Conception, registre et cadres

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Conception, registre et cadres

• Nicolas.Balacheff_at_imag.fr

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Les conceptions

• Points de départ
• Le milieu système antagoniste du sujet qui
  apprend
• Les problèmes, sources et critères de la
  connaissance
• Les problèmes, perturbations des interactions
  entre le sujet et le milieu
• Les situations déterminent léconomie des
  interactions entre le sujet et le milieu

La connaissance, état déquilibre dune boucle
dinteraction, action/rétroaction, entre un sujet
et un milieu sous des contraintes proscriptives
de viabilité.
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Les conceptions
P problèmes R règles/opérateurs L système de
représentation ? structure de contrôle
La solution de problèmes est la source et le
critère du savoir (Vergnaud 1981 p.220)
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Cadres et conceptions

•  exprimer des conditions sur les problèmes pour
  que certains rapports de lélève au problème
  soient assurés, que la dialectique outil-objet et
  le jeu de cadres soient possibles 
• Thèse R.D. pp.19
•  Nous choisissons pour introduire et susciter le
  fonctionnement des connaissances, des problèmes
  où elles interviennent dans au moins deux cadres.
  Nous privilégions les cadres (en fait les
  problèmes) dans lesquels limperfection des
  correspondances est créatrice de déséquilibres
  quil sagit de compenser. 
• Thèse R.D. pp.18

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Les cadres

•  la plupart des concepts peuvent intervenir dans
  divers domaines, divers cadres physique,
  géométrique, graphique et autres. Un concept se
  traduit dans chacun deux en termes dobjets et
  relations quon peut appeler les signifiés du
  concept dans le cadre. Les signifiants qui leurs
  sont associés peuvent éventuellement symboliser
  dautres concepts dans le cadre des signifiés.
  
• Il en résulte des correspondances dune part
  entre signifiés dun même concept dans des cadres
  différents et dautre part entre signifiés de
  concepts différents représentés dans le même
  cadre par les mêmes signifiants. 
• Thèse R.D. pp.17-18

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Des relations à démêler

•  Des situations de communication vont provoquer
  la mise en relation du cadre symbolique et du
  cadre matériel 
• Thèse R.D. p.42
•  la situation provoque un jeu de cadre entre la
  réalité de lenfant, le numérique, la
  représentation algébrique et graphique 
• Thèse R.D. p.57
•  Un cadre est constitué des objets dune branche
  des mathématiques, des relations entre les
  objets, de leurs formulations éventuellement
  diverses et des images mentales associées à ces
  objets et ces relations. Ces images jouent un
  rôle essentiel dans le fonctionnement comme
  outils, des objets du cadre. Deux cadres peuvent
  comporter les mêmes objets et différer par les
  images mentales et la problématique développée. 
• RDM 1986 p.11

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Interlude Fabien et Isabelle

• Isabelle est enseignante, elle assure un service
  de préceptorat auprès denfants hospitalisés en
  utilisant des moyens de visio-conférence avec
  lesquels elle peut, de plus, partager lespace de
  travail de lélève.

Fabien est un élève, il vient de travailler à la
résolution dun problème, et prend contact avec
un précepteur qui serait disponible Justement,
Isabelle est là Travaux de Sophie Soury-Lavergne
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Le problème...

• Construire un triangle ABC, un point P
  quelconque. Construire les images successives
  (P1, P2, P3) de P par rapport à A, B et C. Que
  peut-on dire du milieu I de P3P ?

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Isabelle et Fabien

• 83  donc pour montrer que tu aurais un
  parallélogramme, tu aurais quoi comme idée ?
• 117  tu t'es servi de plein de points
  intermédiaires mais au niveau de la conclusion
  ils interviennent plus, les points P, P1, P2, P3.
  
• 133  Qu'est-ce que ça veut dire, tiens, que
  quand on bouge P, I ne bouge pas ? Ça veut dire
  que I est comment ?
• 139  Mais si il ne bouge pas quand tu bouges
  P et P3 Ça veut dire quoi ? I, le point I tu
  m'as dit qu'il bougeait en fonction de quels
  points ?
• 143  Les autres, ils ne bougent pas. Tu vois
  ce que je veux dire ? Alors comment est-ce que tu
  pourrais le définir le point I, finalement, sans
  te servir des points P, P1, P2, P3 ?
• 150 Je ne vois pas sur quoi partir.

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Fait et propriété
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Cadre, milieu et conception

• Les protagonistes sont engagés dans une activité
  de résolution de problème dans le même cadre
  géométrique
• Leurs rapports à ce cadre est déterminé par
  leurs conceptions qui sont différentes

statut distinct du système de représentation
graphique manifesté par les contrôles qui
sous-tendent la validation  quand , par
exemple, on déplace P vers la gauche, alors P3
compense vers la droite. Sil va vers le haut,
alors lautre descend vers le bas  (dira un
autre élève).
Dans le modèle des cadres, cette différence est
exprimable en terme de  fenêtre conceptuelle 
qui peut caractérisée par les représentations
(ou objets en jeu ?) les opérateurs (théorèmes,
définitions) les validations (démonstration,
calcul)
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Deux modèles du système SltgtM
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Registre mathématique, Duval (95/2138)

• (i) des traces identifiables comme une
  représentation de quelque chose,
• (ii) disposer de règles de transformation pour
  produire d'autres représentations pouvant
  constituer un apport de connaissances,
• (iii) disposer de règles de conversion vers un
  autre système de représentation pour expliciter
  d'autres significations,
• (iv) disposer de règles de conformité pour la
  constitution des unités de niveau supérieur.
• Duval étudie la spécificité fonctionnelle des
  registres en mathématique

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Registre ou milieu ?

