mots.
• Les  variables  sont (sur léchantillon de 10
  mots) R1 et R2 (rang pour le premier chercheur /
  pour le second).
• On cherche un lien entre les deux variables. Un
  lien positif conforte le premier chercheur, un
  lien négatif ou nul remet son analyse en question.

51
Données
R1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
R2 1 3 2 4 7 5 6 8 10 9
52
Analyse
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 2 4 7 5 6 8 10 9

• Les variables sont ordinales mais non numériques
  (du moins pas  réellement ).
• Les deux possibilité pour étudier le lien
  (croissant ou décroissant monotone) sont les
  coefficients de Spearman et de Kendall (tau).
• Il ny a pas de méthode efficace pour choisir
  entre les deux coefficients, même si on préfère
  généralement le tau de Kendall, pour des raisons
  déjà évoquées.

53
Analyse
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 2 4 7 5 6 8 10 9

• Utilisons toutefois le coefficient de Spearman
  ici.
• Il est plus facile à calculer (à la machine),
  puisquil sagit dun simple coefficient de
  corrélation linéaire.
• Avec SPSS, par exemple, on obtient aisément le
  résultat.

54
Résultats
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 2 4 7 5 6 8 10 9

• Il vient

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Interprétation

• Soit un coefficient positif et très significatif
  (on imagine)
• Les deux variables sont fortement corrélées, et
  de manière croissante les deux chercheurs ont
  classé les mots a peu près dans le même ordre.
• Cela conforte sans la prouver lidée de départ
  que le classement du premier chercheur est plus
  ou moins le classement  universel .

56
Compléments

• coefficients tétrachorique, bisériel, et de
  concordance

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Coefficient bisériel rb

• Exemple on cherche si  le génie  est liée à
  la vitesse de lecture. On relève la vitesse par
  un score V et lintelligence par une variable
  dichotomique à partir du QI, en notant 0 pour
  toute valeur inférieure à 130 et 1 sinon.
• On trouve rb 0.02, non significatif. Le fait
  dêtre  très intelligent  (au sens du QI) ne
  prédit pas une disposition à la lecture.

• Dans le cas où un coefficient de corrélation
  bisériel de points paraît naturel, il se peut que
  la variable dichotomique soit en réalité la
  dichotomie arbitraire dune variable sous-jacente
  normale. Dans ce cas, mieux vaut utiliser à la
  place du coefficent bisériel de points le
  coefficient bisériel, qui se lit de la même
  manière.

58
Coefficient tétrachorique rt
Still, A.W., MacMilan, A. St. C. (1977).
Response bias and the measurement of choice
alternation. Quarterly Journal of Experimental
Psychology, 29, 319-325.

• Exemple Pour mesurer le biais dalternance, on
  part du principe que le sujet hésite entre les
  deux possibilités  Pile  et  Face , et décide
  en fonction dun seuil. La variable sous-jacente
  est supposée normale. Il est dans ce cas logique
  dutiliser rt comme une mesure de biais
  dalternance, avec les deux variables  premier
  tirage  et  second tirage  par exemple.
• On trouve rt 0.35.

• Dans le cas où un coefficient phi paraît naturel
  (deux variables dichotomiques), mais que les
  variables sont des dichotomies artificielles
  provenant dun découpage sur une variable
  sous-jacente normale, on utilise de préférence à
  phi le coefficient de corrélation tétrachorique
  rt. Comme pour le coefficient bisériel, cela
  nest pas valable pour des variables non-normales

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Coefficient de concordance

• Exemple Pour savoir si les jugements de beauté
  sont culturels ou au contraire sujets à des
  variations personnelles importantes, on demande à
  six personnes de classer par ordre de beauté une
  série de 9 portraits (on dépasse rarement 9).
• On trouve avec nos données (n 80) une valeur de
  W 0.58. Bien quil ny ait que 6 sujets, cette
  valeur est concluante.

• Il arrive que lon cherche à mesure le degré
  daccord sur les rangs non entre deux juges, mais
  entre trois juges ou plus. Dans ce cas, le
  coefficient de Spearman ou le tau de Kendall
  nest pas suffisant, et il faut utiliser une
  généralisation du coefficient tau de Kendall, le
  W de Kendall, ou coefficient de concordance. Il
  se lit comme un r2.

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Pour résumer
On cherche le lien entre deux (ou plus) variables
X et Y, qui ne sont pas toutes deux numériques.
On pense que X est une dichotomie issue dune
variable continue normale. Coefficient bisériel rb
Lune des deux variables est dichotomiques (X),
mais lautre est numérique (Y)
X est une vraie dichotomie (ou une dichotomie
issue dune variable non normale). Coefficient
bisériel de points rbp
61
Pour résumer
On cherche le lien entre deux (ou plus) variables
X et Y, qui ne sont pas toutes deux numériques.
Il sagit de fausses dichotomies issues de
variables normales. Coefficient tétrachorique rt
Les deux variables (disons encore X et Y) sont
dichotomiques.
Il sagit de vraies dichotomies ou de dichotomies
issues de variables non normales Coefficient phi.
62
Pour résumer
On cherche le lien entre deux (ou plus) variables
X et Y, qui ne sont pas toutes deux numériques.
Il ny a que deux variables (par exemple deux
juges) Coefficient de Spearman rs Coefficient tau
de Kendall
Toutes les variables sont ordinales (ou seuls les
rangs nous intéressent)
Il y a plus de deux variables (par
exemplejuges) Coefficient W de Kendall