Les conceptions des objets math

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Les conceptions des objets mathématiques portées
par le langage 

• Analyse des erreurs langagières en mathématique
• Yveline Puault 14 novembre 2006
  http//yveline.puault.free.fr

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Précisions de vocabulaire

• Langue naturelle  système de communication dun
  groupe donné, inscrit dans une culture et une
  histoire
• (langue courante)
• Langage formel des mathématiques  langage
  symbolique ou écriture symbolique ( codage et
  signes)
• Langue mathématique (LM de Colette Laborde ) les
  deux codes précédents en interaction avec 3
  propriétés 
• présence dans la langue courante déléments
  décriture symbolique
• termes lexicaux ayant un sens spécifique en
  mathématique
• des tournures syntaxiques privilégiées

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I. Les relations entre le langage et les
mathématiques 

• le langage porteur dune conception du monde 
  points de vue cognitif et linguistique
• La langue naturelle autour des mathématiques 
  point de vue psychosocial
• la langue utilisée en mathématiques dans le
  processus de lélaboration scientifique 
  épistémologie et analyse des discours
  scientifiques

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II. Les recherches en didactique

• Les caractéristiques de la langue mathématique
• La thèse de Colette Laborde
• Les travaux communs de linguistes et
  mathématiciens
• Verbalisation et conceptualisation
• Lanalyse des formulations en classe de physique
• La formulation des définitions en classe de
  sciences
• Létude des mots en sciences
• La verbalisation et la conceptualisation en
  technologie
• La place de lerreur dans la recherche en
  didactique
• Lerreur dans les modèles constructivistes
• Lerreur comme rupture de contrat
• Lerreur dans une approche psychologique
• Les rapports au savoir

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III. Hypothèses posées

• Des difficultés internes à la langue mathématique
  existent  la maîtrise de ces difficultés est
  interdépendante de la maîtrise des objets
  mathématiques.
• Des difficultés dues aux représentations et
  conceptions portées par le langage interfèrent
  avec la langue mathématique et sont un obstacle
  supplémentaire  elles sont représentatives du
  rapport à lapprentissage des mathématiques et
  dordre psychologique et sociologique.

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Questions 

• Est-ce que des difficultés en langue peuvent
  créer des échecs en mathématiques ?
• Quelle est la part de difficultés inhérentes aux
  objets mathématiques et celle imputable au
  langage mathématique ?
• Est-ce quune remédiation par le langage et du
  méta-langage est suffisante ?
• Quel est le rôle de la formulation des
  enseignants et de leurs conceptions personnelles
  des mathématiques ?

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Les erreurs de langage dans son fonctionnement en
mathématiques

• A) les erreurs dues à une difficulté du côté
  langagier 
• un manque de vocabulaire pour sexprimer qui peut
  masquer une conception juste qui ne peut être
  transcrite par le langage 
• un manque de vocabulaire dans le langage naturel,
  qui recouvre une difficulté de conceptualisation.

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Erreurs dues au manque de vocabulaire recouvrant
un manque conceptuel

• EL  On a vu les angles complémentaires  je
  comprends pas complémentaireE  Dans la vie de
  tous les jours, on utilise le mot
   complément   tu le connais ?EL  nonE  par
  exemple, on ajoute un complément  on dit des
  fois ils se complètent bien, ils vont bien
  ensemble.

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Erreurs dues au manque de vocabulaire  pour
exprimer une conception

• Elodie veut poser une question sur les angles
  alterne /interne   Même si on met  et
  sarrête   je sais plus, je sais pas -elle ne
  trouve pas les mots pour poser une question -en
  fait, voulait savoir si les angles internes obtus
  étaient aussi égaux-
• E. propose, en suivant son geste    Est-ce que
  les autres aussi sont égaux ? 
• EL  oui, cest ça.

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• B) les erreurs dues à des difficultés
  mathématiques 
• -la rencontre dun obstacle épistémologique
• -labsence de représentation ou la représentation
  différente de lobjet mathématique

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Erreurs dues à un obstacle épistémologique
prégnance des conceptions précédentes

• ED Tu te rappelles les mesures de longueur ?
• (ED. écrit m)
• M  mètre
• (ED écrit dm)
• M ah, jsais plus, diamètre, non, cest pas
  ça,  diagramme, dicentimètre
• E  décimètre, cest le plus difficile.

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Erreurs dues à la difficulté de représentation de
la notion mathématique

• Elodie doit apprendre la propriété suivante 
•  Le parallélogramme a un centre de symétrie,
  cest le point dintersection de ses diagonales 
• EL un parallélogramme a un centre, un centre 0
  euh
• E c'est le centre de symétrie, on peut le dire
  qui se trouve où?
• EL au milieu
• E au milieu?
• EL j'm'en rappelle plus ça

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• C) les erreurs renforcées ou provoquées par la
  formulation mathématique

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Erreurs renforcées par la formulation mathématique

• EL. doit apprendre la définition suivante 
•  Deux angles sont complémentaires quand la
  somme de leur mesure est égale à 90 degrés. 
• Elle dit finalement Deux angles est
  complémentaire, (blanc) leur mesure est égale.
• A la fin de la séance  quand la mesure est
  égale à 90
• La séance suivante  la somme et la mesure
• Quelques séances plus tard  la même mesure est
  égale à 90

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Les erreurs comme traces du fonctionnement
psychologique et du rapport au savoir

• D) les erreurs dues à la difficulté de
• secondariser

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Erreurs dues à la difficulté de secondariser

• M  alors, on a fait ça. On multiplie, cétait
  ça, par exemple ça, cétait la largeur, et là, y
  avait écrit 36 et là, 40  on devait ,on devait
  diviser la, la largeur par euh par euh, la
  longueur, jcrois . Jsais plus si cest ça, mais
  euh
• E  alors, là on est en train
• M  cétait comme ça, et là cétait à lenvers et
  il y avait a b c
• E  et quest-ce quil fallait trouver ?
• M  fallait trouvereuhah oui, jsais pas,

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• E) les erreurs représentatives du rapport au
  savoir

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Erreurs représentatives du rapport au savoir

• M cest qui qui a inventé quil fallait
  multiplier par 2 ?
• E ah, ça fait très longtemps quil y a des
  géomètres, qui se sont dit, plutôt quà chaque
  fois de calculer, ...le périmètre du rectangle,
  comme pour tous les rectangles, cest la même
  loi, et bien, ils ont dit on va faire une
  formule qui va ...
• M ils auraient pu multiplier par 3 ou par 4,
  par 6, par 56...

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Conclusions

• Apport de lanalyse des erreurs langagières dans
  laide individuelle aux élèves en difficulté
• Mise en question de la formulation des
  mathématiques dans les manuels et dans les cours
• Interpellation sur la formation des enseignants
  aux implicites de lactivité langagière

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• FIN
• Yveline Puault 14 novembre 2006
  http//yveline.puault.free.fr