• Mathématicien moyen d'écriture, accès à une
  manipulation des représentations des objets
  géométriques
• Elève en mathématique matérialisation d'un
  milieu dont les rétroactions sont "fidèles" (mais
  jusqu'où) parce que contrôlées par une théorie
  mathématique (mais laquelle)

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Voir et croire ce que l'on voit

•   Voir est sous le contrôle du connaître
•   Nature des objets mathématiques

d'après Duval 95/63
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Voir et croire ce que l'on voit
signifié
référence
signification
objet
représentation
signifiant
d'après Duval 95/63
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Les deux registres
signifié
signification
signifiant
objet
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Interlude Vincent et Ludovic

• Vincent et Ludovic sont deux élèves de seconde.
  Ils travaillent ensemble à la résolution dun
  problème auquel ils doivent apporter une réponse
  commune.

Le corpus issu de lobservation de leur activité
sera étudié du point de vue des rapports de la
preuve et du contrôle en sappuyant sur le schéma
argumentatif de Toulmin Travaux de Bettina
Pedemonte
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Un problème
A partir d'un segment AB, on construit un cercle
ayant AB comme diamètre. Partager AB en deux
parties égales, AC et CB. On construit deux
cercles ayant pour diamètres respectivement AC et
CB. On continue à découper les segments résultant
en deux moitiés, et on construit sur ces parties
les cercles ayant pour diamètres ces
segments. Comment varie la longueur totale des
périmètres ? Comment varie l'aire totale des
cercles ?
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Vincent et Ludovic

• 9. Vincent le périmètre c'est 2pr et l'aire
  c'est pr2
• 10. Ludovic oui
• 11. Vincent mais comment évolue le rayon déjà ?
  r est divisé par 2 ?
• 12. Ludovic oui, le premier périmètre est 2pr
  et le deuxième est 2pr sur 2 plus 2pr sur 2 et
  donc . ça va être le même
• 15. Vincent 2pr
• 16. Ludovic 2pr, et la somme des deuxièmes est
  2pr sur 2
• 17. Vincent plus 2pr sur 2 donc 2pr . Etc.
  l'autre est 2pr sur 4 mais pour 4 fois
• 18. Ludovic donc la somme est toujours 2pr
• 19. Vincent c'est toujours le même périmètre.

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Vincent et Ludovic

• 20. Ludovic oui, par contre l'aire l'aire
  c'est pr2 au carré
• 21. Vincent là on va avoir
• 22. Ludovic hum. Ça va être divisé par 2 à
  chaque fois
• 23. Vincent Oui, p(r/2)2 plus p(r/2)2 est égal
  à
• 24. Ludovic est égal à pr2/2 et donc
  c'est toujours la moitié de la précédente
• 31. Vincent l'aire est à chaque fois divisée
  par deuxet à la limite? A la limite c'est une
  droite, confondue avec le segment de départ
• 32. Ludovic mais l'aire est divisée par deux à
  chaque fois
• 33. Vincent oui, mais à la limite arrive à zéro
• 34. Ludovic oui c'est vrai que si on continue
• 35. Vincent elle tend à zéro
• 36. Ludovic oui elle tend à zéro l'aire

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Vincent et Ludovic

• 37. Vincent oui mais alors le périmètre ?
• 38. Ludovic non, le périmètre est toujours le
  même
• 39. Vincent au pire le périmètre il tombe
  jusqu'à deux fois le segment
• 40. Ludovic comment ?
• 41. Vincent ça tombe sur le segment si les
  cercles sont tellement petits
• 42. Ludovic hum mais ce sera toujours 2pr
• 43. Vincent oui mais quand l'aire tend à zéro
  ça sera presque égale
• 44. Ludovic non, je pense non
• 45. Vincent si on fait tendre à zéro l'aire on
  fait tendre le périmètre        aussi je ne
  sais pas
• 46. Ludovic Je finis la première démonstration

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Jeu de cadres et de conceptions
Cadre algébrique
Validation
Ludovic Conception arithmétique-symbolique
Vincent conception algébrique
formule
aire /périmètre
Validation
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Jeu de cadres et de conceptions
Cadre algébrique
Validation
Ludovic Conception arithmétique-symbolique
Représentation
Vincent conception algébrique
aire /périmètre
Validation
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Linformatique offre-t-elle un cadre ?

•  signalons que linformatique est en train
  doffrir aux enseignants un cadre susceptible
  dentrer dans des jeux de cadres qui peuvent se
  révéler très efficaces du point de vue de
  lapprentissage. Ce cadre peut cependant rester
  stérile tout en faisant illusion, si 
• Thèse p.319

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Deux modèles du système SltgtM
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Limite (conception de x sur µ) cadre (µ)
x apprend µ
cadre
démonstration
Médiation de la représentation
contrôle
conception